Задача 53930 уравнение плоскости проходящей через.
Условие
уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярна к плоскости
Решение
Каноническое уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0
⇒ координаты нормального вектора плоскости vector
Значит из уравнения плоскости
3x+4y-5z-6=0
получаем vector
vector=(-2;1;3) — направляющий вектор прямой
P(0,5; -3;-2,5) — точка, лежащая на прямой и стало быть на искомой плоскости
Пусть М (x;y;z) — произвольная точка плоскости.
Условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя третьего порядка,
составленного из координат этих векторов
Раскрываем определитель:
5*(x-0,5)+9(y+2)-8*(z+2,5)-3*(z+2,5)-12(x-0,5)+10(y+2)=0
Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L
. | (1) |
. | (2) |
Пусть плоскость α1 не перпендинулярно прямой L.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1 (Рис.1).
Запишем уравнение искомой плоскости α:
Ax+By+Cz+D=0. | (3) |
Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M0(x0, y0, z0). Тогда справедливо следующее равенство:
Ax0+By0+Cz0+D=0. | (4) |
и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n=<A, B, C> и направляющий вектор q=<m, p, l> ортогональны:
Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α1, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:
AA1+BB1+CC1=0 | (6) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
(7) |
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1.
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
(8) |
перпендикулярно плоскости α1 :
(9) |
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.
Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
Ax0+By0+Cz0+D=0 | (10) |
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Am+Bp+Cl=0. | (11) |
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
AA1+BB1+CC1=0 | (12) |
(13) |
(14) |
(15) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
(16) |
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
(17) |
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<9/43,−17/43,5/43>. Тогда подставляя в уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 | (18) |
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
(19) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
(20) |
перпендикулярно плоскости α1 :
(21) |
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.
Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
Ax0+By0+Cz0+D=0 | (22) |
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Am+Bp+Cl=0. | (23) |
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
AA1+BB1+CC1=0 | (24) |
(25) |
(26) |
(27) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
(28) |
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
(29) |
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<3/2,−1/2,1>. Тогда подставляя в уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 | (30) |
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
(31) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).
Уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
x | + | y | + | z | = 1 |
a | b | c |
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x 0, y 0, z 0) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле
x — x 1 | y — y 1 | z — z 1 | = 0 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 | |
x 3 — x 1 | y 3 — y 1 | z 3 — z 1 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti6-online.php
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/plane/