Уравнение плоскости урок по теме

Конспект по теме «Уравнение плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Метод координат. Уравнение плоскости.

Нормальный вектор плоскости – любой ненулевой вектор, который лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Существует бесконечное количество нормальных векторов данной плоскости. Если – нормальный вектор плоскости, то вектор (t≠0) – также нормальный вектор этой плоскости.

Каждый из векторов считается нормальным вектором соответственно плоскости Oyz, Oxy, Oxz.

Для определения координат нормального вектора достаточно знать уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D =0

Пример : Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(–1;2;–3) и два неколлинеарных вектора .

3(x+1) + 28(z+3) – 10(y-2) – (-15(z+3) + 4(y-2) + 14(x+1)) = 0 3x + 3 + 28z + 84 – 10y + 20 + 15z + 45 – 4y + 8 – 14x – 14 = 0

–11x – 14y + 43z + 146 = 0 => 11x + 14y – 43z – 146 = 0.

II. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), не лежащие на одной прямой.

1 способ: Если точка, лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, т.е. подставляем координаты каждой точки в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и решаем систему из трёх уравнений.

Пример : Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0),

Таким образом, уравнение искомой плоскости примет вид: –Dx – Dy + Dz + D = 0 │: (–D) => x + y – z – 1 = 0.

IV. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀), параллельно плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0.

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали, поэтому искомое уравнение плоскости будет отличаться от данного только свободным коэффициентом, который можно найти, подставляя координаты точки M в уравнение A₁x + B₁y + C₁z + D = 0.

Уравнение плоскости
презентация к уроку по геометрии (11 класс) по теме

Презентация «Уравнение плоскости» 11 класс

Скачать:

Вложение	Размер
uravnenie_ploskosti_po_trem_tochkam.ppt	821 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки Задачи ЕГЭ (С2)

Уравнение плоскости Ах + Ву + С z + D = 0, где А, В, С , D – числовые коэффициенты

Особые случаи уравнения: D = 0, Ax+By+Cz = 0 плоскость проходит через начало координат . А = 0; Ву + Cz +D = 0 плоскость параллельна оси Ох В = 0; Ах + Cz +D = 0 плоскость параллельна оси Оу C = 0, Ax+By+D = 0 плоскость параллельна оси Oz.

Особые случаи уравнения: А = В = 0, Сz + D = 0 плоскость параллельна плоскости Оху А = С = 0, Ву + D = 0 плоскость параллельна плоскости Охz B = C = 0, Ax + D = 0 плоскость параллельна плоскости Oyz.

Особые случаи уравнения: C = D = 0, Ax +By = 0 плоскость проходит через ось Oz. Уравнения координатных плоскостей: x = 0, плоскость О yz y = 0, плоскость О xz z = 0 , плоскость О xy

Плоскость не проходит через начало координат, не параллельна координатным осям

Точки пересечения с осями координат с осью Ох: (- D/A; 0; 0) с осью О y : ( 0; -D/B; 0) с осью О z : ( 0; 0; -D/C)

Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через три точки М( x¹, y¹, z¹), N(x², y², z²), K(x³, y³, z³) Подставить координаты точек в уравнение плоскости. Получится система трех уравнений с четырьмя переменными .

Замечание Если плоскость проходит через начало координат, положить D = 0 , если не проходит, то D = 1

Задача В правильной четырехугольной призме ABCDA¹B¹C¹D¹ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА ¹ взята точка М так, АМ = 8, на ребре ВВ ¹ взята точка К так, что В ¹ К равно 8. Написать уравнение плоскости D¹ МК.

Запишем координаты точек М(0, 0, 13) К(12, 0, 8) D¹(0, 12, 0)

Подставим в систему уравнений

Умножим обе части уравнения на -156 Уравнение плоскости D¹ МК 5 x + 13y + 12z – 156 = 0

Задача 1 В правильной четырехугольной призме ABCDA¹B¹C¹D¹ сторона основания равна 2, и диагональ боковой грани равна √10. Написать уравнение плоскостей АВ ¹ С и плоскости основания призмы.

Задача 2 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA¹B¹C¹D¹E¹F¹ сторона основания равна 4 , и диагональ боковой грани равна 5 . Написать уравнение плоскостей А ¹ В ¹E и плоскости основания призмы.

Уравнение плоскости

Электронный урок по ЕН.01 Элементы высшей математики

Просмотр содержимого документа
«Уравнение плоскости»

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D=0

задает плоскость, и наоборот:

всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Составить уравнение какой-нибудь плоскости, в которой лежит точка (2; -1; 3)

Ax + By + Cz +D=0
3x + 4y + 5z +D=0 (3,4,5-любые числа)
3·2 + 4·(-1) + 5·3 +D=0
6- 4+ 15+D=0
17+D=0
D=-17
Ответ: 3x + 4y + 5z -17=0-уравнение плоскости на которой лежит точка (2; -1; 3)

Особые случаи уравнения плоскости

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей:

x = 0, y = 0, z = 0.

1) Найдите аппликату точки А(1;-3; z) , если она принадлежит плоскости, заданной уравнением 5х-2у+3z-1=0.
2) Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
3) Принадлежит, ли точка Е (0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
4) При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0