Уравнение плоскости в которой лежат две прямые

Уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся или две параллельные прямые.

В этой статье собрана информация, необходимая для нахождения уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся или параллельные прямые. Сначала разобран принцип составления уравнения плоскости, которая проходит через две заданные прямые, после этого приведены подробные решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Прежде чем приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

• через три различные и не лежащие на одной прямой точки проходит единственная плоскость;
• если две несовпадающие точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М . Отметим на прямой a две различные точки М₁ и М₂ (одна из них может совпадать с точкой M ), а на прямой b точку М₃ , отличную от точки М . Покажем, что плоскость М₁М₂М₃ есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b .

Так как в плоскости М₁М₂М₃ лежат две точки прямой a (точки М₁ и М₂ ), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М₁М₂М₃ , в частности, точка М . Тогда в плоскости М₁М₂М₃ лежат все точки прямой b , так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М₃ ) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b , и плоскость, проходящая через три точки М₁ , М₂ и М₂ , совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , заданы две пересекающиеся прямые a и b , и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b .

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M₁ и M₂ , лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M₃ , лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М₁ , М₂ и М₃ все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида . Из них видны координаты точки М₁ (они получаются при ), а координаты точки М₂ можно вычислить, придав параметру любое ненулевое действительное значение (к примеру, ). После этого можно получить параметрические уравнения прямой b и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М₃ , не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a ).

Будем считать, что координаты точек М₁ , М₂ и М₃ найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и в виде . Вычислив определитель матицы вида , мы получим общее уравнение плоскости М₁М₂М₃ , которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b .

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Прежде чем получить уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые, вспомним теорему: через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Эта теорема доказывается на основе аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три заданные точки, с использованием утверждения: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Таким образом, мы можем задать конкретную плоскость в трехмерном пространстве, указав две параллельные прямые, лежащие в этой плоскости.

Очевидно, что плоскость, проходящая через две заданные параллельные прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных параллельных прямых, а третья лежит на другой прямой.

Теперь можно приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , заданы две параллельные прямые a и b и требуется составить уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b .

Эта задача, также как и задача о нахождении уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Действительно, мы можем определить координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на одной из заданных параллельных прямых, и координаты точки М₃ , лежащей на другой прямой. После этого нам лишь нужно написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и , в виде . Это уравнение является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через две прямые.

Итак, чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные или пересекающиеся прямые, нужно найти координаты трех различных точек, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья точка – на другой прямой, после чего записать уравнение плоскости, проходящей через три точки. Покажем применение этого алгоритма при решении примеров.

Известно, что прямая a в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве проходит через точку и пересекает координатную прямую Oy в точке . Напишите уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и Oy .

Из условия нам известны координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a . Очевидно, что точка лежит на координатной прямой Oy и не совпадает с точками М₁ и М₂ . Тогда плоскость, проходящая через три точки , и , есть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и Oy . Напишем ее уравнение:

.

Рассмотрим еще один пример, в котором координаты точек, лежащих на заданных пересекающихся прямых, не так очевидны.

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые a и b , заданные уравнениями и соответственно.

Сначала найдем координаты двух точек, лежащих на прямой a , и координаты точки, лежащей на прямой b .

Прямая, которую в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида , проходит через точку . Перейдем к параметрическим уравнениям этой прямой, чтобы определить координаты еще одной точки (обозначим ее М₂ ), лежащей на ней. Имеем , примем и из параметрических уравнений прямой вычислим координаты точки М₂ : . Следовательно, .

Очевидно, что прямая проходит через точку . Проверим, не является ли точка точкой пересечения заданных прямых, подставив ее координаты в уравнения прямой a : . Канонические уравнения прямой a обратились в тождества, следовательно, точка М₃ лежит на прямой a и является точкой пересечения заданных прямых. Таким образом, нам нужно взять другую точку М₃ , лежащую на прямой b , так как сейчас найденные точки М₁ , М₂ и М₃ лежат на одной прямой. Для этого мы также переходим к параметрическим уравнениям прямой b : , и вычисляем координаты точки М₃ , приняв : .

Теперь мы можем получить уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , которое является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые:

.

Не правда ли, что нахождение координат точек, лежащих на заданных прямых, является самым трудоемким процессом при составлении уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые?

Осталось рассмотреть пример составления уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

По параметрическим уравнениям прямой при и вычислим координаты двух точек М₁ и М₂ :

Очевидно, что прямая проходит через точку .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ :

Это уравнение и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

.

4.2.10. Примеры решения задач по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А=<5; -1; 3>,

Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты

Точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормали, то есть вектора, перпендикулярного плоскости.

Векторы АВ = (-3; 3; -3) и АС = (-6; 2; -2) параллельны данной плоскости, поэтому их векторное произведение или любой вектор, коллинеарный ему, является нормалью к плоскости.

Выберем в качестве нормали П = (0; 1; 1), а точкой <Х0; У0; Z0> будем считать точку В. Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Составить канонические уравнения прямой

Для того, чтобы составить канонические или параметрические уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты направляющего вектора, то есть вектора, коллинеарного прямой.

Прямая является линией пересечения двух плоскостей, поэтому ее направляющий вектор А параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям П1 и П2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [N1, N2].

Будем искать точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить единственным образом из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости. Выберем для удобства вычислений Z0 = 0, тогда для точки М=<Х0; У0; 0>

Теперь составим канонические уравнения данной прямой:

Ответ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую L:

Точка А= <-3,5,-1>принадлежит плоскости, соответственно вектор параллелен плоскости. Кроме того, поскольку данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Поскольку прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. При T = 0 из уравнений прямой получаем:

Координаты точки А, принадлежащей прямой и соОтВетственно плоскости.

Тогда вектор АМ = (5; -8; 2) параллелен Плоскости. Следовательно, нормаль

П к плоскости коллинеарна векторному произведению [A, AM] = (-6; -9; — 21).

Выберем N = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через

Найти кратчайшее расстояние между прямыми

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составьте уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости; если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A.

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составим уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости (рис.9); если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A (рис.10).

[A1, A2] = (10; -14; 1) = N, точка А= <5; 0; -25>лежит на прямой L1, следова-тельно, она лежит и в плоскости A. Тогда уравнение плоскости A имеет вид:

Точка В= <1; 2; 13>принадлежит прямой L2. Проверим, лежит ли эта точка в плоскости A:

Тогда искомой величиной будет расстояние от В до A. Его можно найти, составив нормальное уравнение плоскости A:

Ответ: .

Найти точку, симметричную точке А(5; -10; 4) относительно плоскости

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ.

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ. Составим уравнения прямой АВ. Эта прямая перпендикулярна A, поэтому ее направляющим вектором можно считать нормаль к плоскости A: A = N = (1; -3; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:

Точка О принадлежит и прямой АВ, и плоскости A, поэтому ее координаты должны удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Подставим в уравнение плоскости A параметрические выражения для X, Y, Z из уравнений прямой АВ:

T + 5 – 3(-3T – 10) + T + 4 – 6 = 0; 11T + 33 = 0; T = -3.

Итак, координаты точки О:

Поскольку точка О – середина отрезка АВ, то

Общее уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:

где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.

Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x₀, y₀, z₀. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y₀, z₀. Тогда

.

Таким образом, существует точка M₀(x₀, y₀, z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим

которая эквивалентна уравнению (1).

Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярную вектору n=<A,B,C> (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).

Если точка M₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n=<A,B,C> и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:

.

Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n=<A,B,C> и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.

Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.

Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).

Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости

определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:

Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D₁λ−D₂=0. Т.е. D₂=D₁λ. Утверждение доказано.

Неполные уравнения плоскости

Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .

Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:

При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.

При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n=<0,B,C> лежит на координатной плоскости Oyz.

При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).

При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).

При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).

При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).

При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).

При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).

При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).

При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).

Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.

Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.

Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x₀,y₀,z₀) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:

Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n=<A,B,C>=<0,0,1>, т.е. A=0, B=0, C=1.

Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:

Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n==<2,3,1>.

Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x₀,y₀,z₀) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:

Так как плоскость имеет нормальный вектор n=<A,B,C>=<2,3,1>, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:

Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.