A = D = 0 By+Cz = 0 плоскость проходит через ось Ox.
B = D = 0 Ax + Cz = 0 плоскость параллельна оси Оy.
C = D = 0 Ах + By = 0 плоскость параллельна оси Оz.
Две плоскости в пространстве:
совпадают, если существует такое число k, что
параллельны, если существует такое число k, что
В остальных случаях плоскости пересекаются.
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору Итак, пусть произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется вектором нормали к этой плоскости.
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору Если известна какая-нибудь точка плоскости M0 и какой-нибудь вектор нормали к ней, то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид:
Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . Используем формулу A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Ответ:5x + y — 4z — 3=0
Уравнение плоскости, проходящей через три точки После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением общего вида.
Пусть даны три различные точки, не лежащие на одной прямой.
Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости:
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой: ; и .
При равенстве нулю свободного коэффициента D уравнения общего уравнения плоскости уравнение определяет
В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Определение уравнения плоскости
Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.
Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.
Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.
Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.
Общее уравнение плоскости
Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.
Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.
Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.
Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.
Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .
Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.
Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.
Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .
Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.
Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.
Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .
Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.
n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.
Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.
Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.
Уравнение плоскости в отрезках
Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.
Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.
Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.
Презентация по геометрии на тему «Уравнение плоскости» (10 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Уравнение плоскости Государственное общеобразовательное казенное учреждение Амурской области «Общеобразовательная школа при учреждениях исполнения наказаний»
Уравнение плоскости в пространстве Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением где a, b, c, d — действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали. ax + by + cz + d = 0, Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 можно найти, используя формулу
Особые случаи уравнения: D = 0, Ax+By+Cz = 0 (плоскость проходит через начало координат) А = 0, Ву + Cz +D = 0 (плоскость параллельна оси Ox) В = 0, Ах + Cz +D = 0 (плоскость параллельна оси Оу) C = 0, Ax+By+D = 0 (плоскость параллельна оси Oz)
Особые случаи уравнения: А = В = 0, Сz + D = 0 ( плоскость параллельна плоскости Оху) А = С = 0, Ву + D = 0 (плоскость параллельна плоскости Охz) B = C = 0, Ax + D = 0 (плоскость параллельна плоскости Oyz)
Особые случаи уравнения: C = D = 0, Ax +By = 0 (плоскость проходит через ось Oz) Уравнения координатных плоскостей: x = 0, плоскость Оyz y = 0, плоскость Оxz z = 0, плоскость Oxy
Как составить уравнение плоскости? М(x¹, y¹, z¹), N(x², y², z²), K(x³, y³, z³ Подставить координаты точек в уравнение плоскости. Получится система трех уравнений с четырьмя переменными. Если плоскость проходит через начало координат, положить D = 0, если не проходит, то D = 1
Пример В правильной четырехугольной призме ABCDA¹B¹C¹D¹ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА¹ взята точка М так, АМ = 8, на ребре ВВ¹ взята точка К так, что В¹К равно 8. Написать уравнение плоскости D¹МК.
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 570 661 материал в базе
Другие материалы
09.12.2015
2812
2
09.12.2015
922
16
09.12.2015
904
0
09.12.2015
442
0
09.12.2015
626
0
09.12.2015
841
0
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
09.12.2015 6391
PPTX 879 кбайт
201 скачивание
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Шведова Арина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
На сайте: 7 лет
Подписчики: 1
Всего просмотров: 75010
Всего материалов: 31
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Дистанционные курсы для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек
Время чтения: 2 минуты
В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля
Время чтения: 1 минута
В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов
Время чтения: 1 минута
В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы
Время чтения: 1 минута
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
