Уравнение плоскости в сферических координатах

Формулы аналитической геометрии в пространстве

$d=\sqrt<(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2>$

НАПРАВЛЯЮЩИЙ КОСИНУС ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЯ ТОЧКИ $P_1(x_1,y_1,z_1)$ И $P_2(x_2,y_2,z_2)$
$l=\cos\alpha=\frac<(x_2-x_1)>$, $m=\cos\beta=\frac$, $n=\cos\gamma=\frac$

где $\alpha,\beta,\gamma$ углы, которые линия $P_1P_2$ образовывает с положительными осями $x,y,z$ соответственно, а $d$ определено на рисунке вверху.

ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НАПРЯВЛЯЮЩИМИ КОСИНУСАМИ
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ или $l^2+m^2+n^2=1$

НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЧИСЛА
Числа $L,M,N$, которые есть пропорциональны к направляющим косинусам $l, m, n$ называются направляющими числами. Отношение между ними

Это также действительно, если $l, m, n$ заменяются на $L, M, N$ соответственно.

УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЙ $P_1(x_1,y_1,z_1)$ И $P_2(x_2,y_2,z_2)$ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
$x=x_1+lt$, $y=y_1+mt$, $z=z_1+nt$

Это также действительно если $l, m, n$ заменяются на $L, M, N$ соответственно.

УГОЛ $\phi$ МЕЖДУ ДВУМЯ ЛИНЯМИ С НАПРАВЛЯЮЩИМИ КОСИНУСАМИ $l_1, m_1, n_1$ И $l_2, m_2, n_2$
$\cos\phi=l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2$

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
$Ax + By + Cz + D = 0$ [$A, B, C, D$ — константы]

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)$

$\beginx-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end=0$

$\begin y_2-y_1 & z_2-z_1\\ y_3-y_1 & z_3-z_1\end(x-x_1)$ $+\begin z_2-z_1 & x_2-x_1\\ z_3-z_1 & x_3-x_1\end(y-y_1)$ $+\begin x_2-x_1 & y_2-y_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1\end(z-z_1)=0$

где $a, b, c$ есть пересечения на осях $x, y, z$ соответственно.

Обратите внимание, что направляющие числа для линии, перпендикулярной к плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ есть $A, B, C$.

где знак выбирается так, что расстояние не является отрицательным.

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=p$

где $p$ = перпендикулярному расстоянию от $O$ к плоскости в $P$ и $\alpha, \beta, \gamma$ есть углами между $OP$ и положительными осями $x, y, z$.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
$\left\<\beginx=x’+x_0\\ y=y’+y_0\\ z=z’+z_0\end\right.$ $\left\<\beginx’=x-x_0\\ y’=y-y_0\\ z’=z-z_0\end\right.$

где $(x, y, z)$ — старые координаты [т.e. координаты относительно системы xyz], $(x’, y’, z’)$ — новые координаты [относительно системы $x’y’z’$] и $(x_0,y_0,z_0)$ координаты нового центра $O’$ относительно старой координатной системы $xyz$.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ВРАЩЕНИИ

где центры систем $xyz$ и $x’y’z’$ находятся в одной точке и $l_1,m_1,n_1; l_2,m_2,n_2; l_3,m_3,n_3$ направляющие косинусы осей $x’, y’, z’$ относительно осей $x, y, z$ соответственно.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ И ВРАЩЕНИИ

$\left\<\beginx=l_1x’+l_2y’+l_3z’+x_0\\ y=m_1x’+m_2y’+m_3z’+y_0\\ z=n_1x’+n_2y’+n_3z’+z_0\end\right.$

$\left\<\beginx’=l_1(x-x_0)+m_1(y-y_0)+n_1(z-z_0)\\ y’=l_2(x-x_0)+m_2(y-y_0)+n_2(z-z_0)\\ z’=l_3(x-x_0)+m_3(y-y_0)+n_3(z-z_0)\end\right.$

где $O’$ системы $x’y’z’$ имеет координаты $(x_0,y_0,z_0)$ относительно системы $xyz$ и $l_1,m_1,n_1; l_2,m_2,n_2; l_3,m_3,n_3$ направляющие косинусы осей $x’, y’, z’$ относительно осей $x, y, z$ соответственно.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ $(r, \theta, z)$
Точка $P$ может быть определена как цилиндрическими координатами $(r, \theta, z)$, так и прямоугольными координатами $(x, y, z)$.
Преобразование между этими двумя координатами есть

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ $(r, \theta, \phi)$
Точка $P$ может быть определена как сферическими координатами $(r, \theta, \phi)$ так и прямоугольными координатами $(x, y, z)$.
Преобразование между этими двумя кординатами есть

$\left\<\beginx=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta\end\right.$

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

где сфера имеет центр $(x_0,y_0,z_0)$ и радиус $R$.

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
$r^2-2r_0r(\theta-\theta_0)+r_0^2+(z-z_0)^2=R^2$

где сфера имеет центр $(r_0;\theta_0;z_0)$ в цилиндрических координатах и радиус $R$.

Если центр находится в начале координат, уравнение имеет вид:

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
$r^2+r_0^2-2r_0 r\sin\theta\sin\theta_0\cos(\phi-\phi_0)=R^2$

где сфера имеет центр $(r_0; \theta_0; \phi_0)$ в сферических координатах и радиус $R$.

Если центр в начале координат, уравнение имеет вид:

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С ОСЬЮ КАК $z$ ОСЬ
$\frac+\frac=1$

где $a, b$ — полуоси эллиптического сечения.
Если $b = a$, фигура превращается в цилиндрический цилиндр с радиусом $a$.

Обратите внимание на ориентацию осей этой фигуры.

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Сферические координаты (сферическая система координат)

Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость ( основная плоскость ) и на ней задается полярная система координат с полюсом ( начало сферической системы координат ) и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось ( ось аппликат ) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси происходило против часовой стрелки (рис.2.36,а).

В сферической системе координат положение точки , не лежащей на оси аппликат, характеризуется расстоянием до начала координат, полярным углом точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и углом между вектором и положительным направлением оси аппликат. Таким образом, сферические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел – радиус , долгота и широта . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом и широтой для положительной части оси и для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса . Иногда вместо угла широтой называют угол , принимающий значения .

Со сферической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат ( связанную с данной прямоугольной ).

Переход от сферических координат к декартовым (прямоугольным)

Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и её сферические координаты . По рис.2.36,б получаем

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам

Формулы (2.22) определяют долготу с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение долготы находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.13. В сферической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти сферические координаты точки , если известны её прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны её сферические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении радиуса , является сфера с центром в начале координат (рис.2.37). Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении долготы , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении широты , является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина — с началом координат. При получаем основную плоскость. На рис.2.37 изображены конус и основная плоскость .

б) Найдем сферические координаты точки . По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем