Уравнение плоскости заданной двумя прямыми

Уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся или две параллельные прямые.

В этой статье собрана информация, необходимая для нахождения уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся или параллельные прямые. Сначала разобран принцип составления уравнения плоскости, которая проходит через две заданные прямые, после этого приведены подробные решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Прежде чем приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

• через три различные и не лежащие на одной прямой точки проходит единственная плоскость;
• если две несовпадающие точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М . Отметим на прямой a две различные точки М₁ и М₂ (одна из них может совпадать с точкой M ), а на прямой b точку М₃ , отличную от точки М . Покажем, что плоскость М₁М₂М₃ есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b .

Так как в плоскости М₁М₂М₃ лежат две точки прямой a (точки М₁ и М₂ ), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М₁М₂М₃ , в частности, точка М . Тогда в плоскости М₁М₂М₃ лежат все точки прямой b , так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М₃ ) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b , и плоскость, проходящая через три точки М₁ , М₂ и М₂ , совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , заданы две пересекающиеся прямые a и b , и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b .

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M₁ и M₂ , лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M₃ , лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М₁ , М₂ и М₃ все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида . Из них видны координаты точки М₁ (они получаются при ), а координаты точки М₂ можно вычислить, придав параметру любое ненулевое действительное значение (к примеру, ). После этого можно получить параметрические уравнения прямой b и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М₃ , не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a ).

Будем считать, что координаты точек М₁ , М₂ и М₃ найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и в виде . Вычислив определитель матицы вида , мы получим общее уравнение плоскости М₁М₂М₃ , которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b .

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Прежде чем получить уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые, вспомним теорему: через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Эта теорема доказывается на основе аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три заданные точки, с использованием утверждения: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Таким образом, мы можем задать конкретную плоскость в трехмерном пространстве, указав две параллельные прямые, лежащие в этой плоскости.

Очевидно, что плоскость, проходящая через две заданные параллельные прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных параллельных прямых, а третья лежит на другой прямой.

Теперь можно приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , заданы две параллельные прямые a и b и требуется составить уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b .

Эта задача, также как и задача о нахождении уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Действительно, мы можем определить координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на одной из заданных параллельных прямых, и координаты точки М₃ , лежащей на другой прямой. После этого нам лишь нужно написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и , в виде . Это уравнение является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через две прямые.

Итак, чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные или пересекающиеся прямые, нужно найти координаты трех различных точек, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья точка – на другой прямой, после чего записать уравнение плоскости, проходящей через три точки. Покажем применение этого алгоритма при решении примеров.

Известно, что прямая a в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве проходит через точку и пересекает координатную прямую Oy в точке . Напишите уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и Oy .

Из условия нам известны координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a . Очевидно, что точка лежит на координатной прямой Oy и не совпадает с точками М₁ и М₂ . Тогда плоскость, проходящая через три точки , и , есть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и Oy . Напишем ее уравнение:

.

Рассмотрим еще один пример, в котором координаты точек, лежащих на заданных пересекающихся прямых, не так очевидны.

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые a и b , заданные уравнениями и соответственно.

Сначала найдем координаты двух точек, лежащих на прямой a , и координаты точки, лежащей на прямой b .

Прямая, которую в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида , проходит через точку . Перейдем к параметрическим уравнениям этой прямой, чтобы определить координаты еще одной точки (обозначим ее М₂ ), лежащей на ней. Имеем , примем и из параметрических уравнений прямой вычислим координаты точки М₂ : . Следовательно, .

Очевидно, что прямая проходит через точку . Проверим, не является ли точка точкой пересечения заданных прямых, подставив ее координаты в уравнения прямой a : . Канонические уравнения прямой a обратились в тождества, следовательно, точка М₃ лежит на прямой a и является точкой пересечения заданных прямых. Таким образом, нам нужно взять другую точку М₃ , лежащую на прямой b , так как сейчас найденные точки М₁ , М₂ и М₃ лежат на одной прямой. Для этого мы также переходим к параметрическим уравнениям прямой b : , и вычисляем координаты точки М₃ , приняв : .

Теперь мы можем получить уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , которое является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые:

.

Не правда ли, что нахождение координат точек, лежащих на заданных прямых, является самым трудоемким процессом при составлении уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые?

Осталось рассмотреть пример составления уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

По параметрическим уравнениям прямой при и вычислим координаты двух точек М₁ и М₂ :

Очевидно, что прямая проходит через точку .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ :

Это уравнение и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

.

Уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся или две параллельные прямые

В данном материале мы расскажем, как правильно вычислить уравнение плоскости, которая проходит через 2 пересекающиеся или параллельные прямые. Начнем с формулировки основного принципа, а потом, как всегда, разберем несколько задач, где можно применить этот принцип на практике.

Как найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые?

Для того чтобы вывести это уравнение, нам понадобится вспомнить одну теорему. Она звучит так:

Через две пересекающиеся прямые может проходить только одна плоскость.

Доказательство этого утверждения основано на двух аксиомах:

1. через три точки с разными координатами, которые не лежат на одной прямой, проходит только одна плоскость;
2. если у нас есть две точки прямой с разными координатами, расположенные в некоторой плоскости, то все точки этой прямой находятся в этой плоскости.

В итоге мы можем утверждать, что с помощью указания двух пересекающихся прямых мы можем задать определенную плоскость в трехмерном пространстве.

Далее нам нужно доказать, что плоскость, которая проходит через две определенные прямые, совпадет с той, что проходит через три заданные точки, две из которых находятся на тех самых прямых.

Допустим, у нас есть две прямые a и b с пересечением в некой точке M . Теперь расположим на первой прямой две точки М 1 и М 2 . У них должны быть разные координаты, но при этом одна из них может совпадать с точкой пересечения. На второй прямой отметим точку М 3 (но она совпадать с точкой M не должна). Теперь нам надо показать, что плоскость, проходящая через М 1 М 2 М 3 , – это та же самая плоскость, что проходит через пересекающиеся прямые a и b .

Посмотрим на схему:

Поскольку мы имеем точки прямой a , которые находятся в плоскости М 1 М 2 М 3 ( М 1 и М 2 ), то, используя аксиому, которую мы приводили выше, можно утверждать, что все точки этой прямой находятся в данной плоскости. Все точки прямой b тоже будут находиться в ней, поскольку там расположены две несовпадающие точки данной прямой ( М и М 3 ). Таким образом, мы доказали, что плоскости, в которых лежат данные прямые, совпадают.

Теперь перейдем непосредственно к формулировке уравнения плоскости, которая проходит через пересекающиеся прямые. Возьмем a и b , которые заданы в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве и являются пересекающимися. Напишем уравнение плоскости, которая проходит через эти прямые.

Все решение можно свести к нахождению уже изученного уравнения плоскости, проходящей через три точки. Сначала нам надо найти координаты двух точек M 1 и M 2 , которые расположены на пересекающихся прямых, и точки M 3 , которая находится на другой прямой и не является точкой их пересечения. Для этого можно использовать разные способы. Так, мы можем составить параметрические уравнения для первой прямой в пространстве. В итоге получим:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Отсюда можно вывести координаты x 1 , y 1 , z 1 точки M 1 , если λ = 0 . Для М 2 эти данные можно вычислить, если придать параметру любое действительное значение, отличное от нуля, например, единицу.

Далее мы можем составить такие же параметрические уравнения для второй прямой и, используя некоторое значение параметра, высчитать координаты М 3 . Важно проверить, чтобы она не лежала в точке пересечения прямых и вообще не находилась на прямой a .

Итак, мы нашли координаты всех нужных точек – М 1 , М 2 и М 3 . Переходим к написанию уравнения плоскости, которая через них проходит. Запишем:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

Теперь найдем определитель матрицы x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 и получим общее уравнение для нужной нам плоскости, которая будет проходит через две заданные прямые a и b .

Как найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые?

Для этого нам понадобится вспомнить теорему, которая формулируется так:

Через две параллельные прямые проходит только одна плоскость.

Ее можно доказать, используя аксиому о единственной плоскости, которая проходит через три точки, а также утверждение о двух параллельных прямых (если одна из параллельных прямых пресекает некоторую плоскость, то это же делает и другая).

Итак, возможно задать плоскость в пространстве, если указать две параллельные прямые, которые в ней находятся.

Очевиден тот факт, что плоскость, которая проходит через 2 параллельные прямые и плоскость, которая проходит через три точки, две из которой лежат на одной из этих прямых, будут совпадать.

После этого мы можем найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, которая обозначается O x y z . Составим уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b .

Сводим задачу опять же к нахождению уравнения для плоскости с тремя точками. В самом деле, можно определить, какие точно координаты будут иметь М 1 и М 2 , лежащие на одной из параллельных прямых, и М 3 , расположенная на другой прямой. После этого просто запишем нужное нам уравнение для плоскости, проходящей через три точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в следующем виде:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, проходящей через заданные параллельные прямые.

Примеры задач на нахождение подобных уравнений

Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через 2 пересекающиеся или параллельные прямые, требуется вычислить координаты трех точек, которые расположены на этих прямых (две точки на одной прямой и третья на другой). Посмотрим, как это принцип реализуется на практике.

У нас задана прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Расположенная в ней прямая a проходит через точку M 1 ( — 3 , 1 , — 4 ) и пересекает координатную прямую O y в точке M 2 ( 0 , 5 , 0 ) . Составьте уравнение плоскости, которая будет проходить через пересекающиеся a и O y .

Решение

Изначально у нас заданы координаты двух точек, которые расположены на исходной прямой. Для составления уравнения нам нужна третья. Возьмем точку начала координат O ( 0 , 0 , 0 ) . Она расположена на O y и не совпадает с координатами двух точек, которые были заданы в условии. Та плоскость, что будет проходить через них, и есть та, для которой нам надо вывести уравнение. Запишем его в координатном виде:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 0 y — 0 z — 0 — 3 — 0 1 — 0 — 4 — 0 0 — 0 5 — 0 0 — 0 = 0 ⇔ ⇔ x y z — 3 1 — 4 0 5 0 = 0 ⇔ 20 x — 15 z = 0 ⇔ 4 x — 3 z = 0

Ответ: 4 x — 3 z = 0 .

Возьмем более сложный пример, где координаты нужных точек не будут столь очевидными.

У нас есть две пересекающиеся прямые a и b , которые заданы с помощью уравнений.

x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 x — 3 1 = y — 2 — 3 = z — 1 5

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через них.

Решение

Начнем с вычисления координат трех необходимых точек. Две из них расположены на прямой a , третья – на b .

Прямая в условии задана с помощью канонических уравнений в пространстве вида x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 , следовательно, она будет проходить через точку x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 .

Для вычисления координат второй точки нам надо записать параметрическое уравнение:

x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 ⇔ x = 7 + 4 · λ y = 7 + 5 · λ z = — 5 — 6 · λ

Если мы примем λ = 1 , то сможем подсчитать координаты второй точки:

x = 7 + 4 · λ y = 7 + 5 · λ z = — 5 — 6 · λ ⇔ x = 11 y = 12 z = — 11

Мы получили, что M 2 ( 11 , 12 , — 11 ) .

Понятно, что прямая, заданная с помощью уравнения x — 3 1 = y — 2 — 3 = z — 1 5 , будет проходить через точку M 3 ( 3 , 2 , 1 ) . Перед вычислениями надо проверить, не лежит ли она в точке пересечения прямых. Для этого надо подставить ее координаты во второе уравнение:

3 — 7 4 = 2 — 7 5 = 1 + 5 — 6 ⇔ — 1 ≡ — 1 ≡ — 1

Мы видим, что канонические уравнения прямой свелись к тождествам. Тогда наша третья точка лежит именно в месте пересечения прямых, значит, нам надо взять еще одну, которая будет находится на прямой b . Для этого также запишем параметрические уравнения:

x — 3 1 = y — 2 — 3 = z — 1 5 ⇔ x = 3 + μ y = 2 — 3 · μ z = 1 + 5 · μ

Высчитаем нужные координаты, приняв μ = 1 .

x = 3 + 1 y = 2 — 3 · 1 z = 1 + 5 · 1 ⇔ x = 4 y = — 1 z = 6 ⇔ M 3 ( 4 , — 1 , 6 )

Далее мы можем переходить непосредственно у формулированию уравнения нужной нам плоскости, которая будет проходить через M 1 ( 7 , 7 , — 5 ) , M 2 ( 11 , 12 , — 11 ) , M 3 ( 4 , — 1 , 6 ) :

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 7 y — 7 z — ( — 5 ) 11 — 7 12 — 7 — 11 — ( — 5 ) 4 — 7 — 1 — 7 6 — ( — 5 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 y — 7 z + 5 4 5 — 6 — 3 — 8 11 = 0 ⇔ 7 x — 26 y — 17 z + 48 = 0

Ответ: 7 x — 26 y — 17 z + 48 = 0 .

Очевидно, что процесс вычисления координат нужных нам точек занимает больше всего времени при решении подобных задач.

Нам осталось разобрать пример плоскости, которая проходит через две прямые, являющиеся параллельными.

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две параллельные прямые. Они выражены с помощью уравнений x = 2 · λ y = 1 + λ z = — 1 — λ и x — 3 2 = y 1 = z + 5 — 1 .

Решение

Вычисляем координаты двух нужных точек по параметрическим уравнениям, приняв λ = 0 и λ = 1 .

λ = 0 : x = 2 · 0 y = 1 + 0 z = — 1 — 0 ⇔ x = 0 y = 1 z = — 1 ⇔ M 1 ( 0 , 1 , — 1 ) λ = 1 : x = 2 · 1 y = 1 + 1 z = — 1 — 1 ⇔ x = 2 y = 2 z = — 2 ⇔ M 2 ( 2 , 2 , — 2 )

У нас получается, что прямая x — 3 2 = y 1 = z + 5 — 1 будет проходить через точку M 3 ( 3 , 0 , — 5 ) .

Переходим к уравнению плоскости для трех точек М 1 , М 2 и М 3 :

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 0 y — 1 z — ( — 1 ) 2 — 0 2 — 1 — 2 — ( — 1 ) 3 — 0 0 — 1 — 5 — ( — 1 ) = 0 ⇔ ⇔ x y — 1 z + 1 2 1 — 1 3 — 1 — 4 = 0 ⇔ — 5 x + 5 y — 5 z — 10 = 0 ⇔ x — y — z + 2 = 0

Ответ: x — y — z + 2 = 0 .

Плоскость в трехмерном пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение плоскости:

Пусть

которое называется уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор . Его можно преобразовать к виду

(8.1.2)

где . Уравнение (8.1.2) называется общим уравнением плоскости.

Приведём уравнение плоскости (8.1.2) к специальному виду. Для этого перенесём свободный член в правую часть уравнения: .

Разделим обе части уравнения на —D получим:

(8.1.3)

Это и есть специальный вид уравнения плоскости или уравнение плоскости «в отрезках», где а, b, с — величины отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях.

Если плоскость проходит через точки , не лежащие на одной прямой, то её уравнение можно записать в виде

Разложив данный определитель по элементам первой строки, придём к уравнению вида (8.1.1).

Уравнения (8.1.1), (8.1.3), (8.1.4) можно привести к виду (8.1.2).

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(0, -2, -1), В(2, 4, -2) и С(3, 2, 0).

Решение:

Воспользуемся формулой (8.1.4), где

Подставив координаты точек A, В и С, получим: Разложим определитель по элементам первой строки:Вычислив три определителя второго порядка, получим уравнение: . Сократив на 5 и приведя подобные, найдем уравнение искомой плоскости АВС: .

Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 8.1). Пусть прямая L и плоскость а заданы уравнениями:

Рассмотрим направляющий вектор прямой L и нормальный вектор плоскости (рис. 8.1). Если угол между ними острый, то его можно представить в виде разности, где — угол между прямой L й плоскостью . Тогда косинус угла между векторами и равен синусу угла между прямой L и плоскостью т.е.

.

Если угол между векторами тупой, то его можно представить в виде суммы . Поэтому в любом случае . Воспользовавшись формулой вычисления косинуса угла между векторами, получим формулу и для вычисления угла между прямой L и плоскостью:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой L и нормальный вектор плоскости коллинсарны, т.е. их координаты пропорциональны:

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая L и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и

перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю: (8.2.3)

Пример:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым и

Решение:

Так как , то уравнение плоскости будем искать в виде

Применяя условие параллельности (8.2.3) прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

где

Решив систему, найдем:

Подставив найденные значения коэффициентов А,В,С, полУ

чим искомое уравнение плоскости:

Угол между плоскостями. Рассмотрим две плоскости заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно,

что угол между нормальными векторами плоскостей равен одному из указанных смежных двугранных углов

или .Поэтому . Т.к. и

, то

Пример:

Определить угол между плоскостями

Решение:

Воспользовавшись формулой (8.2.4), получим:

Условие параллельности двух плоскостей. Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны.

Векторы параллельны, если их координаты пропорциональны:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: , или (8.2.6)

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2, 1, 4) параллельно плоскости .

Решение:

Уравнение плоскости будем искать в виде . Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Положив А=3, В=2, С=-7, получим уравнение плоскости

Так как , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению. Подставив координаты точки, — 6+2 — 28+D=0, найдем D = 32. Тогда искомое уравнение плоскости будет иметь вид: 3х + 2у -7z + 32=0.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точкиперпендикулярно плоскости x+y+z=0.

Решение:

Так как , то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь

Далее, так как , то подставив координаты точки в записанное уравнение, получим равенство -А-2С = 0 или А + 2С = 0.

Учитывая, что заданная плоскость перпендикулярна искомой, составим еще одно уравнение: A+B+С=0. Получим систему:

Выразив коэффициенты А и В через С: А = -2 С, В=С и подставив их в уравнение (8.2.7), -2С (х-1)+С (у-1)+С (z-l)=0, определяем искомое уравнение: —2х + у +z = 0 .

Понятие гиперплоскости

Взаимное расположение гиперплоскостей:

Рассмотрим n-мерное векторное пространство Пусть вектор этого пространства имеет координаты . По аналогии с пространством , естественно считать, что и в n-мерном векторном пространстве координаты произвольного вектора являются в то же время координатами некоторой точки М пространства . Тогда вектор х назовём радиус-вектором точки М Следовательно, каждому вектору можно поставить в соответствие точку и мы получим n-мерное точечное пространство. Точка О с координатами (О, 0, . 0) называется началом координат. Ей отвечает нулевой вектор. Геометрическое место точек называется координатной осью. Следовательно. в имеется n координатных осей:

Совокупность точек называется координатной гиперплоскостью .

Определение 8.3.1. Гиперплоскостью в п-мериом пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют линейному (векторному) уравнению:

где — произвольные действительные числа.

Заметим, что все не могут равняться нулю.

Рассмотрим две гиперплоскости:

Множество точек, принадлежащих как первой, так и второй гиперплоскости, называется их пересечением.

Теорема 8.3.1. Две гиперплоскости (8.3.2) и (8.3.3) не пересекаются в том и только в том случае, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, а свободные члены находятся в ином отношении:

Доказательство. Пусть гиперплоскости (8.3.2) и (8.3.3) не пересекаются. Следовательно, они не имеют общих точек и система

несовместна.

И наоборот, если система несовместна, то гиперплоскости (8.3.2) и (8.3.3) не пересекаются.

В силу теоремы Кронекера- Капелли система (8.3.5) несовместна, если ранг матрицы не равен рангу расширенной матрицы системы. А так как ранг расширенной матрицы системы не больше 2, то ранг матрицы системы должен ть равен 1. Эта возможность выражается условием (8.3.4).Поскольку для того, чтобы матрица имела ранг r = 1, нужно, чтобы строки были линейно зависимы, т.е. пропорциональны.

Ранг матрицы будет равен двум, если существует хотя бы один определитель второго порядка не равный нулю, т.е. если строки не пропорциональны. Теорема доказана.

Теорема 8.3.2. Для того, чтобы уравнения (8.3.2) и (8.3.3) определят одну и ту же гиперплоскость, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Доказательство. Достаточность. Пусть условия (8.3.6) выполнены. Обозначим отношения через t, т.е.

Тогда уравнение (8.3.2) можно получить из (8.3.3) умножением всех его членов на t. Поэтому уравнения равносильны и, следовательно, определяют одну и ту же гиперплоскость.

Необходимость. Пусть уравнения (8.3.2) и (8.3.3) определяют одну и ту же гиперплоскость. Система (8.3.5) совместна и, следовательно, ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. И т.к. эта система определяет одну гиперплоскость, то каждое из уравнений можно рассматривать как систему. Поэтому ранг этой системы равен 1 и все миноры второго порядка равны нулю, т.е.

Откуда следует, что

Определение 8.3.2. Две гиперплоскости называются параллель-ными, если они не пересекаются или совпадают.

Тогда из теорем 8.3.1 и 8.3.2 вытекает

Теорема 8.3.3. Две гиперплоскости (8.3.2) и (8.3.3) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты

пропорциональны, т.е.

Введем понятие прямой в n мерном пространстве по аналогии с параметрическими уравнениями прямой в трехмерном пространстве.

Определение 8.3.3. Прямой в называется множество точек (или векторов , удовлетворяющих уравнениям:

где , a t- переменный параметр, .

Определение 8.3.4. Отрезком в называется множество точек (или векторов ), удовлетворяющих уравнениям (8.3.7) при изменении параметра t в закрытом интервале . Точки называются концами отрезка.

Теорема 8.3.4. Всякая точка отрезка может быть выражена линейной комбинацией его концов:

Если в трехмерном пространстве провести плоскость, то она разделит его на две части, называемые полупространствами. Очевидно, и гиперплоскость разделит n-мерное пространство на полупространства, т.е. справедливо.

Определение 8.3.5. Полупространствами, порождаемыми гиперплоскостью называются два множества точек, удовлетворяющих соответственно условиям:

Гиперплоскость принадлежит обоим полупространствам, является их общей частью. Из (8.3.9) следует, что любое линейное неравенство геометрически определяет полупространство соответствующей размерности.

Определение 8.3.6. Множество точек удовлетворяющих условию или называется гиперсферой с центром в точке и радиусом r.

Системы m линейных неравенств с n неизвестными

В элементарной математике мы познакомились с линейными неравенствами одного или двух переменных:

Решением таких неравенств является промежуток числовой оси или полуплоскость.

Рассмотрим теперь линейное неравенство с n переменными:

в n-мерном пространстве.

Несколько неравенств, рассматриваемых совместно, образуют систему:

Определение 8.4.1. Областью решений системы т неравенств с п неизвестными называется множество точек пространства координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств системы.

Из того факта, что областью решения линейного неравенства является полупространство, вытекает

Теорема 8.4.1. Область решений системы линейных неравенств есть пересечение некоторого числа полупространств.

Это пересечение является выпуклым множеством; оно ограничено гиперплоскостями

Так как линейные неравенства (8.4.1) независимы, то система (8.4.2) при m-n будет либо определённой, либо несовместной. И, следовательно, пересечение n гиперплоскостей в n-мерном пространстве либо даёт точку, либо не содержит ни одной точки.

Так как число систем по n уравнений с n неизвестными, которое может быть получено из (8.4.2) не может быть сколь угодно большим, и так как не всякая точка пересечения гиперплоскостей (является решением) принадлежит пересечению всех m гиперплоскостей, то число крайних точек, т.е. точек пересечения гиперплоскостей, принадлежащих данному множеству, ограничено. Следовательно, рассматриваемое множество будет многогранником, а крайние точки — его вершинами.

Итак, .областью решений совместной системы линейных нера-qchqtb является выпуклый многогранник, гранями которого служат некоторые части гиперплоскостей.

Пример:

Найти решение системы линейных неравенств

Решение:

Строим на плоскости граничные прямые:

соответствующие заданным неравенствам (рис. 8.3). Каждая из них делит плоскость на две полуплоскости, одна из которых является решением соответствующего неравенства. Для выбора полуплоскости, являющейся решением неравенства, подставляем начало координат О (0, 0) в каждое неравенство. Если получаем верное неравенство, то полуплоскость, содержащая начало координат, является решением неравенства, в противном случае — полуплоскость, не содержащая начало координат, является решением неравенства.

Стрелки указывают полуплоскости, являющиеся областями решений данных неравенств. Пересечение отмеченных полуплоскостей- заштрихованный четырехугольник АВСД на рис. 8.3- область решения данной системы.

Применение систем линейных неравенств в экономических исследованиях

Рассмотрим систему m линейных неравенств с n переменными:

Каждое неравенство системы определяет полупространство. Решением системы (8.5.1) является пересечение этих полупространств.

Системы линейных неравенств широко применяются во многих экономических задачах, в частности, при построении линейной модели производства. Производственный способ описывает производство продукции и расход ресурсов в единицу времени. Он математически задается вектором выпуска или вектором валовой продукции и вектором называемым вектором затрат, отвечающим выпуску x.

Если в производственной системе используется m видов производственных ресурсов, определены запасы ресурса i при использовании j-той технологии, то модель производственной системы математически приобретает вид системы линейных неравенств (8.5.1), в которой .

Пример:

Пусть известно содержание питательных веществ в единице каждого из имеющихся в хозяйстве кормов. Известна также цена каждого корма. Требуется определить все возможные рационы для кормления скота, которые удовлетворяли бы суточную потребность в каждом питательном веществе, а общая стоимость используемых кормов не превосходила бы A.

Решение:

Введем обозначения: m — число питательных веществ; n — число изменяющихся видов кормов; —количество единиц i -го питательного вещества в единице j -го корма; — дневная потребность в / -ом питательном веществе; —стоимость единицы j -го корма; —количество единиц j-го корма, используемого в рационе .

Задача рациона формулируется следующим образом: определить рацион , удовлетворяющий условиям:

стоимость которого ограничена величиной А: .

Например, пусть;

Тогда получаем систему:

Определим множество решений данной системы на плоскости . Вначале строим граничные прямые

(рис. 8.4) соответствующие данным неравенствам. Каждая из них делит плоскость на две полуплоскости, одна из которых является решением соответствующего неравенства. Для выбора полуплоски являющейся решением неравенства, подставляем в каждое неравенство.

Если получаем верное неравенство, то полуплоскость, содержащая начало координат, является решением неравенства, в противном случае — полуплоскость, не содержащая начало координат, является решением неравенства.

Стрелки на прямых указывают полуплоскости, являющиеся областями решений данных неравенств. Заштрихованный четырехугольник и определяет все возможные рационы для кормления скота, удовлетворяющие данным условиям.

• Функция одной переменной
• Производная функции одной переменной
• Приложения производной функции одной переменной
• Исследование поведения функций
• Ранг матрицы — определение и вычисление
• Определители второго и третьего порядков и их свойства
• Метод Гаусса — определение и вычисление
• Прямая линия на плоскости и в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.