Уравнение плоской электромагнитной волны в диэлектрике

4.1. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике. Скорость распространения электромагнитной волны

При исследовании процессов в переменном электромагнитном поле пользуются полной системой уравнений Максвелла.

Здесь — плотность тока переноса

где r₊ и r_— – объемная плотность положительно заряженных частиц и отрицательно заряженных частиц, перемещающихся в пространстве со скоростью соответственно.

Для плоской, поляризованной электромагнитной волны, излучаемой источниками, не содержащими постоянных токов и зарядов (антенна), и распространяющейся в идеальном диэлектрике (g=0), уравнения электромагнитного поля можно преобразовать к следующему виду:

Отметим, что электромагнитная волна называется плоской, когда векторы зависят только от одной координаты, например z.

Поляризованной называется такая волна, в которой вектор напряженности электрического поля все время остается параллельным некоторому направлению (например, как в нашем случае, оси ох), а вектор напряженности магнитного поля – другому (оси оy).

Такие условия обеспечиваются при излучении электромагнитных волн неподвижной антенной на достаточно большом расстоянии от нее.

Таким образом, в электромагнитной волне, свободно распространяющейся в однородном и изотропном диэлектрике, векторы взаимно перпендикулярны ().

Уравнения (4.1) и (4.2) можно преобразовать к следующему виду:

имеет размерность скорости.

Уравнение (4.3) является уравнением колебаний или волновым уравнением и относится к гиперболическому типу.

Как известно, решение такого уравнения всегда можно представить в виде:

При этом составляющая Е_х1 называется прямо бегущей или прямой волной (перемещается в положительную сторону оси oz со скоростью u), а составляющая Е_х2 – обратно бегущей или обратной волной (перемещается в отрицательную сторону оси oz со скоростью u).

Используя выражения (4.1), (4.2) и (4.4) получаем формулу для напряженности магнитного поля

Составляющие Н_х1 и Н_х2 также называют прямой и обратной волной.

Таким образом, электромагнитная волна распространяется в пространстве со скоростью u (в прямом или в обратном направлении).

В частности, в пустоте (m=m₀, e=e₀) эта скорость равна скорости света (u=2.998*10 8 м/с»3*10 8 м/с).

Если существует только прямая или только обратная волна, то энергии электрического и магнитного полей равны между собой, так как при этом равны их объемные плотности

Отношение Е_х1/Н_у1=?`m¤e=Z_в имеет размерность электрического сопротивления и называется волновым сопротивлением среды.

В частности, для пустоты Z_в=377Ом (Z_в =120p).

Таким образом, для любой среды

В случае, если прямая электромагнитная волна распространяется в среде, абсолютное значение магнитной проницаемости которой m=m₁, а абсолютное значение диэлектрической проницаемости e=e₁, и подходит нормально (перпендикулярно) к плоской границе, разделяющей данную среду и среду с m=m₂ и e=e₂, то прямая волна (Е_х1=Е_j₁, Н_х1=Н_j₁) частично будет проходить сквозь поверхность раздела, образуя во второй среде преломленную (прямую) волну (Е_j₂, Н_j₂), а частично будет отражаться от поверхности раздела, образуя в первой среде отраженную (обратную) волну (Е_х2=Е_y₁, Н_х2=Н_y₁).

Соотношение между напряженностями поля для этих волн на поверхности раздела можно представить следующим образом:

-соответствующие волновые сопротивления первой и второй среды.

Если волновые сопротивления сред равны между собой (Z_в1= Z_в2), то отраженные волны отсутствуют.

В случае, когда источник (антенна) излучает электромагнитную волну, в которой напряженность электрического и магнитного поля изменяется по гармоническому закону, то для прямой волны

Здесь y_н— начальная фаза; w – угловая частота колебаний (w=2pf).

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в течение одного периода колебаний Т (Т=1/f), называется длиной волны

Из данного выражения видно, что длина волны в диэлектрике обратно пропорциональна частоте f. Так, при частоте f=1 МГц длина волны в пустоте равна 300 м, а при f=50Гц l=6000 км.

Курс I. Уравнения Максвелла в диэлектрической среде

Уравнения Максвелла в диэлектрической среде

Уравнения Максвелла в произвольной среде таковы

(1a)

система (1a) замыкается материальными соотношениями . Здесь — векторы электрической и магнитной индукции; — плотность токов проводимости; — плотность электрических зарядов; — величины, характеризующие свойства среды и считающиеся при этом заданными функциями точки, но не времени; — сторонние электродвижущие силы – заданные функции точки и времени.

Заметим, что в приведенном, общепринятом виде (1a) формулировка уравнений принадлежит Герцу (Максвелл уравнения приводил в интегральной форме).

Заметим также, что система (1a) – это постулат, обобщающий все известные до Максвелла явления электричества и магнетизма (Кулон 1785 г. – закон взаимодействия электрических зарядов; Эрстед 1820 г. – магнитное действие тока, существование связи между магнитными и электрическими явлениями; Ампер – все магнитные явления в природе вызваны электрическими токами (теория молекулярных токов Ампера); Фарадей 1831 г. – электромагнитная индукция; и т. д.)

Волновое уравнение. Электромагнитная природа света.

Для интересующих нас в дальнейшем диэлектриков с , система Максвелла принимает вид

(1.1)

откуда, если диэлектрическая проницаемость не зависит от времени, получаем

(1.2)

Из векторного анализа известно

тогда (1.2) принимает вид

(1.3)

Далее, из условия находим

, (1.4)

В результате, вместо (1.3) имеем

(1.5)

Аналогично, для найдем

(1.6)

В случае однородных диэлектриков , и (1.5),(1.6) принимают вид

(1.7)

Уравнения (1.7) называются волновыми. Их справедливость ограничена лишь требованием однородности среды и отсутствия в ней токов проводимости и свободных зарядов.

К ним относятся как граничные условия на поверхностях разделов сред, так и условия на границах рассматриваемой области пространства. Последние полностью определяются конкретными условиями задачи (например, условия на бесконечности).

Условия на границах разделов для диэлектриков (отсутствие поверхностных зарядов и токов проводимости) эквивалентны уравнениям

, , (1.8)

где индексы 1 и 2 относятся к двум граничащим средам, а t означает любое направление, касательное к поверхности раздела.

Плоские электромагнитные волны

Одним из простейших решений волнового уравнения является плоская волна.

Волна называется плоской, если в любой момент времени во всех точках произвольной плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, векторы поля постоянны. Если этим направлением считать ось z, то компоненты поля плоской, монохроматической волны имеют вид

, , (1.9)

где — частота; векторы , вообще говоря, комплексные и зависят только от координаты z.

Подстановка (1.9) в волновые уравнения (1.7) дает

, , (1.10)

где — волновое число в диэлектрике.

Элементарно решив (1.10), найдем решения волновых уравнений в случае плоских волн в виде

, , (1.11)

каждое из которых представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях оси z. Здесь — произвольные постоянные интегрирования.

Обычно, в качестве решения рассматривается одна из волн, например,

, . (1.12)

С помощью найденного простейшего решения (1.12) можно продемонстрировать ряд важнейших общих свойств электромагнитных волн.

В частности, если ось z координатной системы не совпадает с направлением распространения волны, дифференцирование векторов поля по координатам сведется к их умножению на величину , где — единичный вектор в направлении распространения. Для однородных диэлектриков из уравнений Максвелла имеем

, , (1.13)

откуда следует, что векторы и перпендикулярны к , т. е. плоские электромагнитные волны – суть поперечные волны.

По аналогии, дифференцирование векторов поля по t сводится к их умножению на . В частности, из второго уравнения Максвелла (1.1) получаем

или, с учетом ,

. (1.14)

Последнее означает, что векторы и взаимно перпендикулярны, а три взаимно перпендикулярных вектора , и образуют правовинтовую систему.

Из (1.14) следует также, что , т. е. отношение числовых значений векторов и от времени не зависит, т. е. эти векторы обладают одинаковыми фазами и изменяются синхронно.

Всегда следует помнить, что физический смысл компонент поля, записанных в комплексной форме (см., например, запись (1.12)), несут лишь действительные части этих выражений. При этом каждая из декартовых компонент электрического и магнитного векторов поля плоской, монохроматической волны имеет вид

a>0. (1.15)

Здесь обозначает переменную часть фазового множителя, т. е.

, (1.16)

— направление распространения волны; — постоянная часть этого множителя.

Совместим ось z c . Тогда, в силу поперечности волны отличными от нуля будут только x — и y-компоненты векторов. Исследуем характер кривой, которую конец электрического (или магнитного) вектора описывает в произвольной точке пространства. Эта кривая – геометрическое место точек с координатами

(1.17)

a) Эллиптическая поляризация

После несложных математических операций исключим из (1.17) и получим

, (1.18)

где .

В аналитической геометрии показывается, что (1.18) представляет собой уравнение конического сечения, а более конкретно – уравнение эллипса. Этот эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины и . Таким образом, конец электрического вектора описывает эллипс в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Аналогично показывается, что конец магнитного вектора поля также описывает эллипс, вписанный в прямоугольник со сторонами в раз большими. Последнее следует, в частности, из соотношения (1.14).

Из общих физических соображений следует также различать две возможные эллиптические поляризации в соответствии с направлением, в котором конец электрического вектора описывает эллипс. В литературе сформировалось определение, согласно которому правой поляризация называется, когда наблюдателю, смотрящему навстречу световому лучу, кажется, что конец электрического вектора движется по часовой стрелке. Для левой эллиптической поляризации справедливо обратное.

Поскольку параметры в предыдущем рассмотрении были произвольными, то эллиптическую поляризацию электромагнитных волн следует считать наиболее общим из состояний поляризации. Более частные типы поляризации соответствуют определенным соотношениям между этими параметрами.

b) Линейная и круговая поляризации

Перейдем к рассмотрению частных случаев.

то эллипс (1.18) превратится в прямую линию. В самом деле, уравнение (1.18) переходит при этом в

, (1.19)

а конец электрического вектора в прямоугольнике колеблется вдоль одной из его диагоналей.

Иногда эта линейная поляризация называется еще плоской поляризацией. Понятно, что в этой ситуации магнитный вектор также линейно поляризован.

Другим частным случаем эллиптической поляризации является круговая. Переход от эллиптической к круговой поляризации происходит тогда, когда, во-первых, и, во-вторых,

, .

Уравнение (1.18) переходит при этом в уравнение окружности

, (1.20)

где также различают правую и левую поляризации.

Круговая поляризация иногда называется циркулярной.

Итак, во всех случаях поляризованного света концы векторов поля в каждой точке движутся периодически. В случае же неполяризованного света они движутся совершенно нерегулярно, и такие световые колебания не имеют никаких преимущественных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Основные законы оптики – преломление света, отражение, полное внутреннее

Применим теперь найденные выше для плоских волн соотношения к исследованию распространения этих волн при наличии плоской границы, разделяющей два однородных, изотропных диэлектрика, занимающих два полупространства.

В задаче о преломлении волн на границе полубесконечной среды физический смысл имеет решение, основанное на предположении о наличии трех волн: падающей, отраженной и преломленной.

Падающая на границу волна порождает новый волновой процесс.

По определению плоская волна полностью определена, если известно ее поведение во времени в некоторой точке пространства. Вторичные поля, возникающие на границе, будут так же изменяться во времени, как и первичное поле падающей волны. Поэтому переменные части фазовых множителей трех волн в произвольной точке должны быть одинаковыми:

, (1.21)

где — единичные векторы в направлениях падающей, отраженной и преломленной волн; — скорости распростра

нения волн в обеих средах.

Выбрав в качестве границы раздела плоскость z=0, (1.21) запишем в виде

. (1.22)

Равенства должны выполняться для любых значений x и y на границе. Это дает

(1.23)

откуда следует, что все три вектора лежат в одной плоскости с нормалью к границе (в плоскости падения).

Выберем в качестве плоскости падения плоскость xz. Тогда y-компоненты векторов равны нулю, а прочие таковы:

(1.24)

где — углы, которые образуют с осью z (рис. 1).

Из (1.24) и (1.23) имеем

(1.25)

откуда , и из рис. 1 видно, что , т. е. угол падения равен углу отражения. В этом состоит закон отражения.

Из (1.25) следует также

(1.26)

Последнее соотношение вместе с утверждением, что нормаль к преломленной волне лежит в плоскости падения составляет закон преломления (или закон Снеллиуса).

Если > (луч падает из более плотной в менее оптически плотную среду), то из (1.26) видно, что для любого угла падения существует вещественный угол преломления ( воспользуемся им и положим

Тогда (1.27) примет вид

(1.28)

Ясно также, что физический смысл имеет лишь нижний знак перед корнем во втором сомножителе в (1.28).

Из (1.28) следует, и это подтверждается опытным путем, что электромагнитное поле в среде 2 все же не равно нулю. Волна (1.28) представляет собой неоднородную волну, распространяющуюся в плоскости падения вдоль x по поверхности раздела сред и с экспоненциально падающей с ростом z амплитудой. Эта волна не является поперечной, поскольку ее компонента электрического вектора . Эффективная глубина ее проникновения в обе стороны от поверхности раздела сред оказывается порядка длины волны.

1. . Электромагнитные волны. Сов. Радио, 1957.

2. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М., Наука, 1970.

3. . Основы теории электричества. М., Наука, 1989.

В ИДЕАЛЬНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ

В природе наблюдается факт существования материального объекта – электромагнитного излучения (электромагнитных волн). Экспериментальные исследования электромагнитных волн выявили ряд свойств этого излучения. Например, электромагнитные волны оказались поперечными волнами (вспомните явление поляризации света); в электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, электрические и магнитные поля колеблются в фазе; электромагнитная волна обладает импульсом (опыты П.Н. Лебедева) и другие факты. Уравнения Максвелла как фундаментальные постулаты электродинамики согласуются с наблюдаемыми экспериментальными фактами. Отметим также, что разработка электро- и радиотехнические устройства также опирается на следствия из уравнений Максвелла. Соответствие экспериментальных результатов и выводов из уравнений Максвелла является подтверждением того, что эти уравнения адекватно описывают электромагнитные явления в макромире.

Предварительно, перед началом изучения следующих разделов, рекомендуем вспомнить волновое уравнение в струне (глава 1).

3.5.1. Из уравнений Максвелла вытекает существование

электромагнитного излучения (электромагнитной волны).

Данное утверждение можно качественно интерпретировать уравнениями Максвелла в интегральной форме. Например, если в некоторой точке пространства создать переменное электрическое поле ( ), то это порождает переменное магнитное поле H [ = ]. В свою очередь, переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле E (уравнение = ). Этот процесс будет повторяться в пространстве и во времени, т.е. возникнет электромагнитное излучение.

Волновое уравнение электромагнитного излучения непосредственно вытекает из уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Покажем это. В качестве среды вначале возьмем идеальный диэлектрик, т.е. непроводящую (плотность тока j = 0) и нейтральную среду (плотность свободных зарядов r = 0). В этом случае имеем следующую систему уравнений (см. сводную таблицу § 3.4.6):

1) ротор вектора E: [Ñ, E] = — ,

2) ротор вектора H: [Ñ, H] = , (26)

3) дивергенция вектора E: ÑE =0,

4) дивергенция вектораH: ÑH = 0.

Возьмем ротор от первого уравнения системы уравнений (26):

[Ñ [Ñ, E]] = — , (27)

Операция, выраженная оператором набла Ñ = + + – это операция дифференцирования по координатам. В правой части уравнения вначале осуществляется дифференцирование по времени, затем по координатам. Изменим порядок дифференцирования, имеем:

= .

Но [Ñ, H]= [второе уравнение исходной системы (26)], поэтому (27) запишется в виде: [Ñ [Ñ, E]] = (28)

В левой части уравнения (28) стоит двойное векторное произведение. Напомним правило двойного векторного произведения на примере векторов a, b, c:

[а,[b, c]] = b(a×c) —c(a×b).

Вначале выполняются скалярные произведения стоящих в скобах векторов (a×cи a×b), и затем векторыb и c умножаются на соответствующие результаты скалярного произведения.

Итак, имеем: [Ñ [Ñ, E]] = Ñ (ÑE) -Ñ 2 E,

где оператор Ñ 2 = ( + + ) ( + + ) = + +

называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа для краткости часто обозначается символом «D», т.е. Ñ 2 º D: D = + + .

Так как ÑE =0 [третье уравнение в системе уравнений Максвелла (26)], то: [Ñ [Ñ, E]] = -Ñ 2 E. (29)

Подставив (29) в (28), получим:

Ñ 2 E = или Ñ 2 E = . (30)

Взяв теперь ротор от второго уравнения системы уравнений (26), и произведя аналогичные преобразования, получим уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

Ñ 2 H = или Ñ 2 H = . (31)

Уравнения (30) и (31) — волновые уравнения, описывающие распространение электромагнитной волны в диэлектрике. Волновые уравнения получены с использованием системы уравнений Максвелла (26). Следовательно, характеристики электромагнитной волны – векторы E иH — взаимосвязаны между собой и взаимообусловливают друг друга.

Электромагнитное поле находится в состоянии движения и распространяется в виде электромагнитной волны с фазовой скоростью c. В уравнениях (30) и (31) величина c = — скорость распространения электромагнитной волны в вакууме (скорость света в вакууме) – фазовая скорость волны. В среде фазовая скорость волны меньше скорости в вакууме: v = ,

где e — электрическая проницаемость среды, m — магнитная проницаемость среды.

Представим уравнения (30) и (31) относительно декартовой системы координат в развернутом виде:

+ + = , (32)

+ + = , (33)

где E = E_xi+ E_yj + E_zk; H = H_xi+ H_yj + H_zk.

Если волновая поверхность электромагнитной волны имеют произвольную форму, то, в общем случае, производные компонентов векторов по координатам в (32) и (33) могут принимать ненулевые значения.

Для анализа свойств электромагнитной волны рассмотрим случай, когда волновая поверхность представляет собой плоскую поверхность. Такая волна является плоской электромагнитной волной.

3.5.2. Волновое уравнение плоской электромагнитной волны в идеальном диэлектрике в отсутствии потерь. Решение волнового уравнения, свойства волны

Волновое уравнение плоской электромагнитной волны. Так как рассматриваемая электромагнитная волна является плоской волной, то, не теряя общности рассуждений, разумно совместить направление распространения волны с какой-либо осью декартовой системы, например, с осью 0Z. В этом случае плоская волновая поверхность будет параллельна координатной плоскости X0Y, а компоненты векторов E и H будут зависеть только от координаты z. Производные компонентов векторовE и H по координатам x и y примут нулевые значения (т.е. все и ).

На рис. 3-32 показаны несколько плоских волновых поверхностей электромагнитной волны. Волна распространяется в направлении оси 0Z; волновые поверхности параллельны координатной плоскости X0Y, а ось 0Z перпендикулярна волновой поверхности. Вектор v – фазовая скорость распространения электромагнитной волны.

Выпишем уравнения Максвелла относительно декартовой системы координат для непроводящей и нейтральной среды (в этих уравнениях i,j,k — орты в направлении осей x, y, z соответственно):

1) ( — )i+ ( — )j+ ( — )k = — ;

2) ( — )i+ ( — )j+ ( — )k= ;

3) = 0;

4) = 0.

Два вектора равны, если равны их компоненты, поэтому, с учетом равенства нулю производных по координатам x и y, получим следующую систему уравнений:

из первого уравнения вытекают соотношения

= , = , 0 = ; (34)

= , = , 0 = ; (35)

из третьего — = 0; (36)

из четвертого — = 0. (37)

Из последнего уравнения (34) и уравнения (37) следует, что компонента напряженности магнитного поля не зависит ни от координаты z, ни от времени t, т.е. H_z = const. Аналогично, из последнего уравнения (35) и уравнения (36) следует, что компонента напряженности электрического поля E_z = const, т.к. E_z также не зависит ни от координаты z, ни от времени t. Ситуация, когда H_z = const и E_z = const означает, что на электромагнитную волну накладывается стороннее постоянное однородное магнитное и электрическое поле, а само электромагнитная волна не содержит компонентов H_z и E_z. Можно сказать по-другому: если компоненты электромагнитной волны H_z и E_z не изменяются ни во времени, ни в пространстве, то эти компоненты не существуют.

Условия, когда компоненты электромагнитной волны H_z = 0, E_z = 0означают, что векторы H и Eперпендикулярны оси 0Z и расположены в волновой поверхности, т.е. электромагнитная волна является поперечной волной. Весьма убедительным экспериментальным подтверждением поперечности электромагнитных волн являются, например, опыты по поляризации электромагнитных волн в видимом диапазоне частот — опыты по поляризации света.

Из двух первых уравнения (34) и двух первых уравнения (35) образуются две группы независимых уравнений.

Первая группа — уравнения

= и = (4.38)

связывают между собой компоненты E_y и H_x.

Из первого уравнения (38) следует, что если создать переменное во времени магнитное поле H_x, направленное вдоль оси 0X, то поле H_x порождает переменное электрическое поле E_y, направленное вдоль оси 0Y. В свою очередь, из второго уравнения (38) следует, что переменное электрическое поле E_y, направленное вдоль оси 0Y, порождает переменное магнитное поле H_x, направленное вдоль оси 0X. Этот процесс периодически повторяется. Обратите внимание, в этом случае поля E_x и H_y не возникают. Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и направлены, соответственно, вдоль осей 0Y и 0X.

Вторая группа — уравнения

= и = (4.39)

связывают между собой компоненты E_x и H_y.

Из первого уравнения (39) следует, что переменное магнитное поле H_y порождает переменное электрическое поле E_x. В свою очередь, из второго уравнения (39) следует, что переменное электрическое поле E_x порождает переменное магнитное поле H_y. Этот процесс периодически повторяется. Поля E_y и H_x в этом случае не возникают. Векторы E и Hвзаимно перпендикулярны и направлены, соответственно, вдоль взаимно осей 0X и 0Y.

Итак, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из независимых групп уравнений – или группу уравнений (4.38), или группу (39). При этом компоненты другой группы будут равны нулю.

Возьмем, например, группу уравнений (39). При этом выборе E_y = 0 и H_x = 0. Продифференцируем первое уравнение (39) по z, и, поменяв последовательность дифференцирования в правой части, получим:

= .

Подставим в это уравнение второе уравнение из (39), получим:

= , или = , или = , (40)

где: c = — скорость электромагнитной волны в вакууме; v = — скорость волны в среде. Уравнение (40) – волновое уравнение для E_x.

Аналогично, продифференцировав второе уравнение (39) по z, и подставив в полученный результат первое уравнение, получим волновое уравнение для H_y: = или = (41)

Разумеется, полученные волновые уравнения (40) и (41) являются частным случаем уравнений (32) и (33), однако случай плоской волны позволяет существенно упростить анализ свойств электромагнитной волны.

Решение волнового уравнения. Свойства электромагнитной волны. Часть свойств электромагнитной волны выяснены выше: электромагнитная волна является поперечной волной; векторыE и Hволны взаимно перпендикулярны. Для обсуждения других свойств волны рассмотрим решение волновых уравнений (40) и (41).

Напомним, решением дифференциальных уравнений вида (40) и (41) является любая непрерывная и дифференцируемая функция вида

когда волна распространяется в положительном направлении 0Z, или функция F(vt + z),

когда распространяется в отрицательном направлении 0Z.

Допустим, в источнике электромагнитных волн вектор напряженности электрического поля E совершает гармонические колебания в направлении 0Y и в пространство излучается плоская электромагнитная волна в направлении 0Z. В этом случае в качестве решения (40) и (41) естественно выбрать функцию косинуса (или синуса).

Однако аргумент функции F(vt – z) измеряется в метрах, а аргумент косинуса в радианах, поэтому необходимо умножить (vt – z) на постоянную величину, измеряемую в единице , чтобы аргументом косинуса стал угол. Введем постоянную величину k = рад/м, где l – некоторая длина. Умножим константу k на (vt – z), тогда аргументом функции косинуса становится величина (vt – z), измеряемая в радианах. Итак, в качестве решения (40) выберем функцию

E_x = E₀ cos [ (vt – z) + j]. (42)

Проведем анализ уравнения волны (4.42), для чего раскроем скобки в аргументе (42): E₀ cos [ (vt – z) + j] = E₀ cos ( vt – z + j).

Длина волны, волновое число, период колебаний.

В фиксированный момент времени t на расстоянии между двумя точками пространства, равном l, фаза волны изменяется на полный угол 2p радиан ( z = l = 2p). Из этого следует, что величина l — это минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых E_x колеблются в фазе. Величина l называется длиной волны, а константа k = — волновым числом. Волновое число k в фиксированный момент временипоказывает изменение фаза волны в пространстве на единице длины, поэтому волновое число еще называют фазовым множителем.

За промежуток времени, в течение которого волна проходит расстояние равное длине волны l, электрическое поле E в фиксированной точке пространства совершает одно полное колебание. Этот промежуток времени называется периодом колебаний электрического поля: T = . Приходим к следующим известным соотношениям:

v= = 2pf = w = kv, (43)

где: f = – частота колебаний, которая определяет число колебаний в секунду (измеряется в герцах); w — круговая или циклическая частота, которая определяет изменение фазы колебаний за секунду (измеряется в рад/с).

Воспользовавшись приведенными соотношениями, уравнение волны для электрического поля (42) можно записать в виде

Решение волнового уравнения (4.41) для магнитного поля H_y имеет аналогичное содержание:

В уравнениях волны (44) и (45) начальные фазы напряженностей E_x и H_y обозначены через j и g. Покажем, что фазы колебаний E_xи H_y в любой момент времени и в каждой точке пространства одинаковы. Из уравнений (44) и (45) следует, что для этого достаточно показать равенство их начальных фаз: j = g.

Равенство фаз колебаний полейE_xи H_y электромагнитной волны в идеальном диэлектрике (синфазное колебание E_xи H_y).

Напомним, под идеальным диэлектриком понимается среда, в которой отсутствуют свободные заряды, и которая, следовательно, не проводит электрический ток.

Уравнения (44) и (45) являются решениями волновых уравнений соответственно (40) и (41), которые, в свою очередь, получены из группы уравнений (39). Подставим (44) и (45) в (39), получим:

Эти равенства показывают, что, во-первых, фазы колебаний E_xи H_y одинаковые, т.е. (wt – kz + j) = (wt – kz + g), что выполняется при равенстве начальных фаз j = g. Итак, решение волновых уравнений в диэлектрике имеют вид:

Во-вторых, должны выполняться соотношения

Перемножив эти уравнения, получим: k ee₀w = k mm₀w . Отсюда следует, что амплитуды векторов E и H связаны между собой соотношением

= . (46)

Это соотношение верно и для других мгновенных значений E и H в идеальном диэлектрике.

Величина измеряется в единицах сопротивления и называется волновом сопротивлением среды Z₀ = = . В частности, волновое сопротивление вакуума

Z₀ = = » 380 Ом (e₀ = , m₀ = ).

На рис. 34 показаны векторы E и H гармонической электромагнитной волны в разных точках среды в некоторый фиксированный момент времени t (волна находится в идеальном диэлектрике). Пространственный профиль векторов E и H гармонической волны образуют синусоиду, которая на рисунке представлена огибающей значений векторов в объеме диэлектрика. С течением времени профиль будет смещаться в направлении оси 0Z со скоростью v = .

Приведем некоторые выводы из ранее изложенного. Научные факты, выявленные в результате экспериментальных исследований явлений электромагнетизма в макромире, теоретически обобщены системой из четырех уравнений Максвелла. В свою очередь, следствия, получаемые из уравнений Максвелла, находятся в согласии с экспериментальными фактами. Часть следствий были рассмотрены выше:

1) из уравнений Максвелла следует существование электромагнитного поля, распространяющегося в виде электромагнитной волны (электромагнитного излучения) с фазовой скоростью v = , где — скорость электромагнитной волны в вакууме;

2) электромагнитная волна – поперечная волна, причем вектора E и H взаимно перпендикулярны и образуют совместно с фазовой скоростью волны v правовинтовую систему (E ® H®v);

3) фазы колебаний E_xи H_y в диэлектрике в любой момент времени в каждой точке пространства одинаковы ([1]) (векторы E и H в каждой точке пространства колеблются в фазе);

4) амплитуды векторов E и H связаны между собой соотношением = ;

5) волновое сопротивление диэлектрика определяется соотношением

Z₀ = = , в вакууме Z = » 380 Ом.

Используя понятие волнового сопротивления, решение волновых уравнений (44 * ) и (45 * ) можно представить в виде:

H_y = cos (wt – kz +g). (48)

В заключение параграфа отметим, что если фазовая скорость v электромагнитной волны направлена произвольно относительно осей координат, то решение волнового уравнения — уравнение волны — определяется всеми координатами. Например, решения волновых уравнений (32) и (33) в случае плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении, образующий с осями координат 0X, 0Y, 0Z углы a, b, h, имеют вид:E(r,t)= E₀ cos (wt – kr+ g),(49)

H(r,t)= H₀ cos (wt – kr+ g), (50)

где: k = n– волновой вектор (k = – волновое число, n – единичный вектор в направлении фазовой скорости волны v); r = xi +yj +zk– радиус-вектор точки волновой поверхности с координатами x, y, z в фиксированный момент времени. Здесь скалярное произведение векторов kи rимеет вид:kr= k_x x + k_y y + k_z z, где: k_x = cosa, k_y = cosb, k_z = cosh. Здесь a — угол между направлением nи осью 0X, b — угол между nи осью 0Y, h — угол между nи осью 0Z.

3.5.3. Дифференциальные уравнения Максвелла в комплексной

форме

1. Представление гармонических процессов в комплексной форме. Мы уже оперировали комплексными величинами. Здесь обратим внимание еще на одну деталь, связанную с комплексным представлением электромагнитных волн.В предыдущем параграфе в качестве решения волнового уравнения выбрана гармоническая (синусоидальная) функция. В этом есть определенный резон. И дело даже не в том, что выбранное простое решение позволяет наглядно воспринимать результат и анализ решения. Большинство сигналов, используемых в акустике, электротехнике и радиотехнике, являются периодическими функциями F(t), которые могут быть разложены по гармоническим функциям в ряд Фурье (при дискретном частотном спектре) или интеграл Фурье (при непрерывном спектре частот). В этой связи, изучение гармонических электромагнитных волн важно как в познавательном плане, так и для практики.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме содержат производные по координатам и времени. В этой связи уравнение гармонической волны удобно представлять в комплексной форме, воспользовавшись формулой Эйлера , где i = . Так как производная от экспоненты равна самой экспоненте, то представление гармонических процессов в комплексной форме существенно упрощает расчеты.

Напомним, операция перехода от вещественной гармонической функции к экспоненциальной комплексной функции проводится следующим образом. Воспользовавшись вещественной функцией x(t) = A₀cos (wt + j),формируется комплексная величина x_к(t):

В соответствии с формулой Эйлера, функцию x_к(t) записывается в виде комплексной экспоненциальной функции

x_к(t) = A₀ или x_к(t) = A₀ .

Величина = A₀ , которая не зависит от времени t, называется комплексной амплитудой.Символ в жаргонном варианте читается: «А с крышкой». Модуль комплексной амплитуды равен вещественной амплитуде A₀, а аргумент — начальной фазе j вещественной функции. Таким образом, комплексная форма гармонической функции запишется в виде

x_к(t) = . (51)

Линейные операции (сложение, дифференцирование, интегрирование и т.п.) над комплексными функциями проводятся раздельно над вещественным и мнимым частями комплексной функции. В результате таких операций вновь получается некоторая комплексная величина. От конечной комплексной функции можно выделить вещественную часть, и, тем самым, записать результат вычислений в виде вещественной синусоидальной функции.

Представим уравнение плоской волны (49) в комплексной форме:

E_к(x, y, z; t) = E₀ или

E_к(x, y, z; t) = (x, y, z) , (52)

где (x, y, z) = E₀ — комплексная векторная амплитуда напряженности электрического поля электромагнитной волны. Комплексная амплитудане зависит от времени t, и является функцией координат точек наблюдения (x, y, z).

В уравнении волны (49) вещественного вектора Eпространственная и временная аргументы входят в функцию косинуса совместно, а в уравнении волны комплексной функции E_к (52) пространственная и временная аргументывходят в раздельно в разные сомножители — (x, y, z) и .

Уравнение волны комплексной векторной функцииH_к(50)имеет аналогичный вид: H_к(x, y, z; t) =(x, y, z) , (53)

где (x, y, z) = H₀ — комплексная векторная амплитуда напряженности магнитного поля электромагнитной волны не зависит от времени t.

2. Уравнения Максвелла в комплексной форме. Подставим в уравнения для роторов электромагнитного поля

[Ñ, E] = — и [Ñ, H] = j + (54)

уравнения волны комплексных векторных функций E_к (52) и H_к (53). Напомним, оператор набла Ñ представляет собой дифференцирование по координатам, следовательно: [Ñ, E_к] = [Ñ,] и [Ñ, H_к] = [Ñ,] . Имеем также: = H_к или = ;