Уравнение плоской и сферической монохроматической электромагнитной волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

.

(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или .

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Уравнения плоской и сферической волн

Волновые процессы

Основные понятия и определения

Рассмотрим некоторую упругую среду — твёрдую, жидкую или га­зообразную. Если в каком-либо месте этой среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, колебания будут, передаваясь от одной частицы среды к другой распространяться в среде с некоторой скоростью . Процесс распространения колеба­ний в пространстве называется волной.

Если частицы в среде колеблются в направлении распростране­ния волны, то она называется продольной. Если колебания частиц происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то волна называется попереч­ной. Поперечные механические волны могут возникнуть только в сре­де, обладающей ненулевым модулем сдвига. Поэтому в жидкой и газо­образной средах могут распространяться только продольные волны. Различие между продольными и поперечными волнами наиболее хорошо видно на примере распространения колебаний в пружине — см. рисунок.

Для характеристики поперечных колебаний необходимо задать положение в пространстве плоскости, проходящей через направление колебаний и направление распространения волны — плоскости поляризации.

Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется волновым полем. Граница между волновым полем и остальным пространством среды называется фронтом волны. Иначе говоря, фронт волны — геометрическое место точек, до которых колебания дошли к данному моменту времени. В однородной и изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к фронту волны.

Пока в среде существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия. Пусть эти колебания являются гармоническими, и период этих колеба­ний равен Т . Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние

(22.1)

вдоль направления распространения волны, совершают колебания одинаковым образом, т.е. в каждый дан­ный момент времени их смещения одинаковы. Расстояние называется длиной волны. Другими словами, длина волны есть расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.

Геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе называется волновой поверхностью. Фронт волны – частный случай волновой поверхности. Длина волны – минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых точки колеблются одинаковым образом, или можно сказать, что фазы их колебаний отличаются на .

Если волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской, а если сферами – то сферической. Плоская волна возбуждается в сплошной однородной и изотропной среде при колебаниях бесконечной плоскости. Возбуждение сферической можно представить в виде результата радиальных пульсаций сферической поверхности, а также как результат действия точечного источника, размерами которого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно пренебречь. Поскольку любой реальный источник имеет конечные размеры, на достаточно большом расстоянии от него волна будет близка к сферической. В то же время участок волновой поверхности сферической волны по мере уменьшения его размеров становится сколь угодно близким к участку волновой поверхности плоской волны.

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое определяет сме­щение колеблющейся точки, как функцию координат равновесного поло­жения точки и времени:

Если источник совершает периодические колебания, то функция(22.2) должна быть периодической функцией и координат и времени. Периодичность по времениследует из того, что функция описывает пе­риодические колебания точки с координатами; периодич­ность по координатам — из того, что точки находящиеся на расстоя­нии вдоль направления распространения волны, колеблются одинаковым образом

Ограничимся рассмотрением гармонических волн, когда точки среды совершают гармонические колебания. Необходимо отметить, что любую негармоническую функцию можно представить в виде результата наложения гармонических волн. Поэтому рассмотрение только гармонических волн не приводит к принципиальному ухудшению общности получаемых результатов.

Рассмотрим плоскую волну. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси Ох и, поскольку все точки волновой поверхности ко­леблются одинаково, смещение точек среды из положений равновесия будет зависеть только отх и t:

(22.3)

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости имеют вид:

(22.4)

Колебания в плоскости, находящейся на расстоянии х от начала координат, отстают по времени от колебаний в на промежуток времени , необходимый волне для преодоления расстояния х, и описываются уравнением

, (22.5)

которое и является уравнением плоской волны, распространяющейся в направлении оси Ох.

При выводе уравнения (22.5) мы предполагали амплитуду колебаний одинаковой во всех точках. В случае плоской волны это выполняет­ся, если энергия волны не поглощается средой.

Рассмотрим некоторое значение фазы, стоящей в уравнении (22.5):

(22.6)

Уравнение (22.6) даёт связь между временем t и местом — х, в котором указанное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив из уравнения (22.6) , мы най­дём скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Диффе­ренцируя(22.6), получаем:

, откуда следует (22.7)

Таким образом, скорость распространения волны в (22.1) есть скорость распространения фазы, вследствие чего её называет фазовой скоростью.

Уравнение (22.5) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном нап­равлении, будет описываться аналогичным уравнением:

(22.8)

Уравнения (22.5) и (22.8) обычно представляют в несколько ином виде, чтобы переменные х и t входили в уравнение волны симметрично. Для этого введем величину

, (22.9)

которую называют волновым числом.

С учётом (22.9) уравнение плоской волны (22.5) можно, записать в следующем виде:

(22.10)

Получим уравнение сферической волны. Рассуждая так же, как и в случае плоской волны, легко видеть что точки, лежащие на волновой поверхности радиуса R колеблются с фазой . Можно показать, что амплитуда колебаний в сферической волне даже при отсутствии поглощения среды убывает по закону 1 /R (это является следствием того, что энергия источника волны распределяется по мере удаления от него по волновым поверхностям возрастающей площади). Поэтому уравнение сферической волныможно записать в виде:

(22.11)