Уравнение плоской линейно поляризованной волны

Уравнение плоской линейно поляризованной волны

Физика

1. Интерференция световых волн

Интерференцией волн называется явление усиления колебаний в одних и ослабление колебаний в других точках пространства в результате наложения двух или нескольких волн, приходящих в эти точки пространства.

Для наблюдения устойчивой во времени интерференционной картины необходимы условия, при которых частоты, поляризация и разность фаз интерферирующих волн, были бы постоянными в течение всего времени наблюдения.

Интерферируют когерентные, монохроматические волны.

Когерентные волны — волны одинаковой частоты, колебания в которых отличаются постоянной разностью фаз, не изменяющейся со временем.

1.1. Интерференция от двух источников

Свет от одного источника с помощью непрозрачного экрана с двумя отверстиями даёт возможность получить два когерентных источника волн (схема Юнга). Расстояние между источниками (В, С) равно l. Длина волны, излучаемая источниками λ, расстояние до экрана, где наблюдается интерференция. О – центр экрана.

Пусть в точке М – экрана происходит наложение когерентных волн. Получим условие усиления и ослабления волнами друг друга. Расстояние от В источника до точки М – d 1 , от С до точки М – d 2 . Колебания точки М, вызываемые первым. источником волн: , а колебания, вызываемые 2-ым источником: , где А – амплитуда колебаний источников, ω – частота колебаний, k=2π/λ – βолновое число.

Результирующее колебание точки М:

Амплитуда колебаний точки М:

A M =2Acos(k(d 2 -d 1 )/2) зависит от положения точки на экране и может быть равной 2А, если волны усиливают друг друга или нулю, если волны ослабляют друг друга.

Получим условие усиления или максимум интерференции. Чтобы А М =2А, необходимо чтобы

Это выполняется, если

Значит d 2 -d 1 =±mλ.

Пусть d 2 -d 1 =Δd – разность хода интерферирующих лучей, а ΔФ=2π(d 2 -d 1 )/λ=2πΔd/λ – разность фаз интерферирующих волн, тогда

ΔΤ=2π/λ (d 2 -d 1 ) =2π/λ Δd – ρоотношение между разность фаз и разность хода волн.

Если d 2 -d 1 =Δd=± mλ, γде m=0,1…, то А М =2А и, следовательно, в этих точках пространства (экрана) наблюдается максимум интерференции. Разность фаз волн при этом будет равна ΔФ=±2πmλ/λ=±2πm.

Условие ослабления или минимум интерференции

Это выполняется, если (k(d 2 -d 1 )/2)=±(2m+1)λ/2; следовательно

Волны ослабляют друг друга, если разность хода при этом

m – называется порядком интерференционного максимума или минимума. В центре экрана наблюдается максимум нулевого порядка: d 2 -d 1 =Δd=0.

1.2 Определим положение m-ого интерференционного максимума. Определим ширину интерференционного максимума.

Рисунок 1. В точке М наблюдается максимум m-ого порядка. Обозначим расстояние от центра экрана до точки М – y m . Воспользуемся геометрией рисунка 1. Отрезок CD=d 2 -d 1 . Треугольники BCD и AMO – подобны. Из подобия

Чтобы в точке наблюдался максимум m-ого порядка Δd=d 2 -d 1 =±mλ.

Ширина интерференционного максимума – расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами.

Если положение m-ого максимума y m =mLλ/l, то положение (m+1)-го максимума y m+1 =(m+1)Lλ/l.
Тогда Δy= y m+1 -y m =Lλ/l, γде Δy – ширина интерференционного максимума.

1.3. Интерференция на тонкой плёнке.

На тонкую плёнку толщиной d и показателем преломления n падает монохроматический свет с длиной волны λ. Угол падения α. Среда около плёнки – воздух. Определим условие наблюдения максимума и минимума интерференции на тонкой плёнке. Интерферирующие лучи показаны на рисунке 2. Часть первого луча проходит через плёнку, преломляясь на границе раздела, отражается от нижней границы плёнки и выходит в точке С. Часть второго луча отражается от верхней поверхности плёнки и в точке С интерферирует с лучом 1. Обозначим Δ – оптическую разность хода волны.

Оптическая разность хода волн 1 и 2:

где n(AB+BC) – путь (оптический) первой волны,

(DC+λ/2) – путь второй волны. При отражении волны от поверхности плёнки, фаза волны меняется на π, т.к. отражение происходит от более плотной среды (nb=1);

Изменение фазы на π соответствует дополнительному ходу, равному λ/2.

Используя геометрию рисунка и законы преломления света, получим, что оптическая разность хода интерферирующихся волн равна:

где β – угол преломления.
Запишем условие усиления волнами друг друга или максимума интерференции: Δ= + — mλ.
Значит:

Толщина плёнки, при которой интерферирующие волны будут усиливать друг друга:

m – порядок интерференции (m=0,1,2…).

– это минимальная толщина плёнки, при которой плёнка будет окрашена цветом соответствующим данной длине волн λ. Условие ослабления при интерференции или минимум интерференции:

Толщина плёнки, при которой плёнка будет казаться тёмной, т.к. наблюдается ослабление волнами друг друга, равна:

1.4. Интерференция на клине (полосы равной толщины).

Две поверхности, расположение под малым углом α, образуют систему получившую название клин. Клин имеет разную толщину, а поэтому при освещении поверхности клина монохроматическим светом на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные максимумы и минимумы (смотри интерференцию на плёнке), т.к. в одних точках поверхности толщина клина соответствует условию наблюдению максимума, а в других – условию минимума.

Определим ширину интерференционной полосы.

Пусть в точке А поверхности клина возникает максимум m-ого порядка. Толщина клина — d m+1 . В точке В возникает максимум (m+1)-го порядка. Толщина плёнки в этом месте — d m+1 . Условие наблюдения максимума при толщине d m и d m+1 :

2d m n=(2m+1)λ/2; 2d m+1 n=(2m+3) λ/2.

Вычтем из второго уравнения первое:

d m+1 -d m – разность толщины клина в местах наблюдения m-ого и (m+1)-го максимумов. На рисунке 3. Из прямоугольника:

Δy – ширина интерференционной полосы

Если угол при вершине мал, то ,

Ширина интерференционного минимума или расстояния между соседними минимумами равна ширине интерференционного максимума.

1.5. Кольца Ньютона.

Частым случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона, которые наблюдаются в схеме, изображённой на рисунке 4.

Плосковыпуклая линза с большим радиусом кривизны R выпуклой поверхностью лежит на плоской пластине и соприкасается с ней в точке О. Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность промежутка между линзой и пластиной. При наложении отраженных волн возникают интерференционные полосы равной толщины, имеющие вид колец. Вид этих колец в случае монохроматического света показан на рисунке 5.

В центре наблюдается минимум нулевого порядка (тёмное пятно). Центральный минимум окружён системой чередующихся окрашенных и тёмных колец, ширина и интенсивность которых постоянно убывает по мере удаления от центрального пятна.

Расчёт радиусом окрашенных и тёмных колец.

На рисунке 6 изображены интерферирующие волны, распространяются вдоль лучей 1 и 2.

Разность хода волн равна:

где d – толщина зазора между линзой и пластиной, где наблюдается интерференция, n – показатель преломления прослойки, λ/2 – потеря полволны при отражении 1-ой волны от стеклянной пластинки (при условии n стекла ).

Для наблюдения максимума интерференции или окрашенного кольца:

где m-ого порядка окрашенного кольца (m=1,2,3…).

Для минимума интерференции , или .

Радиус кольца определим, используя геометрию рисунка 4 OD=d. Из треугольника AO 1 D:

Пренебрегая d 2 , получим: .

Если подставим значения d, соответствующее минимуму интерференции, получим выражение для радиуса окрашенного кольца m-ого порядка.

Если между линзой и пластинкой воздушная прослойка, то n=1.

2. Дифракция волн.

Огибание волнами препятствий или отклонение от прямолинейного распространения в оптически неоднородной среде получило название дифракции.

Дифракция возникает при прохождении световых волн через отверстия в непрозрачных экранах, вблизи границ непрозрачных тел и т.д.

Различаются два вида дифракции световых волн: дифракция Френеля, или дифракция в расходящихся лучах, и дифракция Фраунгофера, или дифракция в параллельных лучах.

В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится позади препятствия на конечном расстоянии от него.

Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света.

2.1. Дифракция Фраунгофера на узкой длинной щели в непрозрачном экране.

Ширина щели BC=b, длина волны, падающего света λ. Свет падает на щель нормально к её поверхности так что колебания во всех точках щели совершаются в одной фазе. О – оптический центр линзы. Дифракционная картина наблюдается на экране, который установлен в фокальной плоскости линзы. φ – угол дифракции, или угол отклонения от прямолинейного распространения падающих волн, который может принимать значения от 0 до .

F 0 – центр дифракционной картины, где интерферируют лучи, угол дифракции которых равен нулю. В F наблюдается центральный дифракционный максимум.

Параллельные лучи BM и CN, идущие от краёв щели под углом дифракции φ, собираются линзой в побочном фокусе F φ .

Линза обладает тем свойством, что оптические пути лучей BM и DNF φ , где D – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на направление луча CN, одинаковы.

Результат интерференции в точке F φ экрана зависит от разности хода волн и длины волн падающего света. Щель можно разбить по ширине на зоны, которые получили название зон Френеля. Зоны имеют вид параллельных ребру В полосок, разность хода от краев которых равна λ/2.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстие, равно:

Все зоны излучают свет в рассматриваемом направлении с одинаковой амплитудой, причём колебания, вызываемые в точке F φ двумя соседними зонами противоположны по фазе.

Поэтому, если число зон Френеля в отверстии чётное

то под углом дифракции, удовлетворяющем условию, наблюдается дифракционный минимум. k – порядок дифракционного минимума.

Если число зон Френеля нечётное

то под углом дифракции φ удовлетворяющему условию

наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля (k — порядок дифракционного минимума).

Самый яркий центральный максимум наблюдается в главном фокусе линзы F 0 (φ=0).

С ростом k ширина зон Френеля уменьшается и интенсивность максимумов быстро падает.

Амплитуда и интенсивность света в точке F φ равны:

где А 0 – амплитуда, I 0 – интенсивность центрального максимума (φ=0).

2.2. Дифракция света на одномерной дифракционной решётке.

Одномерная дифракционная решётка представляет собой систему из большого число N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, раздельных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками.

На рисунке 8 показаны только две соседние щели решётки. Величина d=a+b, называется периодом решётки (a=KC – ширина непрозрачного промежутка, b=BK – ширина щели,

— ширина решётки). Если плоская монохроматическая волна с длиной λ падает на решётку нормально, то колебания во всех точках щели происходят в одинаковой фазе. Колебания, возбуждаемые в произвольной точке Fφ фокальной плоскости линзы каждой из щелей, совпадают по амплитуде, но отличаются по фазе. Для каждой пары соседних щелей сдвиг по фазе Δφ0 μежду этими колебаниями одинаков. Сдвиг по фазе зависит от разности хода волн, идущих от точек В и С под углом дифракции φ и длины волны λ.

где — разность хода,

D – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на направление луча С.

Условие наблюдения главных максимумов: или (k=1,2,3)

k – порядок интерференционного максимума.

Наибольший порядок спектра наблюдается под углом дифракции: ;

k может принимать только целые значения, поэтому результат, полученный от деления, нужно округлить до меньшего целого числа. Число максимумов наблюдаемых на экране . В центре экрана в точке F 0 наблюдается центральный максимум (φ=0, k=0).

Условие наблюдения главных минимумов:

k – порядок главного минимума.

2.3. Разрешающая способность дифракционной решётки.

Пусть на дифракционную решётку падает немонохроматический свет с длиной волны λ 1 и λ 2 .

; (близкие длины волн).

Период дифракционной решётке d, число щелей N. В спектре k-ого порядка на экране (рисунок 9) под углом φ1 наблюдается максимум для длины волны λ1, а под углом дифракции φ2 – максимум для волны с λ2. (Fφ1 θ Fφ2 – ρоответственно), максимумы для двух длин волн на экране пространственно разделены, если выполняется условие:

Это условие получило название разрешающей способности дифракционной решётки. λ можно принять равным λ 1 или λ 2 .

2.4. Дифракция рентгеновских лучей.

Кристаллическую решётку твёрдых тел можно рассматривать как пространственную дифракционную решётку, период которой значительно меньше длины волны видимого света ( ). Для видимого света кристаллы являются оптически однородной средой.

В тоже время для рентгеновских лучей кристаллы представляют естественные кристаллические решётки ( ).

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах рассматривается как результат интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от систем параллельных плоскостей, которые проходят через узлы кристаллической решётке. Расстояние d между двумя сетчатыми плоскостями называется межплоскостным расстоянием, а угол Θ между падающим лучом и плоскостью – угол скольжения. На рисунке 10 изображены две плоскости, которые проходят через углы кристаллической решётки (сетчатые или атомные плоскости).

На поверхности кристалла под углом скольжения Θ падает плоская волна с длиной λ. Рентгеновские лучи не преломляются в кристалле, т.к. показатель преломления для них равен единице (примерно). Разность хода интерферирующих волн (лучи 1 и 2), отражённых от двух параллельных плоскостей равна . Отражение наблюдается в направлениях, соответствующих дифракционным максимумам, которые удовлетворяют условию Вульфа-Брэгга:

m – порядок дифракционного максимума

Θ – σгол скольжения для наблюдения максимума удовлетворяет этому условию.

Угол скольжения, соответствующий первому дифракционному максимуму (m=1)

3. Поляризация света.

3.1. Поляризованный и естественный свет.

Из теории Максвелла следует, что свет является поперечной электромагнитной волной. Вектор напряжённости электрического поля (электрический или световой вектор) и вектор напряжённости магнитного поля (магнитный вектор) в световой волне колеблется в направлении перпендикулярном скорости распространения волны.

Линейно поляризованной волной называется волна, вектор которой не изменяют направление колебаний в пространстве.

Уравнение плоской монохроматической линейно-поляризованной волны, распространяющейся в направлении оси ОХ:

где ω – циклическая частота, — волновое число, υ – скорость распространения волны.

В каждой точке электромагнитного поля электрический вектор совершает гармонические колебания в плоскости XOY, которая называется плоскостью колебания.

Магнитный вектор колеблется в плоскости XOZ – в плоскости поляризации.

Световая волна со всевозможными одинаково вероятными направлениями колебаний электрического и магнитного векторов называется естественным светом.

В естественном свете плоскости поляризации меняют ориентацию в пространстве с течением времени.

Естественный свет можно представить в виде суперпозиции двух волн, которые поляризованы во взаимно-перпендикулярных плоскостях. Запишем уравнение естественного света только для электрического вектора волны:

где E y , E z – проекции электрического вектора на оси координат, α – сдвиг по фазе между колебаниями по Y и Z. Для естественного света E oy =E oz .

Частично поляризованным называется свет, если в нём есть преимущественное направление колебаний вектора

(E oy >>E oz ) или (E oz >>E oy ).

Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь одновременно распространяющихся в одном и том же направлении естественного и линейно поляризованного.

Поляризацией света называется выделение линейно поляризованного света естественного или частично поляризованного. Для этой цели используются специальные устройства, называемые поляризаторами.

Для определения характера и степени поляризации используют устройства, называемые анализаторами.

Поляризатор можно использовать в качестве анализатора.

Анализатор или поляризатор условно изображают в виде решётки, “прутья” которой параллельны направлению колебаний вектора в проходящем сквозь неё свете.

Если на такую решётку-анализатор падает естественный свет, то интенсивность проходящей волны не изменяется при вращении анализатора вокруг направления падающего луча вследствие того, что в естественном свете ни одно из направлений плоскости поляризации (плоскости колебаний) не является преобладающим.

где I 0 – интенсивность падающего естественного света,

k – коэффициент прозрачности анализатора,

I А – интенсивность проходящего света.

На выходе из анализатора-поляризатора имеем линейно поляризованную волну.

Если падающий свет частично поляризован, то I A при вращении анализатора изменяется в зависимости от ориентации его главной плоскости (т.е. направления прутьев) по отношению к преимущественному направлению колебаний вектора в падающем свете.

3.2. Закон Малюса.

Пусть на анализатор падает линейно поляризованный свет интенсивностью I0. Оптическая ось анализатора О-О` (направление прутьев).

Определим интенсивность прошедшей волны в точке А, если анализатор повернуть на угол α вокруг направления распространения луча. Через анализатор пройдёт электрический вектор, величина . Т.к. интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то — это и есть закон Малюса.

3.3. Поляризация при отражении от диэлектриков. Закон Брюстера.

Направим на границу раздела двух диэлектриков (воздух, стекло) тонкий луч естественного света.

Часть световой волны отражается, а часть преломляется, распространяясь во второй среде. На рисунке: φ – угол падения луча, β – угол преломления, n 2 – показатель преломления стекла, n 1 — показатель преломления воздуха, n 1 =1.

Если на пути отражённого и преломлённого луча поставить анализатор, то можно исследовать поляризацию при отражении и преломлении.

Оказалось, что в общем случае отражённый и преломлённый лучи поляризованы частично. При некотором строго определённом для данной пары сред (диэлектриков) значение угла падения отражённый свет оказывается линейно поляризованным. Угол падения в этом случае называется углом Брюстера (φ Б ) или углом полной поляризации и определяется законом Брюстера:

где n 21 – относительный показатель преломления среды.

3.4. Двойное лучепреломления.

В оптически анизотронных кристаллах наблюдается явление двойного лучепреломления, которое состоит в том, что луч света падающий на поверхность кристалла, раздваивается на два преломлённых луча.

MN – оптическая ось кристалла.

Оптическая ось кристалла – направление в оптически анизотронном кристалле, вдоль которого свет распространяется, не испытывая двойного лучепреломления. Главной плоскостью или главным сечением одностороннего кристалла называется плоскость, проходящая через падающий луч и пересекающую его оптическую ось.

В одноосном кристалле один из преломлённых лучей подчиняется обычным законом преломления света. Этот луч лежит в плоскости падения. Волну, распространяющуюся вдоль направления этого луча, называют обыкновенной волной и обозначают буквой О. Показатель преломления для этой волны n 0 .

Вдоль второго луча распространяется необыкновенная волна. Показатель преломления луча для неё n е . угол преломления для необыкновенного луча зависит от того, как ориентирована поверхность пластинки по отношению к оптической оси кристалла MN. Угол преломления равен нулю в двух случаях:

а) если поверхность пластинки перпендикулярна к оптической оси (свет распространяется вдоль оптической оси, не испытывая двойного лучепреломления).

б) если поверхность пластинки параллельна оптической оси (свет распространяется в пластинке перпендикулярно оптической оси).

Двойное лучепреломление можно объяснить тем, что падающая на оптически анизотронный кристалл световая волна возбуждает две волны, распространяющиеся в кристалле эти по разным направлениям. В однослойном кристалле эти волны называются обыкновенными и необыкновенными волнами. Обыкновенные и необыкновенные волны линейно поляризованы во взаимно-перпендикулярных плоскостях.

В обыкновенной волне вектор направлен перпендикулярно к главной плоскости кристалла. Электрический вектор необыкновенной волны лежит в главной плоскости кристалла. Направления векторов в обыкновенных и необыкновенных волнах условно показаны на рисунке точками на обыкновенном луче и поперечными чёрточками на необыкновенном. Предполагается, что оба луча и пересекающая их оптическая ось MN кристалла лежат в плоскости рисунка.

3.5. Искусственная оптическая анизотропия.

1. Оптически изотропное прозрачное вещество становится анизотропным, если его подвергнуть механической деформации. Это явление называется фотоупругостью, при одностороннем растяжении или сжатии изотропного тела вдоль оси OX оно приобретёт оптические свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого параллельна ОХ . Разность показателей преломления обыкновенного (n o ) и необыкновенного (n е ) лучей в направлении перпендикулярном оси ОХ, пропорциональна нормальному напряжению .

где к- коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества.

2. Эффектом Керра называется возникновение оптической неоднородности у прозрачного изотропного диэлектрика, если его поместить во внешнее электрическое поле.

Под действием поля диэлектрик поляризуется и приобретает оптические свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает по направлению с вектором напряженности внешнего поля.

Разность показателей преломления поляризованного диэлектрика для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света, распространяющегося перпендикулярно направлению вектора Е, удовлетворяет закону Керра.

где -длина волны в вакууме, В в -постоянная Керра.

3. Эффектом Коттона-Мутона называется возникновение оптической анизотропии у некоторых изотропных вещество при помещении их в сильное внешнее магнитное поле.

В однородном магнитном поле вещество преображает оптические свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает по направлению с вектором напряженности внешнего поля.

Разность показателей преломления вещества для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света при его распространении в направлении перпендикулярном вектору , пропорциональна .

с- постоянная Коттона — Мутона, -длина волны в вакууме.

3.6. Вращение плоскости поляризации.

При прохождении линейно поляризованного света через некоторые вещества, называемые оптически активными, плоскость поляризации света поворачивается вокруг направления распространения луча.

Оптически активны некоторые кристалла (кварц, киноварь и др.) чистые жидкости и растворы (скипидар, раствор сахара в воде и др.)

В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол поворота плоскости поляризации пропорционален толщине слоя вещества, через который проходит свет:

Коэффициент пропорциональности называется удельным вращением, или постоянной вращения.

Угол поворота плоскости поляризации при прохождении света пути в оптически активном растворе равен

С — объемно-массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, D- плотность раствора, к=С/D- долевая концентрация по массе, — удельная вращения, зависит от природы оптически активного вещества.

Оптически неактивная среда под действием внешнего магнитного поля приобретает способность вращать плоскость поляризации света, распространяющегося вдоль направления поля.

Это явление называется эффектом Фарадея, или магнитным вращением плоскости поляризации.

Волновая оптика

Раздел 3: Волновая оптика

Волновые свойства света: поляризация; дисперсия.

Поглощение света. Эффект Черенкова-Вавилова

1. Поперечность световых волн и виды поляризация света

1.1. Линейная поляризация

1.2. Частично поляризованный свет. Степень поляризации

1.3. Эллиптическая и круговая поляризация

3. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера

4. Элементы кристаллооптики. Двойное лучепреломление

5. Анизотропия – причина двулучепреломления

7. Призма Николя

8. Искусственное двулучепреломление

9. Вращение плоскости поляризации. Поляриметрия

10. Применение поляризации: ЖК-монитор

11. Интерференция поляризованного света

12. Явление дисперсии света. Дисперсия вещества. Нормальная и аномальная дисперсия

13. Теория дисперсии Лоренца. Связь поглощения света и аномальной дисперсии

14. Поглощение света. Закон Бугера

15. Эффект Черенкова-Вавилова

1. Поперечность световых волн и виды поляризации света

Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн: векторы напряженности электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости распространения волны (рис.19.1). При рассмотрении поляризации обычно все рассуждения связывают с плоскостью колебаний вектора напряженности электрического поля – светового вектора, так как химическое, физиологическое и другие виды воздействия света на вещество обусловлены главным образом электрическими колебаниями.

Электромагнитная волна от отдельного элементарного излучателя (атома, молекулы) всегда поляризована. В свете, испускаемом обычными источниками, имеются колебания, совершающиеся в различных направлениях, перпендикулярных к лучу. В таких световых волнах, исходящих из различных элементарных излучателей (атомов), векторы имеют различные ориентации, причем все эти ориентации равновероятны, что обусловлено большим числом атомных излучателей. Такой свет называется естественным, или неполяризованным (рис.19.2).

1.1. Линейная поляризация

Свет называется линейно (или плоско) поляризованным, если колебания светового напряжённости электрического поля происходят в одной плоскости (плоскость ОXY на рис.19.1). Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью приборов, называемых поляризаторами (рис.19.3). Эти приборы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, которая называется главной плоскостью поляризатора, и полностью задерживают колебания, перпендикулярные к этой плоскости. Действие поляроида можно проиллюстрировать на механической модели (рис.19.4): упругая поперечная волна, распространяющаяся по шнуру, проходит беспрепятственно, если щель в преграде ориентирована так же, как и плоскость колебаний. Если плоскость колебаний перпендикулярна щели, колебаний за преградой не будет. То же и для электромагнитной волны (рис.19.5). С помощью поляризатора (поляроида) из пучка естественного света можно выделить часть, в которой колебания вектора будут происходить в одном определенном направлении в плоскости, перпендикулярной лучу, т. е. выделенный свет будет линейно поляризованным (рис.19.3).

Плоскость, в которой колеблется световой вектор (то есть вектор напряжённости электрического поля ), называется плоскостью колебаний. По историческим причинам плоскостью поляризации была названа не плоскость, в которой колеблется вектор , а перпендикулярная к ней плоскость (см. рис.19.1).

Естественный свет можно представить как суперпозицию двух некогерентных волн одинаковой интенсивности, линейно полиризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис.19.6). Отсюда получим, что, проходя через идеальный поляроид, естественный свет ослабляется вдвое:

. (19.1)

1.2. Частично поляризованный свет. Степень поляризации

При прохождении естественного света через неидеальный поляроид свет становится частично поляризованным, то есть колебания светового вектора происходят во всевозможных направлениях, но существует преимущественное направление колебаний. Частично поляризованный свет можно представить как суперпозицию лучей естественного и линейно поляризованного (рис. 19.7, а), либо как суперпозицию двух некогерентных линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях лучей разной интенсивности (рис. 19.7, б).

Поставим на пути частично поляризованного света идеальный поляроид-анализатор. Если его главная плоскость параллельна плоскости колебаний поляризованной компонентны (рис. 19.7, а), то она пройдёт через анализатор. Половина интенсивности неполяризованного естественного света тоже пройдёт (19.1). На выходе из анализатора интенсивность света будет максимальна и равна:

.

Повернув главную плоскость анализатора на угол 900, получим минимальную интенсивность на выхоле, так как поляризованная компонента не пройдёт:

.

Степенью поляризации Р частично поляризованного света называется

, (19.2)

.

Степень поляризации, таким образом, показывает долю поляризованной компоненты от полной интенсивности света.

1.3. Эллиптическая и круговая поляризация

Рассмотрим две когерентные плоскополяризованные световые волны, распространяющиеся вдоль оси x, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны. Пусть колебания в одной волне совершаются вдоль оси y, во второй – вдоль оси z (рис.19.8). Проекции световых векторов этих волн на соответствующие оси изменяются по закону:

(19.3)

Величины и представляют собой координаты конца результирующего светового вектора . Исключая переменную t, получим:

. (19.4)

В общем случае это – уравнение эллипса. Таким образом, две когерентные плоско поляризованные световые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны, при наложении друг на друга дают волну, в которой световой вектор (вектор ) изменяется со временем так, что конец его описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически поляризованным.

При разности фаз эллипс вырождается в прямую, и получается плоско поляризованный свет. При разности фаз и равенстве амплитуд складываемых волн эллипс превращается в окружность. В этом случае получается свет, поляризованный по кругу: конец светового вектора описывает окружность (рис.19.9). В зависимости от направления вращения вектора различают правую и левую эллиптическую и круговую поляризацию. На рис.19.8 поляризация – левая (конец вектора вращается по часовой стрелке, если смотреть навстречу лучу), а на 19.9 и 19.10 – правая.

2. Закон Малюса

Поставим на пути естественного луча два поляризатора, главные плоскости которых образуют угол φ (рис.19.11). При вращении поляризатора вокруг направления естественного луча интенсивность прошедшего плоскополяризованного света остаётся одной и той же, изменяется лишь ориентация плоскости колебаний света, выходящего из прибора.

Пусть E0 – амплитуда колебаний падающей на анализатор волны. Разложим это колебание на два взаимно перпендикулярных, происходящих в одной и той же фазе, с амплитудами: – параллельно главной плоскости анализатора и – перпендикулярно ей (рис.19.11).

.

Первое колебание пройдёт через анализатор; второе будет задержано. Интенсивность волны пропорциональна квадрату её амплитуды:

, поэтому из (19.5) получим:

или для интенсивности I прошедшей через анализатор волны:

, (19.6)

где

I0 – интенсивность падающей на анализатор линейно поляризованной волны, φ – угол между главной плоскостью анализатора и плоскостью колебаний падающей на анализатор волны.

Или: φ – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора. Соотношение (19.6) носит название закона Малюса.

В естественном свете все значения φ равновероятны. Поэтому доля света, прошедшего через поляризатор, будет равна среднему значению , т. е. ½ (см.(19.1)):

Интенсивность света, вышедшего из второго поляризатора (анализатора), равна:

. (19.7)

При вращении анализатора (рис.19.12) интенсивность света изменяется от максимальной, равной при φ=0 (главные плоскости поляризаторов параллельны), до при – скрещенные поляризаторы света не пропускают.

3. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера

Опыт показывает, что отраженный от поверхности диэлектрика и преломленный лучи всегда частично поляризованы. Степень поляризации света зависит от угла падения и относительного показателя преломления двух сред, на границе которых происходит отражение и преломление света. Шотландский физик Д. Брюстер, исследуя явление поляризации света, в 1815 г. установил связь между относительным показателем преломления диэлектрика и углом падения (угол Брюстера), при котором отраженный луч полностью поляризован:

. (19.8)

Если свет падает на границу раздела двух диэлектриков под углом Брюстера, определяемым соотношением (19.8), то отражённый луч полностью линейно поляризован, а преломлённый луч будет поляризован частично, но максимально по сравнению с другими углами падения (рис.19.13). При этом отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны друг другу.

Запишем закон преломления:

. (19.9)

.

Сравним с (19.9) и получим

,

,

откуда следует, что преломленный луч перпендикулярен отражённому (рис.19.13).

Для того чтобы объяснить, почему отражённый при падении под углом Брюстера луч линейно поляризован, учтём, что отражённый свет есть результат излучения вторичных волн зарядами (электронами) во второй среде, колеблющимися под действием электрического поля падающей волны. Эти колебания происходят в направлении колебаний падающей волны.

Разложим колебания вектора во второй среде на два взаимно перпендикулярных колебания: на рис.19.13 колебания в плоскости падения обозначены стрелками (↔), перпендикулярно – точками (∙). В случае падения света под углом Брюстера отражённый луч перпендикулярен преломленному, следовательно параллелен колебаниям первой компоненты (↔). Из электромагнитной теории Максвелла известно, что колеблющийся электрический заряд не излучает электромагнитных волн вдоль направления своего движения. Поэтому колеблющийся в диэлектрике излучатель типа (↔) вдоль отражённого луча не излучает. Таким образом, по направлению отражённого луча распространяется свет, посылаемый излучателями типа (∙), направления колебаний которых перпендикулярны плоскости падения.

4. Элементы кристаллооптики. Двойное лучепреломление

При прохождении света через некоторые кристаллы световой луч разделяется на два луча (рис.19.14 и 19.15). Это явление, получившее название двойного лучепреломления, было наблюдено в 1670 г. Эразмом Бартоломином для исландского шпата (разновидность углекислого кальция, СаСО3). При двойном лучепреломлений один из лучей удовлетворяет обычному закону преломления и лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью. Этот луч называется обыкновенным и обозначается на чертежах буквой «о». Для другого луча, называемого необыкновенным (его принято обозначать буквой «е»), отношение не остается постоянным при изменении угла падения. Даже при нормальном падении необыкновенный луч, вообще говоря, отклоняется от первоначального направления (рис.19.15). Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности.

Явление двойного лучепреломления наблюдается для всех прозрачных кристаллов, за исключением принадлежащих к кубической системе.

У так называемых одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой скоростью. Это направление называется оптической осью кристалла. Следует иметь в виду, что оптическая ось – это не прямая линия, проходящая через какую-то точку кристалла, а определенное направление в кристалле. Любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью кристалла.

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением, проходящим через световой луч.

Оба луча, обыкновенный и необыкновенный, полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях (см. рис.19.15). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна к главному сечению кристалла. В необыкновенном луче колебания вектора совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением.

5. Анизотропия – причина двулучепреломления

Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы зависимость от направления вектора напряжённости электрического поля обнаруживает, в частности, диэлектрическая проницаемость ε. Если вектор направлен по оптической оси или в направлениях, перпендикулярных к ней, то в одноосных кристаллах ε имеет различные значения и соответственно. В других направлениях ε имеет промежуточные значения.

, (19.10)

то из анизотропии ε вытекает, что электромагнитным волнам с различными направлениями колебаний вектора соответствуют разные значения показателя преломления п. Поэтому скорость световых волн в кристалле будет зависеть от направления колебаний светового вектора .

В обыкновенном луче колебания светового вектора происходят в направлении, перпендикулярном к главному сечению кристалла (на рис.19.15 и 19.16 эти колебания изображены точками на соответствующем луче). Поэтому при любом направлении обыкновенного луча (на рис.3.9 указаны три направления: 1, 2 и 3) вектор перпендикулярен оптической оси и скорость световой волны будет одна и та же, равная

. (19.11)

Изображая скорость обыкновенного луча в виде отрезков, отложенных по разным направлениям, мы получим сферическую поверхность. Представим себе, что в точке 0 кристалла помещается точечный источник света. Тогда построенная нами сфера будет волновой поверхностью обыкновенных лучей в кристалле.

Колебания в необыкновенном луче совершаются в главном сечении. Поэтому для разных лучей направления колебаний вектора (на рис.19.16 эти направления изображены двусторонними стрелками) образуют с оптической осью разные углы. Для луча 1 угол равен π/2, вследствие чего скорость равна

;

для луча 2 угол равен нулю, и скорость равна

.

Для луча 3 скорость имеет промежуточное значение:

.

Таким образом, волновая поверхность необыкновенных лучей представляет собой эллипсоид вращения. В местах пересечения с оптической осью кристалла сфера и эллипсоид соприкасаются – в этом направлении скорости обоих лучей одинаковы.

В зависимости от того, какая из скоростей, или , больше, различают положительные и отрицательные одноосные кристаллы. У положительных кристаллов (рис.19.16)

().

У отрицательных кристаллов (рис.19.17)

().

Используя волновые поверхности рис.19.17, можно построить волновой фронт для обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле при нормальном падении луча на грань кристалла (рис.19.18). Используется принцип Гюйгенса: точки кристалла, на которые падает волна, сами являются источниками волн. Новое положение волнового фронта – это огибающая фронтов вторичных волн. Направление луча находим по точке касания фронта вторичной волны и огибающей.

Существуют двулучепреломляющие кристаллы, в которых один из лучей, например обыкновенный, поглощается в определенном диапазоне длин волн значительно сильнее, чем другой. Зависимость поглощения света от его поляризации называют дихроизмом. Именно явление дихроизма позволило на практике легко получать и широко использовать линейно поляризованный свет.

Весьма сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл турмалина. В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине 1 мм. Дихроичные поляризаторы на основе монокристаллической пластинки турмалина не нашли широкого применения в основном из-за трудностей, связанных с получением кристаллов необходимых размеров.

Более популярной оказалась другая разновидность дихроичных поляризаторов, – так называемые пленочные поляроиды, изобретенные в 20-х годах ХХ века. Это анизотропные полимерные пленки, пропитанные анизотропными же молекулами или микрокристаллами. Если полимерную пленку, состоящую из весьма длинных, линейных вытянутых макромолекул полимера в нагретом и размягченном состоянии подвергнуть механическому растяжению, то полимерные молекулы ориентируются своими длинными осями вдоль направления растяжения и пленка, таким образом, становится анизотропной. Если при этом в полимере растворено вещество, молекулы которого анизотропны по форме и обладают высоким дихроизмом, например, игольчатые микрокристаллы герапатита (соль йода и хинина), то упорядоченная, ориентированная матрица молекул полимера ориентирует и примесные молекулы. В этих кристаллах один из лучей поглощается на пути примерно в 0.1 мм.

Таким путем изготавливаются поляроиды высокого качества и достаточно большого размера, рассчитанные на широкую спектральную область (например, на весь видимый диапазон длин волн). Они достаточно дешевы для массового производства, и многие практические применения поляризации света обязаны именно им.

7. Призма Николя

Двойное лучепреломление использовано в конструкции призмы Николя (рис.19.19) – прибора для получения линейно поляризованного света с высокой степенью поляризации. Она склеена из двух одинаковых призм из исландского шпата. Прослойка между ними – канадский бальзам – бесцветная смола с свысокой прозрачностью. Значение показателя преломления канадского бальзама () лежит между значениями показателей преломления шпата для обыкновенного () и необыкновенного () лучей:

.

Естественный неполяризованный свет, падая на переднюю грань призмы, расщепляется на два линейно поляризованных луча – обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч, преломляясь сильнее, падает на прослойку бальзама под углом больше угла полного внутреннего отражения, полностью отражается от прослойки бальзама и во вторую призму не проходит, поглощаясь на зачернённой боковой грани призмы. Второй луч, необыкновенный, вообще не может испытывать на этой границе раздела полного отражения, так как идёт из менее плотной в оптически более плотную среду (). Таким образом, из призмы Николя выходит один луч – необыкновенный, то есть свет на выходе линейно поляризован.

8. Искусственное двулучепреломление

Двойное лучепреломление может возникать в прозрачных изотропных телах, а также в кристаллах кубической системы под влиянием различных воздействий: сильного однородного электрического (эффект Керра) или магнитного поля, а также при механических деформациях тел. Мерой возникающей оптической анизотропии может служить разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. Опыт показывает, что эта разность пропорциональна квадрату напряжённости поля (электрического или магнитного):

;

,

или механическому напряжению σ в данной точке тела (то есть силе, приходящейся на единицу площади):

Поместим стеклянную пластинку Q между скрещенными поляризаторами Р и Р’ (рис.19.20). Пока стекло не деформировано, такая система свет не пропускает. Если же стекло подвергнуть деформации (например, одностороннему сжатию), свет через систему начинает проходить, причем наблюдаемая в прошедших лучах картина будет испещрена цветными полосами. Каждая такая полоса соответствует одинаково деформированным местам пластинки. Следовательно, по характеру расположения полос можно судить о распределении напряжений внутри пластинки.

На искусственном двойном лучепреломлении основывается оптический метод исследования напряжений. Изготовленная из прозрачного изотропного материала (например, из целлулоида или плексигласа) модель какой-либо детали или конструкции помещается между скрещенными поляризаторами. Модель подвергается действию нагрузок, аналогичных тем, какие будет испытывать само изделие. Наблюдаемая при этом в проходящем белом свете картина позволяет определить распределение напряжений, а также судить об их величине (рис.19.21,а). Возникновение оптической анизотропии в прозрачных телах под нагрузкой называется фотоупругостью.

Объектом исследования может служить любая прозрачная пластмассовая линейка, посуда и т. п. (рис.19.21, б и в). При наблюдении в скрещенных поляроидах можно наблюдать красивые цветные узоры. Эти узоры обычно сгущаются вблизи углов и кромок, швов и отверстий, где есть остаточные напряжения.

9. Вращение плоскости поляризации. Поляриметрия

Среди явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом, важное место и в принципиальном, и в практическом отношении занимает явление, открытое Д. Араго в 1811 г. при изучении двойного лучепреломления в кварце: при прохождении поляризованного света через некоторые вещества наблюдается вращение плоскости поляризации (рис.19.22).

Вещества, которые могут вращать плоскость поляризации света, называются оптически активными. К их числу относятся кристаллические тела (кварц, киноварь и др.), чистые жидкости (скипидар, никотин и др.) и растворы некоторых веществ (водные растворы сахара, глюкозы, винной кислоты и др.). Измерение вращения плоскости поляризации стало популярным аналитическим методом в ряде промышленных областей.

Кристаллические вещества, например, кварц, сильнее всего вращают плоскость поляризации в случае, когда свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:

Коэффициент называют постоянной вращения.

Для растворов Ж. Био (1831 г.) обнаружил следующие закономерности: угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути l луча в растворе и концентрации С активного вещества в растворе:

, (19.14)

где – удельное вращение. Оно характеризует природу вещества, зависит от природы вещества и температуры. Удельное вращение обратно пропорционально квадрату длины волны:

, поэтому при пропускании поляризованного света через раствор оп­тически активного вещества плоскости поляризации волн различной длины будут поворачиваться на разные углы. В зави­симости от положения анализатора через него проходят лучи различной окраски. Это явление называется вращательной дисперсией.

При 20°С и λ=589 нм удельное вращение сахара равно: . Постоянная вращения кварца для жёлтых лучей (λ=589 нм): α=21.7 град/мм, а для фиолетовых (λ=404.7 нм) α=48.9 град/мм.

Исследования показали, что объяснение явления вращения плоскости поляризации света в естественно-активных веществах можно получить, рассматривая общую задачу взаимодействия электромагнитной световой волны с молекулами или атомами веществ, если только принять во внимание конечные размеры молекул и их структуру. Эта задача очень сложна. В свое время О. Френель (1817 г.) представил описание этого явления, сведя его к особому типу двойного лучепреломления. В основе рассуждений Френеля лежит гипотеза, согласно которой скорость распространения света в активных веществах различна для волн, поляризованных по левому и по правому кругу. Представим плоско-поляризованную волну как суперпозицию двух волн, поляризованных по кругу вправо и влево с одинаковыми амплитудами и периодами. Если оба вектора и вращаются с одинаковой скоростью, то геометрическая сумма их в каждый момент времени будет лежать в одной и той же плоскости Р (рис. 19.23, а).

Если скорости распространения обеих волн окажутся неодинаковыми, то по мере прохождения через вещество один из векторов, или , будет отставать в своем вращении от другого вектора, в результате чего плоскость Q, в которой лежит результирующий вектор , будет поворачиваться относительно первоначальной плоскости Р (рис. 19.23, 6).

Различие в скоростях света с разным направлением круговой поляризации обусловливается асимметрией молекул (рис.19.24,а), либо асимметричным размещением атомов в кристалле (рис.19.24,б). Молекулы (кристаллы), изображённые справа, являются зеркальным отражением молекул (кристаллов), показанных слева. У них нет ни центра симметрии, ни плоскости симметрии, и они не могут быть пространственно совмещены друг с другом никакими поворотами и перемещениями. Физические и химические свойства чистых оптических изомеров совершенно одинаковы. Но «левые» и «правые» изомеры вращают плоскость поляризации в противоположные стороны. Значения удельного вращения для обеих модификаций отличаются только знаком.

Кроме того, физиологическое и биохимическое действие оптических изомеров часто совершенно различно. Так, в живой природе белки строятся из левых оптических изомеров аминокислот (19 из 20 жизненно важных аминокислот оптически активны). Белки, синтезированные искусственным путём из правых аминокислот, не усваиваются организмом; а «левый» никотин в несколько раз ядовитее «правого». Удивительный феномен преимущественной роли только одной из форм оптических изомеров в биологических процессах может иметь фундаментальное значение для выяснения путей зарождения и эволюции жизни на Земле.

10. Применение поляризации: ЖК-монитор

Экран LCD (Liquid Crystal Display, жидкокристаллические мониторы) представляет собой массив маленьких сегментов, называемых пикселями, которыми можно манипулировать для отображения информации.

Каждый пиксель ЖК-матрицы состоит из слоя молекул между двумя прозрачными электродами, и двух поляризационных фильтров, плоскости поляризации которых перпендикулярны (рис.19.25). В отсутствие напряжения кристаллы выстраиваются в винтовую структуру (рис.19.26). Эта структура поворачивает плоскость поляризации света на 900, так что через второй поляризационный фильтр свет проходит практически без потерь (рис.19.27,а).

Если же к электродам приложено напряжение, то молекулы стремятся выстроиться в направлении электрического поля, что искажает винтовую структуру. При этом силы упругости противодействуют этому, и при отключении напряжения молекулы возвращаются в исходное положение.

При достаточной величине поля практически все молекулы становятся параллельны друг другу, что приводит к непрозрачности структуры (рис.19.27,а). Варьируя напряжение, можно управлять степенью прозрачности.

Все усложняется для цветных дисплеев. Тут пиксел формируется из трех независимых ячеек, каждая из которых расположена над участком фильтра синего, красного или зеленого цвета. Таким образом, количество пикселов увеличивается в три раза по сравнению с монохромной панелью. В цветном дисплее градации яркости каждого пиксела, составляющего триаду, используются для «смешения» цветов.

11. Интерференция поляризованного света

При нормальном падении пучка лучей на пластинку из кристалла, оптическая ось y которого параллельна преломляющей поверхности, обыкновенный и необыкновенный лучи идут по одному направлению, но с разными скоростями. Пусть на такую пластинку толщиной d падает плоско поляризованный луч с амплитудой электрического вектора E0, плоскость поляризации которого составляет с плоскостью главного сечения пластинки ОО´ угол φ. Тогда в пластинке возникнут оба луча, обыкновенный (о) и необыкновенный (е) (рис. 19.28), и они будут когерентны. В момент их возникновения в пластинке разность фаз между ними равна нулю, но она будет возрастать по мере проникновения лучей в пластинку. Подсчитаем эту разность фаз.

Оптическая разность хода Δ равна разности оптических длин путей обыкновенного и необыкновенного лучей:

. (19.15)

Отсюда разность фаз между обоими лучами равна

, (19.16)

где – длина волны в вакууме.

При сдвиге фаз в (19.3) на выходе из пластинки получим в общем случае эллиптическую поляризацию. Если же угол , амплитуды равны:

,

и поляризация будет круговой (рис.19.29). Такая пластинка называется пластинкой в четверть волны ().

Пластинка в полволны () даёт сдвиг фаз обыкновенного и необыкновенного лучей на . В результате на выходе свет также линейно поляризован, но в другой плоскости, симметричной относительно оптической оси пластинки (рис.19.30).

Пусть на анизотропную пластинку падает линейно поляризованный белый свет. Длины волн белого света имеют всевозможные значения в интервале приблизительно 380÷780 нм. Получающаяся в кристалле разность хода для лучей одних длин волн будет равна четному, для других – нечетному числу полуволн. Поэтому волны одних длин будут при интерференции уничтожаться, другие, наоборот, усиливаться. В результате отношение интенсивностей различных цветов будет иным, чем в белом свете, и кристалл будет казаться окрашенным. Каждой разности хода соответствует некоторая интерференционная окраска. Интерференционные окраски не являются чистыми монохроматическими спектральными цветами, но представляют собой смесь в различных пропорциях всех цветов, входящих в состав белого, кроме тех, которые уничтожаются при данной разности хода. Наблюдение и исследование интерференционных цветов

имеет очень большое значение в кристаллооптической методике.

Цвета, получающиеся при различных разностях хода, показывает таблица Мишеля-Леви (рис.19.31).

12. Явление дисперсии света. Дисперсия вещества. Нормальная и аномальная дисперсия

Явление дисперсии света наблюдали все, когда любовались радугой (рис.19.32). Её появление обусловлено полным внутренним отражением лучей в капельках воды, а также зависимостью показателя преломления от длины волны. Суть явления дисперсии можно записать как , или .

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества от частоты (или длины волны l) света или фазовой скорости световых волн от его частоты: .

Впервые экспериментально исследовал дисперсию света Ньютон около 1672 г. Следствием дисперсии является разложение в спектр белого света при прохождении его через призму (рис.19.33). После прохождения света через призму образуется спектр, в котором линии каждой частоты (длины волны) занимают совершенно определенное место. Красные лучи, у которых длина волны больше, отклоняются меньше, чем фиолетовые; поэтому дисперсионный спектр – обратный к дифракционному, где отклоняются сильнее красные лучи. Величина

, (19.17)

называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Различают два вида дисперсии: нормальную (D 0), при которой показатель преломления уменьшается с увеличением частоты. Для всех прозрачных бесцветных веществ в видимой части спектра дисперсия нормальная (участки 1-2 и 3-4 на рис. 19.34). Если вещество поглощает свет в каком-то диапазоне длин волн (частот), то в области поглощения дисперсия оказывается аномальной (участок 2-3 рис. 19.34).

13. Теория дисперсии Лоренца. Связь поглощения света и аномальной дисперсии

Из электромагнитной теории Максвелла известно, что фазовая скорость электромагнитных волн равна

, (19.18)

где c – скорость света в вакууме; e – диэлектрическая проницаемость среды; m – магнитная проницаемость среды. Для большинства прозрачных сред m=1, следовательно,

; ; . (19.19)

Однако из последнего соотношения выявляются некоторые противоречия: 1) n – переменная величина, а e – постоянная для данного вещества; 2) значения n не согласуются с опытными значениями; например, для воды n≈1.33, а e=81.

Трудности объяснения дисперсии с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с веществом. Движение электронов в атоме подчиняется законам квантовой механики. В частности, понятие траектории электрона в атоме теряет всякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов и молекул электронов, связанных квазиупруго. Будучи выведены из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебаний на излучение электромагнитных волн. В результате колебания будут затухающими. Затухание можно учесть, введя «силу трения», пропорциональную скорости.

Электромагнитная волна, в которой вектор напряжённости электрического поля изменяется по закону:

, (19.20)

проходя через вещество, действует на каждый электрон с силой:

, (19.21)

где Е0 – амплитуда напряжённости электрического поля волны.

Исходя из второго закона Ньютона, можно записать дифференциальное уравнение колебаний электрона:

, (19.22)

где r – смещение электрона из положения равновесия, β – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота колебаний электрона, . Под воздействием силы (19.21) электрон совершает вынужденные колебания:

амплитуда А и фаза j которых определяются формулами:

; . (19.24)

Колеблющийся электрон возбуждает вторичную волну, распространяющуюся со скоростью с. Вторичные волны, складываясь с первичной, образуют результирующую волну. Фазы вторичных волн отличаются от фазы первичной волны. Это приводит к тому, что результирующая волна распространяется в веществе с фазовой скоростью , отличной от скорости волн в вакууме. Различие между и с будет тем больше, чем сильнее вынужденные колебания электронов (то есть чем ближе частота волны к резонансной частоте электронов). Отсюда вытекает существование зависимости от ω.

Чтобы упростить вычисления, затуханием за счёт излучения вначале будем пренебрегать (β=0), тогда из (19.24) получим:

; . (19.25)

Таким образом, при отсутствии затухания электрон будет совершать под действием силы (19.21) колебания, описываемые формулой:

.

.

В результате смещения электронов из положений равновесия молекула приобретёт электрический дипольный момент:

. (19.26)

Здесь предполагается, что каждый атом (или молекулу) вещества можно рассматривать как систему нескольких гармонических осцилляторов – заряженных частиц с различными эффективными зарядами qi и массами mi, частоты собственных незатухающих колебаний которых равны . Все эти осцилляторы смещаются под действием электрического поля волны и вносят свой вклад в поляризацию вещества. Суммирование в (19.26) производится по всем осцилляторам (оптическим электронам), входящим в состав молекулы. Обозначим N – число молекул в единице объёма вещества (концентрация), тогда мгновенное значение вектора поляризации вещества:

. (19.27)

Диэлектрическая проницаемость вещества связана с диэлектрической восприимчивостью :

, (19.28)

а величина вектора поляризации равна:

, (19.29)

тогда из (19.19), (19.27-19.29):

. (19.30)

При значениях частоты волны ω, заметно отличающихся от всех собственных частот , сумма в (19.30) будет мала по сравнению с единицей, так что . Вблизи каждой из собственных частот функция (19.30) терпит разрыв: при ω→ она обращается в , если ω . Такое поведение функции обусловлено тем, что мы пренебрегли затуханием: положили β=0. Когда β отлично от нуля, функция (19.30) при всех значениях ω остаётся конечной. На рис. 19.35 показан ход функции (19.30) без учёта затухания (пунктир) и зависимость n2=f(ω) с учётом затухания (сплошная кривая). Перейдя

от частот к длинам волн, получим кривую, изображённую на рис.19.34.

Таким образом, в областях частот, близким к собственным частотам электронов , имеет место аномальная дисперсия, а в остальных областях – нормальная. Области аномальной дисперсии являются резонансными областями. При резонансе за счёт вынуждающей силы (19.21) амплитуда вынужденных колебаний максимальна, при этом обеспечивается максимальная скорость поступления энергии в систему, световая волна поглощается. Таким образом, области аномальной дисперсии, вследствие их резонансного характера, являются областями поглощения. На рис.19.36 пунктирная кривая изображает ход коэффициента поглощения света веществом.

В начале прошлого века исследовал аномальную дисперсию в парах натрия. Он предложил метод количественного определения аномальной дисперсии, получивший название метода крюков. Метод получил такое название из-за характерного изгиба интерференционных полос (рис.19.37), который отражает изменение показателя преломления вблизи двойной полосы поглощения паров натрия. Крюки получаются за счёт разности хода лучей, прошедших сквозь пары натрия в интерферометре.

Элементарная теория дисперсии Лоренца позволила объяснить нормальную и аномальную дисперсию, а также избирательность поглощения света на различных частотах, то есть сам факт наличия полос поглощения. Однако различие в интенсивностях полос в рамках классической теории объяснить не удаётся. Поглощение света носит существенно квантовый характер.

14. Поглощение света. Закон Бугера

Из опытов известно, что при прохождении света в веществе его интенсивность уменьшается. Поглощением света называется явление уменьшения энергии световой волны при её распространении в веществе, происходящее вследствие преобразования энергии волны во внутреннюю энергию вещества или в энергию вторичного излучения с другим спектральным составом и направлениями распространения. Поглощение света может вызвать нагревание вещества, возбуждение и ионизацию атомов или молекул, фотохимические реакции и другие процессы в веществе.

Ещё в 18 веке Бугер экспериментально, а Ламберт теоретически установили закон поглощения света. При прохождении света через тонкий слой поглощающей среды в направлении x уменьшение интенсивности света dI пропорционально самой интенсивности I и толщине пройденного слоя dx (рис.19.38):

. (19.31)

Знак «–» указывает на то, что интенсивность уменьшается. Коэффициент пропорциональности в (19.31) называется натуральным показателем поглощения (коэффициентом поглощения) среды. Он зависит от химической природы и состояния поглощающей среды и от длины волны света. Преобразуем и проинтегрируем это выражение:

;

;

.

Здесь I0 и I – интенсивности излучения на входе и на выходе из слоя среды толщиной d. После преобразований получим:

;

;

. (19.32)

Выражение (19.32) называется законом Бугера. Выясним физический смысл натурального показателя поглощения. Из (19.32) следует, что если толщина слоя , то . Таким образом, показатель поглощения равен обратной величине расстояния, при прохождении которого интенсивность света убывает в е≈2.72 раз.

Для разбавленного раствора поглощающего вещества в непоглощающем растворителе выполняется закон Бера:

, (19.33)

где С – концентрация раствора, а c – коэффициент пропорциональности, не зависящий от концентрации. В концентрированных растворах закон Бера нарушается из-за влияния взаимодействия между близко расположенными молекулами поглощающего вещества. Из (19.32) и (19.33) получаем закон Бугера-Ламберта-Бера:

. (19.34)

Отношение называется коэффициентом пропускания и чаще выражается в процентах:

.

Оптическая плотность определяется натуральным (или десятичным) логарифмом пропускания:

.

Коэффициент поглощения зависит от длины волны света λ (или частоты ω). У вещества, находящегося в таком состоянии, что атомы или молекулы практически не воздействуют друг на друга (газы и пары металлов при невысоком давлении), коэффициент поглощения для большинства длин волн близок нулю и лишь для очень узких спектральных областей обнаруживает резкие максимумы (на рис.19.39 показан спектр паров натрия). Эти максимумы, согласно элементарной электронной теории Лоренца, соответствуют резонансным частотам колебаний электронов в атомах. В случае многоатомных молекул обнаруживаются также частоты, соответствующие колебаниям атомов внутри молекул. Так как массы атомов гораздо больше массы электрона, молекулярные частоты намного меньше атомных – они попадают в инфракрасную область спектра.

Твёрдые тела, жидкости и газы при высоких давлениях дают широкие полосы поглощения (на рис.19.40 представлен спектр раствора фенола). По мере повышения давления газов максимумы поглощения, первоначально очень узкие, всё более расширяются, и при высоких давлениях спектр поглощения газов приближается к спектрам поглощения жидкостей. Этот факт указывает на то, что расширение полос поглощения есть результат взаимодействия атомов (или молекул) друг с другом.

Металлы практически непрозрачны для света. Это обусловлено наличием в металлах свободных электронов. Под действием электрического поля световой волны свободные электроны приходят в движение – в металле возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением ленц-джоулева тепла. В результате энергия световой волны быстро уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию металла.

15. Эффект Черенкова-Вавилова

В 1934 году , работавший под руководством , обнаружил особый вид свечения жидкости под действием заряженных частиц, например, электронов.

Заряженная частица, движущаяся равномерно, не излучает – но только в том случае, если её скорость меньше скорости света в данной среде. При

возникает излучение (n – показатель преломления среды).

Происхождение излучения Черенкова-Вавилова для световых волн аналогично ударной звуковой волне при преодолении самолётом звукового барьера.

Особенности излучения:

1) оно распространяется по образующим конуса с вершиной в точке, где находится частица (рис.19.41);

2) угол между скоростью частицы и направлением излучения определяется соотношением:

.

6.1. Поляризация света

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных (световых) волн распространяющихся в вакууме или изотропной среде: векторы напряженности электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости v распространения волны (то есть перпендикулярно световому лучу). Явление поляризации света служит надежным обоснованием поперечности световой волны. При рассмотрении поляризации обычно все рассуждения связывают с плоскостью колебаний вектора напряженности электрического поля Е — светового вектора, так как химическое, физиологическое и другие виды воздействия света на вещество обусловлены главным образом электрическими колебаниями. Однако при этом следует помнить об обязательном существовании перпендикулярного ему вектора напряженности магнитного поля Н.

Поляризация электромагнитной волны. Записывая решение для электрического поля плоской электромагнитной волны в виде

мы предполагали, что направление вектора амплитуды колебаний не зависит от времени. В этом случае вектор электрического поля всегда и во всех точках волны направлен вдоль одной и той же прямой — колеблется в одной плоскости неизменной ориентации в пространстве.

Плоскость, в которой происходят колебания светового вектора, то есть плоскость, содержащая вектор и направление распространения волны, называется плоскостью колебаний. Если эта плоскость не меняет во времени своей ориентации, то волна называется — линейно (плоско) поляризованной.

Выбирая ось х вдоль направления распространения волны, а ось у — вдоль векторной амплитуды , записываем (6.1) в виде

Однако существует и вторая линейно поляризованная волна, имеющая ту же частоту и распространяющаяся в том же направлении:

Электрические колебания в этой волне направлены вдоль оси z, так что волны (6.2) и (6.3) линейно независимы. Обе они являются решением одного и того же волнового уравнения, так что их суперпозиция также является решением того же уравнения. Сложив эти волны, мы найдем общее выражение для монохроматической волны с данной частотой w, распространяющейся вдоль оси х. Математически эта процедура ничем не отличается от сложения взаимно ортогональных колебаний. Если зафиксировать какую-то точку х и следить за изменением вектора электрического поля в ней, то конец вектора будет описывать эллиптическую, в общем случае, траекторию в плоскости, параллельной y0z. Вращение вектора происходит с частотой волны . В этом случае говорят, что свет имеет эллиптическую поляризацию. Если разность фаз кратна , то эллиптическая поляризация вырождается в линейную. При равенстве амплитуд Е_0,у и Е_0,г эллипс превращается в окружность. Тогда говорят о круговой поляризации волны. В соответствии с двумя возможными направлениями вращения вектора возможны право- и левополяризованные волны. Любую электромагнитную волну можно представить как линейную комбинацию двух линейно поляризованных волн или как линейную комбинацию двух волн с круговой поляризацией. Иными словами, электромагнитные волны имеют две внутренние степени свободы.

Естественный и поляризованный свет. В свете, испускаемом обычными источниками, имеются колебания, совершающиеся в различных направлениях, перпендикулярных к лучу. В таких световых волнах, исходящих из различных элементарных излучателей (атомов), векторы имеют различные ориентации, причем все эти ориентации равновероятны, что обусловлено большим числом атомных излучателей. Такой свет называется естественным, или неполяризованным.

Если под влиянием внешних воздействий на свет или внутренних особенностей источника света (лазер) появляется предпочтительное, наиболее вероятное направление колебаний, то такой свет называется частично поляризованным. Неполяризованный (естественный) свет может испускаться лишь огромным числом элементарных излучателей. Электромагнитная волна от отдельного элементарного излучателя (атома, молекулы) всегда поляризована. С помощью различных поляризаторов из пучка естественного света можно выделить часть, в которой колебания вектора будут происходить в одном определенном направлении в плоскости, перпендикулярной лучу, то есть выделенный свет будет линейно поляризованным.

На рисунках направление колебаний электрического поля линейно поляризованной волны изображается следующим образом. Если вектор Е колеблется в плоскости чертежа, то на направление вектора скорости волны наносится ряд вертикальных стрелочек (рис. 6.1-1), а если в плоскости, перпендикулярной чертежу, — ряд точек (рис. 6.1-2). Естественный (неполяризованный) свет условно обозначается чередующимися черточками, которым соответствует, например, компонента Е_y вектора напряженности электрического поля, и точками, соответствующими другой компоненте Е_z (рис. 6.1-3).

Рис. 6.1. Условные обозначения типа поляризации волны

Существуют приборы (поляризаторы), пропускающие только колебания, происходящие параллельно некоторой плоскости, называемой плоскостью поляризации прибора, и полностью задерживающие ортогональные колебания. Если пропустить через такой прибор пучок света, то на выходе он будет линейно поляризованным. При вращении прибора вокруг направления луча интенсивность выходящего света будет изменяться от I_MAX до I_MIN.

Степень поляризации света — это величина

Отметим, что формула (6.4) пригодна для расчета степени поляризации света лишь в том случае, когда частично поляризованный свет представляет собой смесь естественного света и света линейно поляризованного и не работает, например, в случае смеси естественного света и света поляризованного по кругу. В общем случае степень поляризации может быть рассчитана как отношение интенсивности поляризованной компоненты к суммарной интенсивности волны, то есть сумме интенсивностей поляризованной и естественной компонент смеси:

Нетрудно показать, что (6.4) есть частный случай последней формулы.

Если падающий пучок света линейно поляризован, то при положении прибора, когда его плоскость поляризации ортогональна плоскости колебаний волны, свет через прибор не пройдет, то есть . В соответствии с формулой (6.4) степень поляризации такого света . Для частично поляризованного света

и . Для естественного света, где волны разных поляризаций смешаны в равной степени и все направления эквивалентны, интенсивность выходящего света не изменяется при вращении поляризатора, так что и .

Закон Малюса. В качестве поляризаторов могут быть использованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Е, например природные кристаллы турмалина. Монокристалл турмалина поглощает колебания вектора Е в одном направлении настолько сильно, что сквозь пластинку толщиной порядка 1 мм проходит только линейно поляризованный луч. Кристаллы йодистого хинина еще сильнее поглощают одну из поляризаций: кристаллическая пленка толщиной в десятую долю миллиметра практически полностью отделяет один из линейно поляризованных лучей.

Пусть естественный свет распространяется перпендикулярно плоскости рисунка 6.2.

Рис. 6.2. Разложение вектора амплитуды колебаний А в волне, падающей на поляризатор

Вектор амплитуды колебаний электрического поля волны, совершающихся в плоскости, образующей с плоскостью поляризатора угол , можно разложить на два колебания с амплитудами

Первое колебание с амплитудой А_|| пройдет через прибор (поляризатор), второе — с амплитудой А — будет задержано (поглощено). Интенсивность прошедшей волны пропорциональна квадрату амплитуды

Падающая волна является смесью волн с различными углами . Усредняя по углам, получаем для интенсивности света на выходе из поляризатора:

где — интенсивность падающего на поляризатор света. В естественном свете все значения угла равновероятны:

так что интенсивность света, прошедшего через поляризатор, будет равна . При вращении поляризатора вокруг направления луча естественного света интенсивность прошедшего света остается неизменной, но изменяется лишь ориентация плоскости колебаний света, выходящего из прибора.

Рассмотрим теперь падение линейно поляризованного света с интенсивностью на тот же поляризатор (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Прохождение линейно поляризованной волны через поляризатор

Сквозь прибор пройдет составляющая колебаний с амплитудой

где — угол между плоскостью колебаний вектора Е и плоскостью поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света I определяется выражением

которое носит название закона Малюса.

Поляризационные приборы по своему целевому назначению делятся на поляризаторы и анализаторы. Поляризаторы служат для получения поляризованного света. С помощью анализатора можно убедиться, что падающий свет поляризован, и выяснить направление плоскости поляризации. Принципиальных различий в конструкционном отношении между поляризатором и анализатором не существует.

Поставим на пути естественного света два поляризатора, плоскости которых образуют угол (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Пропускание естественного света через систему из двух поляризаторов

Из первого поляризатора выйдет линейно поляризованный свет, интенсивность которого , составит половину интенсивности падающего естественного света . Согласно закону Малюса из второго поляризатора (который играет роль анализатора) выйдет свет с интенсивностью

Таким образом, интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, равна

Если угол (плоскости поляризации поляризатора и анализатора параллельны), то ; если (анализатор и поляризатор скрещены), то .

Пример 1. В частично поляризованном свете амплитуда колебаний, соответствующая максимальной интенсивности света при прохождении через поляризатор, в n = 2 раза больше амплитуды, соответствующей минимальной интенсивности. Определим степень поляризации света.

Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, имеем

Отсюда степень поляризации света равна

Пример 2. На пути света со степенью поляризации Р = 0.6 поставили анализатор так, что интенсивность прошедшего света стала максимальной. Определим, во сколько раз уменьшится интенсивность, если анализатор повернуть на угол ?

В падающем луче по условию (см. предыдущий пример)

При повороте анализатора на угол будут пропущены колебания, параллельные плоскости поляризации прибора. Поэтому интенсивность пропущенных колебаний, прежде бывших параллельными плоскости поляризации, составит

a интенсивность прошедших колебаний, до поворота задерживавшихся анализатором, равна

Суммарная интенсивность прошедших колебаний равна сумме

Стало быть, интенсивность уменьшится при повороте анализатора в 16/13 = 1.23 раза.

Поляризация при отражении и преломлении. Получить поляризованный свет из естественного можно еще одним способом — отражением. Опыт показывает, что отраженный от поверхности диэлектрика и преломленный лучи всегда частично поляризованы. Когда свет падает на диэлектрическую поверхность, то в отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (точки на рис. 6.5), а в преломленном луче — колебания, параллельные плоскости падения (стрелки на рис. 6.5).

Рис. 6.5. Поляризация света при отражении и преломлении

Степень поляризации зависит от угла падения лучей и от относительного показателя преломления сред. Исследуя это явление, английский физик Д. Брюстер установил, что при определенном значении угла падения

отраженный свет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения луча. Это соотношение известно как закон Брюстера. При

отражается только та компонента вектора напряженности электрического поля, которая параллельна поверхности диэлектрика (перпендикулярна плоскости падения). Соответственно, преломленный луч всегда частично поляризован, так как отражается лишь какая-то доля падающего света (не равная 50 %).

При падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны, отраженный свет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения луча, а преломленный луч частично поляризован с максимальной степенью поляризации.

находим с учетом закона преломления

откуда следует, что преломленный луч 0С перпендикулярен отраженному лучу 0В (рис. 6.6).

Рис.6.6. Ход лучей при падении света под углом Брюстера: отраженный луч ортогонален преломленному,
поэтому излучатели типа (см. текст ниже) не вносят вклад в поляризацию отраженного луча

Для того чтобы объяснить, почему отраженный при падении под углом Брюстера луч линейно поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, учтем, что отраженный свет есть результат излучения вторичных волн колеблющимися под действием светового вектора волны электрическими зарядами (электронами) в среде II. Эти колебания происходят в направлении колебаний вектора Е.

Разложим колебания вектора Е в среде II на два взаимно перпендикулярных направления (см. рис. 6.6): колебания , происходящие в плоскости падения (показаны стрелками), и колебания , происходящие перпендикулярно плоскости падения (показаны точками). В случае падения под углом Брюстера

отраженный луч 0В перпендикулярен преломленному лучу 0С. Следовательно, 0В параллелен . Из электромагнитной теории Максвелла известно, что колеблющийся электрический заряд не излучает электромагнитных волн вдоль направления своего движения. Поэтому колеблющийся в диэлектрике излучатель типа вдоль направления 0В не излучает. Таким образом, по направлению отраженного луча 0В распространяется свет, посылаемый только излучателями типа , направления колебаний которых перпендикулярны плоскости падения.

Следует отметить, что на опыте закон Брюстера не выполняется вполне строго из-за дисперсии света.

Пример 3. Определим, на какой угловой высоте над горизонтом должно находиться Солнце, чтобы солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был полностью поляризован.

Угол падения света связан с высотой Солнца над горизонтом соотношением

По условию угол падения равен углу Брюстера, так что

Показатели преломления воды п₂ = 1.33, воздуха — п₁ = 1. Отсюда находим

Пример 4. Угол Брюстера при падении света из воздуха на кристалл каменной соли равен . Определим скорость света V в этом кристалле.

Поскольку показатель преломления воздуха равен единице, показатель преломления каменной соли п совпадает с относительным показателем преломления этих двух сред. Имеем поэтому