Уравнение плоской световой волны формула

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

.

(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или .

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Волновая оптика с формулами

Вы будете перенаправлены на Автор24

Согласно современным представлениям свет – это сложное явление, которое при одних обстоятельствах ведет себя как электромагнитные волны, при других – его следует рассматривать как поток особенных частиц (фотонов).

Волновая оптика – это специальный раздел оптики, как науки, в которой рассматриваются явления, объясняемые на основе волновой природы света.

Уравнение плоской линеаризованной световой волны

Если плоская световая волна распространяется по оси $X$, то ее можно описать при помощи следующих уравнений:

где φ – начальная фаза, которая определена началом отсчета по времени и координате. В световой волне совершают колебания два вектора:

• напряженности электрического поля,
• напряженности магнитного поля.

Экспериментально доказано, что физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и многие другие действия свет оказывает благодаря колебаниям вектора $\vec$. Поэтому, если в волновой оптике говорят о световом векторе, то, скорее всего, имеют в виду $\vec$.

Введем обозначение модуля амплитуды светового вектора — $A$, тогда закон изменения проекции светового вектора можно представить как:

где $A$ — амплитуда волны света.

В вакууме световая волна распространяется со скоростью $ c=3∙10^8 м/с $. Фазовая скорость световых волн в среде может быть определена:

• $ε$ – диэлектрическая проницаемость вещества;
• $μ$ – магнитная проницаемость вещества;
• $n$ – показатель преломления вещества.

Все известные на сегодняшний момент прозрачные среды имеют магнитную проницаемость примерно равную единице.

Готовые работы на аналогичную тему

Явление интерференции волн света

Рассмотрим пару световых волн, имеющих одну частоту. Пусть они накладываются друг на друга в некоторой точке пространства и порождают в некоей точке пространства колебания одинакового направления:

Амплитуда суммарного колебания в рассматриваемой точке пространства будет:

Если $<\varphi<>>_2-<\varphi<>>_1$ не изменяется с течением времени, то волны (и источники этих волн) называют когерентными.

При наложении когерентных волн возникает перераспределение потока света и в одних местах пространства появляются максимумы интенсивности, в других – минимумы. Это явление называют волновой интерференцией.

Так, для некогерентных волн имеем: $I=I_1+I_2(7).$

Для когерентных волн: $I=I_1+I_2+2\sqrt\cos<(<\varphi<>>_2-<\varphi<>>_2)(8)>$, где $I$ — интенсивность волны.

Явление интерференции широко применяется на практике, например, для нахождения показателей преломления газов, очень точного определения длин и величин углов, выяснения насколько качественно обработана поверхность.

Дифракция световых волн

Дифракцией называют систему явлений, которые могут наблюдаться, если световые волны распространяются в веществах с неоднородными участками (или вкраплениями) и, в этой связи, возникают отклонения от законов геометрической оптики.

Частным случаем дифракции является огибание препятствий волнами света и попадание света в область геометрической тени.

Наиболее простыми с точки зрения математического описания являются следующие виды дифракции от:

• круглого отверстия;
• круглого диска;
• прямоугольного края полуплоскости;
• щели;
• дифракционной решетки.

Рассмотрим пример дифракции. На пути сферической волны света расположим непрозрачную преграду с круглым отверстием, радиус которого равен $r$. Экран разместим так, что луч от источника попадет в центр отверстия (рис.1).

Рисунок 1. Пример дифракции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если радиус отверстия много меньше расстояний $n$ и $m$ (рис.1), тогда мы можем положить, что $m$ — расстояние от непрозрачного экрана с отверстием до точки $C$ на экране.

При выполнении равенства:

где $k$ – целое число, открываются первые $k$ зон Френеля. Число открытых зон Френеля можно определить так:

Амплитуды результирующей волны в точке C найдем как:

Если число $k$ невелико, то можно считать: $A_k\approx<>A_1$, следовательно, в точке С для нечетных $k$ амплитуда почти равна $ A_1$, при четных $k$ $A=0$.

Если выставленную преграду убрать, то амплитуда волны в точке C станет равной $\frac<2>$. Получается, что маленькое круглое отверстие в непрозрачном экране приводит к увеличению амплитуды световой волны в два раза и соответственно, интенсивность увеличивается в 4 раза.

Поляризация света

Световая волна, как и всякая электромагнитная волна, является поперечной. Однако в естественном луче мы не обнаружим асимметрии по отношению к направлению ее распространения. Этот факт свидетельствует о том, что в обычном луче колебания происходят в разных направлениях, но при этом, перпендикулярных вектору скорости волны. В естественном свете колебания разных направлений с высокой скоростью меняют друг друга.

Поляризованным называют луч света, в котором направления колебаний упорядочены.

При реализации колебаний светового вектора в одной плоскости, говорят о плоской поляризации света.

Допустим, что на поляризатор попадает плоскополяризованный свет, имеющий амплитуду $A_m$ и интенсивность$ I_m. $ Амплитуда колебаний световой волны, вышедшей из прибора, составит:

где $\alpha<>$ – угол между плоскостью колебаний луча попадающего в поляризатор и плоскостью поляризатора. При этом интенсивность луча, покинувшего поляризатор будет:

Выражение (13) называется законом Малюса.

Если луч света падает на границу раздела двух диэлектрических сред и угол его падения отличен от нуля, то отраженный и преломленный лучи становятся частично поляризованными. Степень поляризации определена углом падения.

При выполнении условия:

где $ n_<12>$ – показатель преломления второй среды относительно первой, отраженный луч становится полностью поляризованным. При этом колебания в этом отраженном луче происходят перпендикулярно плоскости падения. Выражение (14) — закон Брюстера. $α_b$ – угол Брюстера или угол полной поляризации.

При выполнении условия (14) степень поляризации преломленного луча максимальна, но не является полной.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 03 2021

Электронная библиотека

В световой (электромагнитной) волне колеблются векторы Е и Н (Е – напряженность электрического поля, Н – напряженность магнитного поля). Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора. В соответствии с этим мы будем в дальнейшем говорить о световом векторе, подразумевая под ним вектор напряженности электрического поля. О магнитном векторе световой волны мы упоминать почти не будем.

Модуль амплитуды светового вектора мы будем обозначать, буквой А. Соответственно изменение во времени и пространстве светового вектора, будет описываться уравнением:

Здесь k – волновое число, r – расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны. Для плоской волны, распространяющейся в непоглощающей среде, A= сопst, для сферической волны А убывает как 1/r и т. д.

При распространении света в веществе . Для подавляющего большинства прозрачных веществ m практически не отличается от единицы. Поэтому можно считать, что

Формула (1.1) описывает связь оптических свойств вещества с его электрическими свойствами. На первый взгляд, может показаться, что эта формула неверна. Например, для воды e = 81, а n = 1,33. Однако надо иметь в виду, что значение e = 81 получено из электростатических измерений. В быстропеременных электрических полях значение e получается иным, причем оно зависит от частоты колебаний поля. Этим объясняется дисперсия света, т.е. зависимость показателя преломления (или скорости света) от частоты (или длины волны). Подстановка в формулу (4.1) значения e, полученного для соответствующей частоты, приводит к правильному значению n.

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим n называется оптически более плотной, чем среда с меньшим n. Соответственно среда с меньшим n называется оптически менее плотной, чем среда с большим n.

Длина волны в вакууме равна:

Таким образом, связь длины световой волны в среде с показателем преломления n с длиной волны в вакууме описывается соотношением:

Частоты видимого света лежат в пределах n = (0,39 ¸ 0,75)·10 15 Гц, соответствующий диапазон длин волн l находится в области от 0,76 до 0,4 мкм. Свет с различными длинами волн воспринимается человеческим глазом как свет разных цветов, причем, самые коротковолновые имеют фиолетовый цвет, наибольшую длину волны имеет красный цвет. Соответственно наибольшая частота у фиолетового, наименьшая частота у красного света (таблица 1).