Уравнение плоской световой волны имеет вид

Волновая оптика с формулами

Вы будете перенаправлены на Автор24

Согласно современным представлениям свет – это сложное явление, которое при одних обстоятельствах ведет себя как электромагнитные волны, при других – его следует рассматривать как поток особенных частиц (фотонов).

Волновая оптика – это специальный раздел оптики, как науки, в которой рассматриваются явления, объясняемые на основе волновой природы света.

Уравнение плоской линеаризованной световой волны

Если плоская световая волна распространяется по оси $X$, то ее можно описать при помощи следующих уравнений:

где φ – начальная фаза, которая определена началом отсчета по времени и координате. В световой волне совершают колебания два вектора:

• напряженности электрического поля,
• напряженности магнитного поля.

Экспериментально доказано, что физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и многие другие действия свет оказывает благодаря колебаниям вектора $\vec$. Поэтому, если в волновой оптике говорят о световом векторе, то, скорее всего, имеют в виду $\vec$.

Введем обозначение модуля амплитуды светового вектора — $A$, тогда закон изменения проекции светового вектора можно представить как:

где $A$ — амплитуда волны света.

В вакууме световая волна распространяется со скоростью $ c=3∙10^8 м/с $. Фазовая скорость световых волн в среде может быть определена:

• $ε$ – диэлектрическая проницаемость вещества;
• $μ$ – магнитная проницаемость вещества;
• $n$ – показатель преломления вещества.

Все известные на сегодняшний момент прозрачные среды имеют магнитную проницаемость примерно равную единице.

Готовые работы на аналогичную тему

Явление интерференции волн света

Рассмотрим пару световых волн, имеющих одну частоту. Пусть они накладываются друг на друга в некоторой точке пространства и порождают в некоей точке пространства колебания одинакового направления:

Амплитуда суммарного колебания в рассматриваемой точке пространства будет:

Если $<\varphi<>>_2-<\varphi<>>_1$ не изменяется с течением времени, то волны (и источники этих волн) называют когерентными.

При наложении когерентных волн возникает перераспределение потока света и в одних местах пространства появляются максимумы интенсивности, в других – минимумы. Это явление называют волновой интерференцией.

Так, для некогерентных волн имеем: $I=I_1+I_2(7).$

Для когерентных волн: $I=I_1+I_2+2\sqrt\cos<(<\varphi<>>_2-<\varphi<>>_2)(8)>$, где $I$ — интенсивность волны.

Явление интерференции широко применяется на практике, например, для нахождения показателей преломления газов, очень точного определения длин и величин углов, выяснения насколько качественно обработана поверхность.

Дифракция световых волн

Дифракцией называют систему явлений, которые могут наблюдаться, если световые волны распространяются в веществах с неоднородными участками (или вкраплениями) и, в этой связи, возникают отклонения от законов геометрической оптики.

Частным случаем дифракции является огибание препятствий волнами света и попадание света в область геометрической тени.

Наиболее простыми с точки зрения математического описания являются следующие виды дифракции от:

• круглого отверстия;
• круглого диска;
• прямоугольного края полуплоскости;
• щели;
• дифракционной решетки.

Рассмотрим пример дифракции. На пути сферической волны света расположим непрозрачную преграду с круглым отверстием, радиус которого равен $r$. Экран разместим так, что луч от источника попадет в центр отверстия (рис.1).

Рисунок 1. Пример дифракции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если радиус отверстия много меньше расстояний $n$ и $m$ (рис.1), тогда мы можем положить, что $m$ — расстояние от непрозрачного экрана с отверстием до точки $C$ на экране.

При выполнении равенства:

где $k$ – целое число, открываются первые $k$ зон Френеля. Число открытых зон Френеля можно определить так:

Амплитуды результирующей волны в точке C найдем как:

Если число $k$ невелико, то можно считать: $A_k\approx<>A_1$, следовательно, в точке С для нечетных $k$ амплитуда почти равна $ A_1$, при четных $k$ $A=0$.

Если выставленную преграду убрать, то амплитуда волны в точке C станет равной $\frac<2>$. Получается, что маленькое круглое отверстие в непрозрачном экране приводит к увеличению амплитуды световой волны в два раза и соответственно, интенсивность увеличивается в 4 раза.

Поляризация света

Световая волна, как и всякая электромагнитная волна, является поперечной. Однако в естественном луче мы не обнаружим асимметрии по отношению к направлению ее распространения. Этот факт свидетельствует о том, что в обычном луче колебания происходят в разных направлениях, но при этом, перпендикулярных вектору скорости волны. В естественном свете колебания разных направлений с высокой скоростью меняют друг друга.

Поляризованным называют луч света, в котором направления колебаний упорядочены.

При реализации колебаний светового вектора в одной плоскости, говорят о плоской поляризации света.

Допустим, что на поляризатор попадает плоскополяризованный свет, имеющий амплитуду $A_m$ и интенсивность$ I_m. $ Амплитуда колебаний световой волны, вышедшей из прибора, составит:

где $\alpha<>$ – угол между плоскостью колебаний луча попадающего в поляризатор и плоскостью поляризатора. При этом интенсивность луча, покинувшего поляризатор будет:

Выражение (13) называется законом Малюса.

Если луч света падает на границу раздела двух диэлектрических сред и угол его падения отличен от нуля, то отраженный и преломленный лучи становятся частично поляризованными. Степень поляризации определена углом падения.

При выполнении условия:

где $ n_<12>$ – показатель преломления второй среды относительно первой, отраженный луч становится полностью поляризованным. При этом колебания в этом отраженном луче происходят перпендикулярно плоскости падения. Выражение (14) — закон Брюстера. $α_b$ – угол Брюстера или угол полной поляризации.

При выполнении условия (14) степень поляризации преломленного луча максимальна, но не является полной.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 03 2021

Классическая теория света

Волновая природа света

В классической теории свет рассматривают как электромагнитную волну. Данная теория свои истоки берет в работах Дж. Максвелла об электромагнитных волнах. Ученый в теории доказал, что электромагнитные волны существуют, при этом в вакууме свет распространяется со скоростью, которая равна:

где $<\varepsilon >_0=8,85\cdot <10>^<-12>\frac<Ф><м>$ — электрическая постоянная; $<\mu >_0=4\pi \cdot <10>^7\frac<Гн><м>$ — магнитная постоянная.

Из теории Максвелла следовало, что электромагнитные возмущения распространяются в вакууме со скоростью, равной $c=\frac<1><\sqrt<<\varepsilon >_0<\mu >_0>>.\ $ Эту скорость назвали электродинамической постоянной. Ее величину экспериментально получили В. Е. Вебер и Р.Г. Кольрауш в середине XIX века.($c=3,1\cdot <10>^8\frac<м><с>$). К тому времени Физо измерил скорость света в вакууме и получил величину, равную $=3,15\cdot <10>^8\frac<м>.\ $ Получилось, что электродинамическая постоянная и скорость света практически совпали.

Кроме того из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны являются поперечными. Как показали эксперименты Юнга, рассматривавшего поляризацию световых волн, волны света, так же поперечны.

Из сказанного выше мы, как и Максвелл можем сделать вывод: волны света — это электромагнитные волны.

Экспериментально то, что электромагнитные волны существуют, показал Г. Р. Герц в конце XIX века. Исследователь наблюдал отражение, преломление, поляризацию полученных волн, возможность электромагнитных волн интерферировать.

И так, электромагнитная природа света установлена из результатов совпадения свойств электромагнитных волн, которые описывают уравнения Максвелла и свойств света. Световое излучение — это электромагнитные волны длины, которых находятся в диапазоне: $0,38\le \lambda \le 0,77\ (мкм)$.

Ограничения волновой теории света

Классическая электромагнитная теория света ответила на ряд вопросов, на которые не могла ответить теория упругого эфира, господствовавшая в физике XIX века. Был сделан вывод о том, что данная теория позволила символически решить вопрос о природе света. Было принято, что уравнения Максвелла передают численные соотношения между величинами и явлениями, но не имеют четкого физического истолкования символов, входящих в соответствующие выражения. Полагалось, что после определения механических свойств эфира система уравнений Максвелла полностью объяснят все световые явления. Через некоторое время сама гипотеза механического эфира была отвергнута. Так как классическая физика не имеет возможности объяснить явления атомного масштаба, необходимо применять квантовые представления. Классическая теория, например, не может объяснить энергетический спектр абсолютно черного тела. Использование представлений о свете, как потоке корпускул, требуется для объяснения некоторых световых эффектов (фотоэффект, эффекта Комптона и др.). В настоящее время считают, что полная теория света — это корпускулярно волновая теория.

Используя волновую теорию света, объясняют законы распространения света (отражение, преломление, интерференцию, дифракцию и т.п).

Уравнение световой волны

В электромагнитной волне колебания выполняют векторы магнитной индукции и напряженности ($\overline\ <\rm и>\ \overline$). Эксперименты показывают, что действия света вызывают колебания $\overline$. Часто говорят о световом векторе, подразумевая под ним вектор $\overline$. Изменение в пространстве и времени проекции светового вектора на направление распространения волны можно описать при помощи выражения:

где $E_m$ — величина амплитуды светового вектора (для плоской волны $E_m=const,\ $для сферической — $E_m\sim \frac<1>$), $k$ — волновое число, $r$ — расстояние, по направлению распространения волны.

Абсолютным показателем преломления среды (обозначаемым как $n)\ является:$

где $v-$ фазовая скорость волны.

Тогда следуя классической волновой теории:

где для прозрачных веществ $\mu \approx 1.$ Выражение (4) реализует взаимосвязь оптических и электромагнитных свойств вещества. Величина $\varepsilon $ (диэлектрическая проницаемость вещества) зависима от частоты колебаний электрического поля. Это является объяснением существования дисперсии света (зависимости показателя преломления от частоты).

Показатель преломления ($n$) характеризует оптическую плотность вещества.

Длина волны света в веществе ($\lambda $) связывается и длина волны в вакууме ($<\lambda >_0$) соотносят как:

Корпускулярные свойства света

В соответствии с корпускулярной (фотонной) теорией света, свет является потоком фотонов, которые имеют энергию, массу и импульс.

Энергия фотона равна:

где $h=6,62\ \cdot <10>^<-34>Дж\cdot с$ — постоянная Планка, $\nu $ — частота волны.

Масса фотона ($m_f$):

Фотонная теория объясняет явления взаимодействия света с веществом (например, дисперсию света, рассеяние, фотоэффект).

Примеры задач с решением

Задание. Уравнение плоской световой волны представлено в экспоненциальном виде: $\overline\left(\overline,\ t\right)=\overline<\exp \left(-i\left(\omega t-\overline\overline\right)\right)\ >,\ \overline\left(\overline,\ t\right)=\overline<\exp \left(-i\left(\omega t-\overline\overline\right)\right)\ >,$ где $\overline=const,\ \overline=const.$ Докажите, что световая волна является поперечной. Покажите, что векторы $\overline\bot \overline\bot \overline$.

Решение. Доказать, что световая волна является поперечной, значит, показать, что: $\overline\bot \overline\bot \overline$, где $\overline$ — волновой вектор.

В качестве основы для решения возьмем систему уравнений Максвелла, которую запишем в дифференциальном виде (при отсутствии токов и зарядов):

\[-\overline\times \overline=\omega <\mu >_0<\varepsilon >_0\overline\ \left(1.2\right),\] \[\overline\times \overline=\omega \overline\ \left(1.3\right),\] \[\overline\cdot \overline=0\ \left(1.4\right),\] \[\overline\cdot \overline=0\ \left(1.5\right).\]

Из формул (1.4) и (1.5) следует, что векторы $\overline$ и $\overline$ нормальны к волновому вектору $\overline$, который определяет направление распространения волны. Из формул Выражение (1.2) и (1.3) очевидно, что векторы $\overline$ и $\overline$ перпендикулярны.

Задание. Какова длина волны $\lambda $ фотона, если его импульс равен импульсу электрона, движущегося со скоростью равной $v$? Массу электрона считайте известной.

Решение. Если считать, что электрон обладает скоростью много меньшей скорости света, то его массу будем считать постоянной, импульс равным:

Импульс фотона определим как:

По условию $p_f=p_e$. Энергия фотона равна:

Ответ. $\lambda =\frac$

Расчетно-графические задания по физике

Министерство образования Российской Федерации

Ивановский государственный энергетический университет

Кафедра физики

ВОЛНОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Расчетно-графические задания по физике

Иваново 2004

Составители: М. В. Дмитриев,

Настоящие задания предназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов по теме “Волны. Волновые и квантовые свойства света”.

В заданиях учтены особенности учебных планов различных факультетов. Дана таблица вариантов контрольной работы для студентов заочной формы обучения.

Расчетно–графические задания утверждены цикловой методической комиссией ИФФ

Рецензент

кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета

1. Упругие и электромагнитные волны.
Общая характеристика волновых процессов

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, имеет вид:

,

где – смещение частицы среды, имеющей координату в момент времени ; – амплитуда смещения; – циклическая частота; – волновое число; – начальная фаза.

Для одномерной волны уравнение волновой поверхности имеет вид:

.

Скорость перемещения волновой поверхности равна:

где – длина волны; – период колебаний; – частота колебаний.

Уравнение волны, распространяющейся в среде с затуханием:

где – коэффициент затухания; – амплитуда волны в точке .

Объёмная плотность энергии упругой волны:

где – плотность среды.

Плотность потока энергии упругой волны (вектор Умова), распространяющейся в среде со скоростью , равна:

Поток энергии, переносимый волной через поверхность площадью , равен:

,

где – угол между вектором скорости и единичным вектором нормали к поверхности .

Уравнение плоской электромагнитной волны:

где , – амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного поля соответственно. Модули амплитуды векторов напряжённости магнитного и электрического поля связаны соотношением:

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды,
– относительная магнитная проницаемость среды, – электрическая постоянная, – магнитная постоянная. Фазовая скорость волны:

здесь – скорость электромагнитной волны в вакууме; – показатель преломления среды.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны:

Плотность потока энергии электромагнитной волны, называемая вектором Пойнтинга, равна:

где – групповая скорость волны. В среде, обладающей дисперсией, групповая скорость связана с фазовой скоростью волны соотношением:

В вакууме вектор Пойнтинга равен :

Интенсивность электромагнитной волны:

Давление плоской электромагнитной волны:

где – коэффициент отражения, – угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности.

Коэффициент отражения света в случае его падения по нормали к поверхности равен:

где – интенсивность отраженного света, – интенсивность падающего света, – относительный показатель преломления вещества.

Задача 1. Тонкая длинная струна с закрепленными концами натянута вдоль координатной оси Х. Если вывести струну из положения равновесия, то все частицы струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания). В каждый момент времени струна находится в плоскости ХОУ. В процессе колебания величина отклонения частиц струны от положения равновесия y зависит от координаты x и времени t. Найти зависимость y(x, t).

Решение. При фиксированном значении t график функции y(x,t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис.1).

Частная производная dy/dx= дает угловой коэффициент к касательной в точке с абсциссой х.

Для заданного значения х функция y(x,t) определяет закон движения точки струны с координатой х вдоль прямой, параллельной оси OY, производная есть скорость движения этой точки, вторая производная – ускорение.

Выделим бесконечно малый участок струны М1М2, проектирующейся на ось ОХ интервалом [x,x+dx]. На него действуют силы натяжения и . При малых колебаниях частиц струны угол наклона касательной к любой точке струны мал, . Приняв, что величина силы натяжения вдоль струны постоянна и равна , получим

где

Здесь частное приращение производной при переходе от аргументов (х, t) к аргументам (x+dx,t) заменено ее частным дифференциалом

Масса участка струны равна

где – линейная плотность вещества струны (кг/м).

Запишем второй закон Ньютона для этого участка:

Обе части уравнения разделим на и получим уравнение:

,

где – положительная постоянная величина.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется одномерным волновым уравнением. Оно описывает свободные колебания струны.

В случае бесконечно длинной струны общее решение волнового уравнения имеет вид:

.

Функция в момент времени t=0 описывает перемещение волны вдоль оси ОХ в положительном направлении со скоростью V, которая равна . Функция описывает волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ в обратном направлении.

Если точки струны колеблются по гармоническому закону то вдоль струны будет распространяться волна со скоростью V, описываемая гармонической функцией.

Задача 2. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4см от источника колебаний, в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны.

Решение. В уравнении плоской волны подставим и выразим из него в явном виде длину волны:

.

Подставим числовые данные:

Задача 3. По какому закону изменяется с расстоянием амплитуда незатухающей цилиндрической воны?

Решение. Поток энергии, переносимой волной через цилиндрическую поверхность радиуса R, пропорционален интенсивности волны и площади поверхности S

,

где h – высота цилиндра. Этот же поток энергии переносится волной и через цилиндрическую поверхность радиуса r. Следовательно,

,

.

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды

.

Если источником волн является тонкая нить; то амплитуда выбирается равной амплитуде волны на расстоянии R=1 м от оси нити. Закон убывания амплитуды с расстоянием от источника принимает вид:

1.1. Написать уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси Х. Частицы среды колеблются вдоль оси Z. Известно, что амплитуда волны равна А, циклическая частота ω, начальная фаза π/6, длина λ. Рассеянием энергии пренебречь.

1.2. Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция

1.3. Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция Какой физический смысл имеет коэффициент ?

1.4. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Υ. Амплитуда волны А=0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии y=λ/2 от источника колебаний в момент времени t=T/6.

1.5. В условии задачи 1.4 определить разность фаз колебаний точек М и Р.

1.6. В некоторый момент времени t1 в точке х1=0 фаза плоской монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке х2=10-3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х2 в момент времени t2=10-2 c? Длина волны λ=10-4 м.

1.7. Плоские волны переходят из среды, в которой фазовая скорость волны равна V, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше. Что происходит при этом с частотой и длиной волны ?

1.8. Какие из приведённых функций можно использовать при описании волновых движений: , , ?

1.9. Записать уравнение цилиндрической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность цилиндрической волны с изменением расстояния от источника.

1.10. Записать уравнение сферической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность сферической волны с изменением расстояния от источника.

1.11. В окрестностях точек 1 и 2 известны направления распространения сферической волны (рис.1.1). Найти графическим построением положение источника излучения.

1.12. В поглощающей среде вдоль оси Х распространяется плоская волна. Определить расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз. Коэффициент затухания волны известен и равен .

1.13. Указать направление, вдоль которого распространяется плоская волна, имеющая волновой вектор (k,0,0). Определить частоту ν и длину λ этой волны. Скорость распространения волны в среде равна V.

1.14. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,k,0).

1.15. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,0,-k).

1.16. На больших расстояниях от точечного источника сферическая волна может рассматриваться как плоская. При каком характерном размере d малый участок волновой поверхности может считаться плоским? Длина волны λ задана.

1.17. Найти волновой вектор и скорость волны V. Волна описывается уравнением , где , и – постоянные.

1.18. Плоская волна с длиной λ распространяется вдоль направления, образующего с осями Х, Υ, Z углы π/3, π/4, и π/3 соответственно. Написать уравнение волны. Амплитуда и частота равны соответственно А и ν.

1.19. Доказать, что любая функция вида является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной ?

1.20. Плоская волна задана уравнением

,

где смещение частиц среды y задано в мкм, t в с, х в м. Найти отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.

1.21. Плоская волна задана уравнением . Для момента времени t=0 изобразите графики зависимости от х величин у, ∂y/∂t и ∂y/∂x.

1.22. Две плоские синусоидальные волны, амплитуды которых одинаковы, а частоты соответственно n и n+∆n (∆n n2 > n1 (n1=1). Луч естественного света падает на границу воздух – стекло под углом Брюстера. За счет преломлений и отражений луч разделяется на несколько лучей. Какие из лучей (1÷6) будут полностью поляризованы?

2.52. При дифракции на щели минимум третьего порядка наблюдается при угле дифракции 45°. Какое общее количество минимумов можно наблюдать в дифракционной картине? Под каким углом будет наблюдаться последний минимум?

2.53. В опыте по наблюдению дифракции Френеля круглое отверстие открывает две зоны Френеля. Диафрагма с отверстием расположена на одинаковом расстоянии от точечного источника света и экрана. Между источником света и отверстием поставили собирающую линзу так, чтобы при этом источник света оказался в ее фокусе. Светлое или темное пятно будет наблюдаться в центре дифракционной картины?

2.54. На тонкую прозрачную пленку с показателем преломления n=1,33 по нормали к ее поверхности падает световой луч. При непрерывном изменении длины волны света обнаружили, что в отраженном луче за счет интерференции максимальное увеличение интенсивности наблюдается у лучей с длинами волн λ1=450 нм и λ2=750 нм. Найти толщину пленки.

2.55. Пучок естественного света падает на поляризатор, состоящий из N поляризационных пластинок. Плоскость поляризации каждой из пластинок повернута на 30° по часовой стрелке относительно плоскости поляризации предыдущей пластинки. Какая доля интенсивности падающего света пройдет через поляризатор? Поглощением света пренебречь.

2.56. Две когерентные световые волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, имеют разность фаз ∆φ=π/3. Модули амплитуд векторов напряженности электрического поля волн одинаковы E1=E2=E0. В результате интерференции получили эллиптически поляризованный свет. Найти наибольшее и наименьшее значения модуля вектора напряженности электрического поля световой волны.

3. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА.

Поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности нагретого тела по всем направлениям в пределах телесного угла 2π (энергетическая светимость тела Rm), равен

,

где – испускательная способность тела, – циклическая частота.

,

где Вт/м2К4 – постоянная Стефана – Больцмана;
T – температура.

Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты и температуры f(ω,T). Испускательная способность абсолютно черного тела, описывается формулой Планка:

где – постоянная Планка; с – скорость света; k – постоянная Больцмана. При переходе от частоты к длине волны эта функция приобретает вид:

Испускательная способность абсолютно черного тела связана с равновесной плотностью энергии теплового излучения u(ω,T) соотношением

где – некоторая функция отношения частоты к температуре.

Для функции закон Вина имеет вид

где некоторая функция произведения (λ;T).

Закон смещения Вина:

где – длина волны, на которую приходится максимум функции ; b=2,898 (м·К) – постоянная Вина.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

где – частота света, – работа выхода электронов с поверхности жидкости или твердого тела, – кинетическая энергия вылетающих электронов.

Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободном электроне (эффект Комптона)

где – длина волны рентгеновского излучения после рассеяния; – длина волны падающего излучения; – масса покоя электрона; – угол, под которым рассеивается излучение; – комптоновская длина волны.

Задача 1. Определить энергетическую светимость абсолютно черного тела в интервале длин волн =1 нм, соответствующую максимуму его испускательной способности при T=1000 К.

Решение. Из закона смещения Вина определим длину волны излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум излучения.

м.

Интервал длин волн много меньше длины волны , поэтому энергетическую светимость можно определить как произведение испускательной способности на

Задача 2. На металлическую пластину падает свет с длиной волны λ=420 нм. Фототок прекращается при запирающем потенциале
U=0,95 В. Определить скорость выбиваемых электронов и работу выхода.

Решение. Скорость электронов найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии mV2/2=eU, где е – заряд электрона. Скорость электрона:

м/с.

Работа выхода фотоэлектронов равна

Задача 3. В опыте Комптона угол рассеивания рентгеновских фотонов равен φ=90°. Энергия рассеянных фотонов Е=0,4 МэВ. Какова энергия фотонов до рассеивания? Какова энергия, импульс и скорость электронов отдачи?

Решение. Изменение длины волны в результате рассеяния на свободном электроне определяется с помощью формулы Комптона:

Длины волн выразим через энергии Е1 и Е0 соответствующих фотонов:

Отсюда следует, что энергия фотонов до рассеивания равна

Энергия покоя электрона m0c2=0,51 МэВ. Энергию фотона выразим в мегаэлектронвольтах:

МэВ.

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния Ее=E0-E1=1,85–0,4=1,4 МэВ.

Импульс электрона найдем из закона сохранения импульса:

, где и — импульс фотона до рассеяния и после рассеяния. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изображена на рис.2. Из диаграммы следует, что

Импульс фотонов представим через их энергию, выраженную в джоулях,

кг·м/с.

Скорость электронов отдачи найдем, воспользовавшись выражением для релятивистского импульса

Отсюда следует, что

м/с.

3.1. Участок поверхности нагретого тела площадью ∆S за время τ излучает в пределах телесного угла 2π энергию ∆W. Какова энергетическая светимость этого участка?

3.2. Испускательная способность тела задана уравнением

0, ω ω2,

где b – постоянная, ω – частота излучения. Рассчитать энергетическую светимость тела.

3.3. Испускательная способность тела задана уравнением rω=roexp(—αω), где ro и α — постоянные. Определить энергетическую светимость тела.

3.4. На графике испускательной способности абсолютно черного тела выделены два узких участка, площади которых равны (рис. 3.1). Одинаковы ли на указанных частотах ω1 и ω2:
1) испускательная способность rω.т;
2) энергетическая светимость ∆Rω.Τ?

3.5. С помощью формулы Вина показать, что наиболее вероятная частота теплового излучения пропорциональна температуре ωвер

3.6. С помощью формулы Вина показать, что максимальная испускательная способность теплового излучения (rω)max

T5.
T – абсолютная температура.

3.7. С помощью формулы Планка показать, что в области, где hω >kT, для испускательной способности абсолютно черного тела справедлива формула Вина.

3.9. Найти соотношение между величинами rω.T. и rλ.T. Записать формулу Планка для величины rλ.T.

3.10. Вычислить с помощью формулы Планка энергетическую светимость абсолютно чёрного тела в интервале длин волн Δλ=1 нм, соответствующем максимуму испускательной способности при Т=3000 К.

3.11. С помощью формулы Планка показать, что максимальное значение испускательной способности абсолютно чёрного тела пропорционально абсолютной температуре в пятой степени:

3.12. С помощью формулы Планка показать, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна температуре: λ0=b/T, где b – постоянная Вина.

3.13. Температура поверхности Солнца равна T0=5500 К. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, оценить массу, теряемую им за секунду в результате излучения.

3.14. Для абсолютно черного тела вблизи его максимума испускательной способности рассчитать с помощью формулы Планка мощность излучения с единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1 нм. Температура тела равна 4000 К.

3.15. Вблизи максимума испускательной способности Солнца рассчитать с помощью формулы Планка энергию, которую оно излучает с единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1 нм. Температура Солнца T=5500 К. Считать, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела.

3.16. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ≤λmax.

3.17. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ>λmax.

3.18. На экране получен спектр излучения положительного кратера вольфрамовой дуги, имеющего температуру 4000 К. Определить отношение мощностей, излучаемых кратером в интервалах длин волн от 695 до 705 нм (участок красного цвета) и от 395 до 405 нм (участок фиолетового цвета). Принять, что кратер излучает как черное тело а поглощение в стекле и воздухе одинаково для красных и фиолетовых лучей.

3.19. Для абсолютно чёрного тела в области максимума испускательной способности определить мощность излучения с 1 см2 его поверхности для интервала длин волн λ0,01λмах. Температура тела Т=2000 К.

3.20. Абсолютно чёрное тело имеет температуру t1=200 °С. Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток излучения увеличился в 100 раз?

3.21. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно чёрного тела, если его максимум испускательной способности переместится из красной части видимого спектра λ1=700 нм в фиолетовую λ2=393,6 нм?

3.22. На 1 см2 земной поверхности падает в среднем около 8,4 Дж солнечной энергии в 1 мин. Расстояние от Земли до Солнца 1,5·1011 м, диаметр Солнца 1,39 109 м, температура Солнца 6000 К. Считая Солнце абсолютно чёрным телом, найти постоянную в законе Стефана-Больцмана.

3.23. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне является его корона. Определить поток радиоизлучения от Солнца на Земле в полосе шириной Δω=1 МГц вблизи длины волны λ=1 м, предполагая, что это излучение является тепловым. Эффективная температура короны равна Т=106 К, эффективный радиус короны r=6,95·105 км, радиус земной орбиты R=1,5·108 км.

3.24. Металлический шар радиусом R=1 см и теплоемкостью C=14 Дж/К при температуре T=1200 К выброшен в межпланетное пространство. Коэффициент поглощения шара A=0,4. Через какое время температура шара уменьшится вдвое?

3.25. По пластинке длиной l=4 см и шириной b=0,5 см проходит электрический ток I=15 А. После установления теплового равновесия температура пластинки стала равной T=2000 К. Определить напряжение, подводимое к пластинке, если коэффициент поглощения пластинки А=0,6. Считать, что температура по всей площади пластинки постоянна, а все выделяющееся тепло теряется в результате излучения.

3.26. Удаленный от других тел медный шарик облучен электромагнитным излучением с длиной волны λ=140 нм. Определить его потенциал?

3.27. Небольшое идеальное отражающее зеркальце массой m=10 мг подвешено на нити длиной l=10 см. Найти угол, на который отклониться нить, если по нормали к зеркалу в горизонтальном направлении произвести «выстрел» импульсом лазерного излучения с энергией E=13 Дж.

3.28. Найти среднее давление лазерного импульса на поверхности тела. Длительность импульса τ=0,13 мс, средняя энергия импульса
W=10 Дж, диаметр пятна d=10 мкм. Свет падает по нормали к поверхности тела, коэффициент отражения которой =0,5.

3.29. Сколько фотонов попадает на 1 см2 поверхности Земли, перпендикулярной к солнечным лучам, за 1 мин? Солнечная постоянная ω≈1,4·103 Дж/(м2·с), средняя длина волны λср≈550 нм.

3.30. Точечный источник монохроматического света на длине волны λ=500 нм имеет мощность P=10 Вт. На каком максимальном расстоянии этот источник будет замечен человеком? Глаз человека реагирует на световой поток W=60 фотонов в секунду. Диаметр зрачка глаза человека d=0,5 см.

3.31. Параллельный пучок света с интенсивностью Io падает под углом φ на плоское зеркало с коэффициентом отражения ρ. Определить давление света на зеркало.

3.32. В сферическом сосуде, из которого откачан воздух, помещены два электрода из цинка. К ним подсоединён конденсатор ёмкостью c=3,5 мкФ (рис. 3.2.). Один из электродов освещается светом с длиной волны λ=0,25 мкм. Какой заряд будет находиться на конденсаторе при длительном освещении? Работа выхода электрона для цинка А=3,74 эВ.

3.33. На пластинку площадью S=8 см2 по нормали к ее поверхности падает излучение с плотностью энергии q=1 Вт/см2. Частота света ν=4,6·1015 с-1. Какой ток может быть снят с пластинки, если считать, что каждый фотон выбивает электрон?

3.34. Какой частоты нужно взять свет, чтобы выбитые из вольфрамового катода электроны задерживались на расстоянии 4 см в электрическом поле напряженностью 1,7 В/см?

3.35. Опыт показал, что задерживающее напряжение для фотоэлектронов равно 2 В. Электрод облучили светом с длиной волны
λ=200 нм. Найти красную границу фотоэффекта.

3.36. Частота падающего света в опыте Комптона равна 4·1018 Гц. Найти частоту света, отраженного под углом 120° к направлению его падения.

3.37. Длина волны падающего света в опыте Комптона равна λ. Найти длину волны отраженного света, если известно, что электрон отдачи полетел под углом α=60° к первоначальному направлению распространения света и обладал импульсом .

3.38. На площадь S=6 см2 по нормали падает монохроматический свет с плотностью потока энергии q=1,5 Вт/см2. Снятый с этой площади фототок насыщения равен 0,2 А. Считая, что каждый фотон выбивает электрон, найти частоту света и энергию фотона.

3.39. Фотоны с длиной волны 330 нм выбивают электроны, которые могут быть задержаны на расстоянии 2 см в электрическом поле напряженностью 2 В/см. Какова работа выхода электронов из металла
(в эВ)?

3.40. Фототок вызывается светом с длиной волны 400 нм. Красная граница фотоэффекта 800 нм. Найти запирающее напряжение для электронов.

3.41. Частота падающего света в опыте Комптона ν1=3·1022 1/с. Под каким углом рассеивается свет, если частота рассеянного света
ν2=2,5·1022 1/с?

3.42. Скорость фотоэлектронов равна 3·106 м/с. Найти задерживающую разность потенциалов и частоту падающего света. Работа выхода равна 4,5 эВ.

3.43. Найти красную границу фотоэффекта и построить график зависимости задерживающей разности потенциалов от частоты. При длине волны света 520 нм кинетическая энергия электронов равна 2 эВ.

3.44. В опыте Комптона угол рассеяния фотонов равен 180°. Длина волны падающих фотонов равна λ=0,5 нм. Найти частоту рассеянных фотонов.

3.45. При облучении катода фотоэлемента ток насыщения равен 0,01 А. Длина волны света равна 500 нм. Площадь катода 2 см2. Найти плотность потока энергии света.

3.46. Известно, что при освещении фотоэлемента светом с длиной волны λ1=400 нм вылетают электроны, которые могут быть задержаны запирающим напряжением U1=6 В. Каково, запирающее напряжение для электрона, выбитого светом с длиной волны λ2=650 нм?

3.47. Красная граница фотоэффекта для катода равна 900 нм. Построить график зависимости запирающего напряжения от частоты.

3.48. В эффекте Комптона найти изменение длины волны рентгеновского излучения. Угол рассеяния фотонов равен 120°, а их длина волны 0,5 нм.

3.49. Какая доля энергии фотона в эффекте Комптона приходится на электроны отдачи? Угол рассеяния для фотонов с энергией ε=0,6 МэВ равен φ=π/2.

3.50. В опыте Комптона угол рассеяния света изменился от 90° до 180°. Во сколько раз изменится сдвиг по длине волны в результате опыта?

3.51. Фотон с частотой ω0 испущен с поверхности звезды, масса которой М и радиус R0. Вычислить гравитационное смещение частоты фотона ∆ω/ω0 на очень большом расстоянии от звезды.

3.52. Два абсолютно черных шарика радиусами r1=4 см и r2=2 см, имеющие постоянные температуры T1=400 К и T2=800 К, находятся в вакууме на расстоянии d0=0,6 м. Между шариками помещена небольшая пластинка радиусом r0