Уравнение плоской волны длина волны равна

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Уравнение плоской волны длина волны равна

отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.

— это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме

где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности.

Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k.

Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Уравнение плоской и сферической волн. Длина волны, волновое число, фазовая скорость

Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию координат x, y, z ее равновесного положения и времени t:

Найдем явный вид функции x для плоской волны, считая что колебания носят гармонический характер. Направим ось х вдоль направления распространения волны, тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси х. Так как все точки, принадлежащие волновой поверхности, колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от х и t:

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0
(рис. 2.2.1), описываются гармонической функцией:

Частицы среды расположенные слева и справа от источника будут совершать гармонические колебания, смещения которых в некоторый момент времени t можно представить графиком (рис.2.2.2).

Кратчайшее расстояние между частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе), называется длиной волны l. Длина волны, очевидно, равна расстоянию, на которое распространяется волна за период колебаний частиц:

Учитывая связь периода колебаний T с частотой n, получим, что

Найдем уравнение колебаний частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x (это и будет уравнение плоской волны).

Для того чтобы пройти путь от плоскости x = 0 до плоскости, соответствующей значению x, волна затратит время

где V — скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будет отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости x=0, то есть уравнение колебаний будет иметь вид:

. (2.2.6)

Таким образом, уравнение плоской волны имеет вид:

(2.2.7)

При получении уравнения (2.2.7) изменение амплитуды колебаний не учитывалось, то есть это уравнение справедливо, если энергия волны не поглощается средой.

Найдем скорость распространения волны. Для этого зафиксируем значение фазы в уравнении (2.2.7), то есть положим:

(2.2.8)

Это выражение определяет координату x, для которой зафиксированное значение фазы достигается в данный момент времени t. Определив из (2.2.8) значение , найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы — фазовую скорость. Продифференцируем выражение (2.2.8), тогда получим:

dt- , откуда (2.2.9)

Из (2.2.9) следует, что фазовая скорость волны (2.2.7) положительна. Таким образом, уравнение (2.2.7) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X.Очевидно, уравнение волны, распространяющейся в противоположном направлении, можно получить, заменив в уравнении (2.2.7) X на -X, то есть

x=A×cosw(t+ . (2.2.10)

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.2.10) и продифференцировав, получим .

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и x вид. Для этого введем волновое число k:

. (2.2.11)

С учетом формулы (2.2.4) из (2.2.11) получаем соотношение

, (2.2.12)

где — циклическая частота.

Заменив в уравнении (2.2.7) V согласно (2.2.12) и внеся в скобки w, получим уравнение плоской волны в виде

Очевидно, уравнение (2.2.10) также может быть записано в симметричном относительно t и x виде и будет отличаться от (2.2.13) знаком в аргументе у косинуса.

Получим теперь уравнение сферической волны. Если рассматривать волну на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. Такой источник в случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, создает сферические волны. Пусть фаза колебаний источника равна wt , тогда фаза колебаний частиц среды лежащих на волновой поверхности радиуса r будет равна . В этом выражении учтено, что расстояние r волна проходит за время .

Как будет показано в §2.4,амплитуда колебаний в сферической волне убывает по закону , даже если среда не поглощает энергию волны. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

x= , (2.2.14)

где константа A₀ — численно равна амплитуде колебаний на расстоянии, равном единице длины. Размерность ее равна размерности амплитуды (зависит от физической природы волнового процесса), умноженной на размерность длины.

Получим уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, образующем с осями координат x, y, z углы a, b и g.

Пусть источником колебаний будет плоская пластина, проходящая через начало координат (рис.2.2.3), колебания которой описываются уравнением

x(0,t) = Acoswt. (2.2.15)

В плоскости, отстоящей от начала координат на расстоянии l, колебания частиц будут отставать от колебаний источника на время t и, следовательно, их смещение будет описываться уравнением