Уравнение плоской волны ее характеристики доклад

Для существования волны необходим источник колебания и материальная среда или поле, в которых эта волна распространяется. Волны бывают самой разнообразной природы, но они подчиняются аналогичным закономерностям.

По физической природе различают:

упругие, звуковые, волны на поверхности жидкости

свет, радиоволны, излучения

По ориентации возмущений различают:

Смещение частиц происходит вдоль направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сжатии;

могут распространяться в любых средах.

Смещение частиц происходит поперек направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сдвиге;

могут распространяться только в твердых средах (и на границе двух сред).

Примеры: упругие волны в струне, волны на воде

По характеру зависимости от времени различают:

Упругие волны — механические возмещения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической (синусоидальной), если соответствующие ей колебания среды являются гармоническими.

Бегущие волны — волны, переносящие энергию в пространстве.

По форме волновой поверхности: плоская, сферическая, цилиндрическая волна.

Волновой фронт — геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени.

Волновая поверхность — геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.

Характеристики волны

Длина волны λ — расстояние, на которое волна распространяется за время, равное периоду колебаний

Амплитуда волны А — амплитуда колебаний частиц в волне

Скорость волны v — скорость распространения возмущений в среде

Период волны Т — период колебаний

Частота волны ν — величина, обратная периоду

Уравнение бегущей волны

В процессе распространения бегущей волны возмущения среды доходят до следующих точек пространства, при этом волна переносит энергию и импульс, но не переносит вещество (частицы среды продолжают колебаться в том же месте пространства).

где v – скорость, φ₀ – начальная фаза, ω – циклическая частота, A – амплитуда

Свойства механических волн

1. Отражение волн – механические волны любого происхождения обладают способностью отражаться от границы раздела двух сред. Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду.

2. Преломление волн – при распространении механических волн можно наблюдать и явление преломления: изменение направления распространения механических волн при переходе из одной среды в другую.

3. Дифракция волн – отклонение волн от прямолинейного распространения, то есть огибание ими препятствий.

4. Интерференция волн – сложение двух волн. В пространстве, где распространяются несколько волн, их интерференция приводит к возникновению областей с минимальным и максимальным значениями амплитуды колебаний

Интерференция и дифракция механических волн.

Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении.

При наложении волн может наблюдаться явление интерференции. Явление интерференции возникает при наложении когерентных волн.

Когерентными называют волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную разность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн.

Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания.

Если волны от источников А и Б придут в точку С в одинаковых фазах, то произойдет усиление колебаний; если же – в противоположных фазах, то наблюдается ослабление колебаний. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных и ослабленных колебаний.

Условия максимума и минимума

Если колебания точек А и Б совпадают по фазе и имеют равные амплитуды, то очевидно, что результирующее смещение в точке С зависит от разности хода двух волн.

Если разность хода этих волн равна целому числу волн (т. е. четному числу полуволн) Δd = kλ , где k = 0, 1, 2, . то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум.

Условие максимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 2x₀.

Если разность хода этих волн равна нечетному числу полуволн, то это означает, что волны от точек А и Б придут в точку С в противофазе и погасят друг друга.

Условие минимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 0.

Если Δd не равно целому числу полуволн, то 0

Явление отклонения от прямолинейного распространения и огибание волнами препятствий называется дифракцией.

Соотношение между длиной волны (λ) и размерами препятствия (L) определяет поведение волны. Дифракция наиболее отчетливо проявляется, если длина набегающей волны больше размеров препятствия. Опыты показывают, что дифракция существует всегда, но становится заметной при условии d

Дифракция – общее свойство волн любой природы, которая происходит всегда, но условия её наблюдения разные.

Волна на поверхности воды распространяется в сторону достаточно большого препятствия, за которым образуется тень, т.е. волнового процесса не наблюдается. Такое свойство используется при устройстве волноломов в портах. Если же размеры препятствия сравнимы с длиной волны, то за препятствием будет наблюдаться волнение. Позади него волна распространяется так, как будто препятствия не было вовсе, т.е. наблюдается дифракция волны.

Примеры проявления дифракции. Слышимость громкого разговора за углом дома, звуки в лесу, волны на поверхности воды.

Стоячие волны

Стоячие волны образуются при сложении прямой и отраженной волны, если у них одинаковая частота и амплитуда.

В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Колебания струны. В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.

Отсюда вытекает условие

Длинам волн соответствуют частоты

n = 1, 2, 3. Частоты v n называются собственными частотами струны.

Гармонические колебания с частотами v n называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Уравнение стоячей волны:

В точках, где координаты удовлетворяют условию (n = 1, 2, 3, …), суммарная амплитуда равна максимальному значению – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (n = 0, 1, 2,…), суммарная амплитуда колебаний равна нулю – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (a), и узел – если более плотная (б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.

Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.

Реферат: Поля и Волны

7.1. Понятие волнового процесса.

7.2. Плоские волны в идеальной среде.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.

7.5. Поляризация ЭМВ.

7.1. Понятие волнового процесса.

Мир, в котором мы живем, — мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ?

Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:

Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ.

Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ — это скорость света.

Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.

Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.

Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.

7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.

Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

(7.2.1.) rot H = j  a E  Используем для анализа

   1 — е и 2 — е уравнения

(7.2.2.) rot E = — j  a H  Максвелла

Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами

зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.

Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):

E = () rot H

() rot (rot H) = — j  a H

rot rot H = grad div A —  2 H

grad div H —  2 H =  2  a  a H

т.к. div H = 0 — четвертое уравнение Максвелла

 2 H + k 2 H = 0 однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.3.)

Точно так же из второго уравнения получаем

уравнения для вектора Е:

 2 E + k 2 E = 0 — однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.4.)

В развернутом виде запишем уравнения:

() +() +() + k 2 H = 0 (7.2.5.)

Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.

т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т.е.:

= = 0

() + k 2 H = 0 (7.2.6.)

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:

H(z) = A e — jkz + B e jkz  в обычной форме

H(z,t) = e j  t (A e — jkz + B e jkz )  если поле зависит от времени.

H(z,t) = h  означает, что поле векторное.

H(z,t) = h [A e j(  t-kz) + B e j(  t + kz) ] (7.2.7.)

Выделим составляющую поля c амплитудой А:

H a (z,t) = h A e j(  t-kz) — в комплексной форме.

Выделим из комплексного выражения действительную часть:

H a реал (z,t) = Re H a (z,t) = h A cos(  t — kz) (7.2.9.)

Фотография процесса в момент времени t = t 1 , t = t 2 . С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:

Ф 1 =  t 1 — kz 1 ; Ф 2 =  t 2 — kz 2 (7.2.10.)

Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф 1 = Ф 2

t 1 — kz 1 =  t 2 — kz 2

k (z 2 — z 1 ) =  (t 2 — t 1 )

= V ф — называется фазовой скоростью волны.

k =    a  a

V ф = — зависит от свойств среды,

где распространяется ЭМВ.

 0 = 8,85*10 –12 ,  0 = 4  *10 -7 ,

V = 3*10 8 (7.2.11.)

 — называют пространственную периодичность волнового процесса.

 — это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.

в т. Z 1 Ф 1 =  t — kz 1

в т. Z 2 Ф 2 =  t — kz 2

z 2 — z 1 = = 

k = — волновое число

V ф = = f   если в вакууме, то

Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:

rot E = — j   a H

Спроектируем уравнение на оси координат:

. . .

rot H =

-() = j  a E x

= j  a E;

-() = — j  a H x , 0 = — j  a H z

= — j  a H y , H z = 0 (7.2.13.)

В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости  плоскости распространения:

-() = j  a E x

j k H y = j  a E y

(7.2.14.)

Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.

Ориентация векторов Е и Н.

Для плоской ЭМВ Е всегда  Н.

Покажем, что величина Е Н = 0:

E H = E H cos (E H) = 0

(i E x + j E y ) (i H x + j H y )

E x H x + E y H y­ = Z c H y H x — Z c H x H y = 0

E x = Z c H y ; E y = — Z c H x

E  H всегда в плоской ЭМВ

H = y 0 A e j(  t-kz) общая запись

H = x 0 A Z c e j(  t-kz) (7.2.15.)

Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются

2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?

П ср = () Re [E  H * ]

Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)

Отношение = Z c определенная величина в случае вакуума Z c = 120  . Плоская ЭМВ однородная.

Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.

У плоской ЭМВ E z = 0 , H z = 0.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать. Любая реальная среда — набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды.

Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.

В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:

Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры  а  а — комплексные.

С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде:

k =    a  a =   (  a `- j  a «)(  a `- j  a «) =  — j  (7.3.1.)

поскольку величины  а и  а — комплексные, то k — тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой процесс:

H (z,t) = y 0 A e j(  t-kz) = y 0 A e  t-(  j  z) =

= y 0 A e   e j(  t-  (7.3.3.)

Параметр  получил название коэффициента затухания.  — фазовая постоянная — вещественная часть волнового числа.

V ф =  /  в реальных средах (7.3.4.)

Понятие  было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2  и считать, что это  . Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием  можно пользоваться условно.

Рассмотрим поведение амплитуды в точках:

в т. Z 1  H(Z 1 ) = A e —  1

в т. Z 2  H(Z 2 ) = A e —  2

a = 20 lg () = 20 lg () =

= 20 lg e  2-  1  = 20  (Z 2 — Z 1 ) lg ℓ

a = 8,69  l [дБ] (7.3.5.)

во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .

Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз

Изменение поля Н = A e —  . На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н 1 = А

в т. Z =  0 H 2 = A e — 

= е = е —  ;   0 = 1

 0 = (7.3.6.)

Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”

Z c =  =  a ` — j  a «/  a `- j  a «=  Z c  e j  (7.3.7.)

в реальных средах Z c величина комплексная. Поведение

Е и Н в реальной среде:

H(z,t) = y 0 A e —  e j(  t- 

E(z,t) = x 0 A Z c e —  e j(  t-  =

= x 0 A  Z c  e —  e j(  t-    (7.3.8.)

Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между

Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.

Волновой процесс в реальных средах

Расчет коэффициента затухания и

фазовой постоянной в реальной среде

Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.

Реальная cреда не магнитный диэлектрик.

 a =  a `- j  a « ;  a =  a `- j0 =   (7.3.9.)

1) Из общих выражений для k:

k =  — j  =   (  a `- j  a «)  a ` (7.3.10.)

Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:

 2 — 2 j  —  2 =  2  a `  a ` — j  2  a «  a `

Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.

  2 —  2 =  2  a `  a `

 2  a `  a ` = q — обозначим

 2  a «  a ` =  2  a `  a = q tg 

= tg  (7.3.11)

  2 —  2 = q ;  =

 2 — () tg 2  — q = 0

 4 — q  2 — () tg 2  = 0

 2 =

Какой знак взять + или — ?

Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к.  — будет отрицательная.

 2 = (1 +  1 + tg 2  )

 =   (  1 + tg 2  + 1) (7.3.12)

для  решение аналогичное:

 =  (7.3.13)

1. По определению V ф =

V ф =

tg  =

V ф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость V ф от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.

 = 0 — идеальная среда

Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:

1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:

tg     a `  a ` (7.3.14.)

 совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с параметрами  а ,  а .

 1 + tg 2   1 + () tg 2  — разложение в ряд

 =  tg  =()   a `  a `

чем > tg  , тем >  . (7.3.15)

2) Среда с большими потерями.

 =  tg 

 =  = 

tg  =

 =  = (7.3.16.)

 0 =

Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями).

e  = e  = e  = e  = 540 раз

7.4. Групповая скорость плоских волн

Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?

В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью  1  2  3 . С какой скоростью передается сигнал ?

Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:

 1 = A cos (  1 t — k 1 Z)

 2 = A cos (  2 t — k 2 Z) (7.4.1.)

Рассмотрим сложение двух сигналов:

 =  1 +  2 = A [cos (  1 t — k 1 Z) + cos (  2 t — k 2 Z)]

 = 2A cos ((  1 —) t — (k 1 —) Z) *

*cos ((  1 +) t — (k 1 +) Z)

=   =  0

=  k = k 0

 = 2 A cos (   t —  k Z) cos (  0 t — k 0 Z) (7.4.2.)

описывает медленно описывает быстро изменяющийся волновой процесс.

При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в пространстве фронт max амплитуд.

в т. Z 1 , t 1  Ф 1 =   t 1 —  kZ 1 ,

в т. Z 2 , t 2  Ф 2 =   t 2 —  k Z 2

Ф 1 = Ф 2    t 1 —  kz 1 =   t 2 — k  Z 2

k (Z 2 — Z 1 ) =  (t 2 — t 1 )

=V гр

= V гр  (7.4.3.)

V гр по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с групповой скоростью связано перемещение энергии:

V гр  c V ф > ф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.

V ф — скорость изменения состояния фазового фронта.

Пример: Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.

7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн

Под поляризацией будем понимать заданную в

пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной линии прямой),

круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).

Возьмем два ортогональных колебания:

Е х = А cos (  t — kz)

E y = B cos (  t — kz +  ) (7.5.1.)

 — показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.

Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?

1) А  В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.

y (  = 0)

в E =  E 2 x + E 2 y =  A 2 + B 2 cos (  t-kz)

 = arctg = arctg () (7.5.2.)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом.

Два ортогональных колебания по определению:

 = arctg () = arctg=

= arctg  tg (  t — kz) =  (  t — kz)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом   /2 дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией).

E =  E 2 x  +  E 2 y  =  A 2 cos 2 (  t — kz) + A 2 sin 2 (  t — kz) = A

Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.

3) В общем случае, когда А  В, и фазы разные, вектор

Е или Н вращается по эллипсу.

Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление.

Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные устройства (служебная связь — вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация — режим передачи, горизонтальная — режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации.

Основы теории электромагнитного

1.1. Информативность различных диапазонов волн.

1.2. Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ).

1.2.1. Особенности СВЧ диапазона.

1.3. Поля или цепи ? Условие квазистационарности.

1.4. Векторные характеристики электромагнитного

1.5. Материальные уравнения среды.

1.6. Методы описания физических явлений и расчета

1.1. Информативность различных диапазонов волн.

В последнее время все большее количество людей переходят из сферы материального производства в сферу обработки, хранения и передачи информации. Информацию можно излучать, либо передавать по кабельным линиям, волноводам, световодам и т.д. Количество информации непрерывно растет. Ограничением является количество каналов. Любой канал может передать только определенную информацию.

тф

музыкальная передача

газета

ТВ

20кГц f

240 МГц

Рассмотрим диапазоны метровых волн (КВ).  = 10  100 [м], f = 30  3 [МГц],  f = 27 Мгц. Если в этом диапазоне вести телевидение, то можно организовать четыре канала или 6000 телефонных каналов.

 = 1  10 [м], f = 300  30 [МГц],  f = 270 Мгц

число телевизионных каналов — 40

число телефонных каналов — 6*10 4

 = 1  10 см, f = 30  3 ГГц,  f = 27 ГГц 

n телев. = 4000, n телеф. = 6*10 6

Миллиметровый диапазон  = 1  10 мм, f = 30-300 ГГц, ∆f  270 ГГц, n тв  4 . 10 4 , n тф = 6 . 10 7

Если посмотреть на оптический диапазон  = 0,3  3 мкм, f = 10 5 – 10 6 ГГц,  f = 9 . 10 5 ГГц. n тв  1,5 . 10 8 , n тф  2 . 10 11 , то можно удовлетворить все потребности технического прогресса. С ростом частоты увеличивается информативность. Наращивание каналов связи — это освоение более высокочастотных диапазонов.

1.2. Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ)

Диапазон СВЧ : 1 ГГц — 100 Ггц 1 ГГц = 10 9 Гц

1.2.1. Особенности СВЧ диапазона.

Остронаправленность излучения при сравнительно небольших размерах излучателей.

Квазиоптический характер распространения волн.

1.3. Поля или цепи ? Условие квазистационарности.

Аппарат теории цепей есть, он могучий. Зачем нужна теория электромагнитного поля? Противопоставлять теорию цепей и теорию поля нельзя. В одних условиях лучше одна теория, в других другая. Рассмотрим простейшую схему.

Вопрос: Какие показания будут давать амперметры ? Одинаковые или нет в любой фиксированный момент времени?

Ответ: Да, если Т >> t зап . Запаздыванием процесса колебании от одной точки к другой можно пренебречь. Т — период колебаний источника;

t зап — время запаздывания при распространении сигнала в цепи.

Предположим l — линейные размеры цепи, С — скорость света, тогда t зап = . Если Т >>  Т С >> l, т.к. Т С =  , следовательно:

 >> l — условие квазистационарности.

Если условие квазистационарности выполняется, то можно пользоваться теорией цепей. Когда условие квазистационарности не выполняется, нужен другой анализ. В сантиметровом и оптическом диапазонах используется теория поля.

1.4. Векторные характеристики электромагнитных

Для полного описания свойств электромагнитных полей нужно знать положение, величину и направление в пространстве четырех векторов.

Е — вектор напряженности электрического поля.

D — вектор электрического смещения

Н — вектор напряженности магнитного поля.

В — вектор магнитной индукции

Е, В — характеризуют силовые характеристики полей.

D,H — характеризуют источники ЭМП

1.5. Материальные уравнения с реды.

Материальные уравнения устанавливают связь между векторными характеристиками электромагнитных полей одинаковой природы. Рассмотрим связь между векторами D и Е, В и Н.

Электромагнитные процессы могут протекать в самых разных условиях. Электромагнитные волны пронизывают ионосферу (от спутника до земной антенны). От свойств среды зависят условия распространения. Физики подробно дают ответ на такие вопросы (физика твердого тела, физика плазмы и т.д.). В простом представлении (грубая модель) среды

разделяют на диэлектрические и магнитные. Диэлектрические среды состоят из зарядов одинаковой величины и противоположных по знаку (диполей).

+ — p э = q ℓ — электрический момент.

Многочисленные эксперименты и строгие теоретические выводы подтверждают связь:

где  а — абсолютная диэлектрическая проницаемость

Для вакуума  a =  0 = 8,85 * 10 -12 [Ф/м].

Вводят понятие относительной диэлектрической проницаемости:  a =  отн  0

 отн =

В справочной литературе указаны значения  отн . Для магнитных веществ ситуация аналогичная:

 a — абсолютная магнитная проницаемость.

 a =  0 = 4  * 10 -7

Для удобства расчетов вводят понятие относительной магнитной проницаемости :

 отн =

Выражения (1.5.1.) называют материальными уравнениями среды.

 пр — плотность тока проводимости []

 — удельная проводимость среды [].

1.6. Методы описания физических явлений и расчета

устройств СВЧ диапазона.

Электродинамика, как основа описания физических явлений в СВЧ диапазоне.

Уравнения Максвелла, как обобщение экспериментальных законов электричества и магнетизма.

2.1. Теорема Гаусса для электрического поля.

2.1.1. Теорема Гаусса для магнитного поля.

2.2. Закон полного тока. Ток смещения.

2.3. Закон электромагнитной индукции.

2.4. Закон сохранения заряда.

2.1. Теорема Гаусса для электрического поля.

Интегральные уравнения электромагнитного поля являются обобщением экспериментальных законов и являются постулатами.

Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора электромагнитной индукции , проходящим через замкнутую поверхность S и зарядами находящимися внутри поверхности. Теорема Гаусса является обобщением закона Кулона.

q-внутри S

D dS = q =

Если заряд вне поверхности, то П = 0, т.к. сколько зарядов вошло, столько и вышло.

Внутри заряженной поверхности могут быть самые разные распределения зарядов.

(2.1.2.)

Физическое понимание этих соотношений роль и сила теоремы Гаусса. Она позволяет судить о процессах происходящих внутри не проникая туда. К примеру, поток  0, значит внутри S есть что-то, что создает поток. Если П=0, то там ничего нет, нет источников полей.

Практическое использование теоремы Гаусса, рекомендации. Форма поверхности произвольная. Любая. Как распорядиться свободой ? Цилиндр, сфера, куб и т.д. Разные поверхности, разные сложности. Универсальная рекомендация. Если поверхность выбрана таким образом, что вектор будет постоянен, то можно использовать теорему Гаусса.

Пример: Рассчитать вектор , создаваемый бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью  L .

По теореме Гаусса (2.1.2.) имеем:

D dS = q

Этап 1. Выбор замкнутой поверхности. Цилиндр высотой h и радиусом r.

Этап 2. Вычисление потока вектора D:

D dS = 2  D dS +  D dS = D 2  r h

Этап 3. Вычисление заряда:

q =   L dl =  L  dL =  L h

Этап 4. Применение теоремы Гаусса:

D 2  r h =  L h ; D = (  L / 2  r) r 0

2.1.1. Теорема Гаусса для магнитных полей —

устанавливает связь между потоком вектора В и источниками магнитного поля. Магнитных зарядов в природе нет.

В dS = 0 (2.1.1.1.)

Cто лет назад этими двумя интегральными уравнениями ограничивались познания человечества о природе.

2.2. Закон полного тока. Ток смещения .

К середине 18 столетия большинство ученых пришли к выводу, что между магнитными и электрическими явлениями нет ничего общего, это разные явления. К началу 19 века накопились факты, утверждающие, что существует связь между электрическими и магнитными явлениями. Датский ученый Эрстед сделал открытие, описав явление, но объяснение этого явления тогда было неправильно. Факт — если пропустить по проводнику электрический ток, то в окружающем пространстве возникает вихревое магнитное поле , направленное по касательной. Стрелка компаса отклоняется.

(2.2.1.)

Физический смысл: Источниками магнитных полей являются движущееся заряды, т.е. ток. 

Введем понятие плотности электрического тока  пр — количество зарядов, проходящих в единицу времени, через единичную площадку  к ней направленную.

На площадке S выделим элемент площадью  S, покажем направление площади и плотность тока проводимости: 

I =   I =   пр dS (2.2.2.)

В некоторой ситуации имеет место сложное распределение тока.

Выделим в системе некоторый контур L, охватывающий часть токов. Вклад в циркуляцию вектора Н дают только токи, охватывающие выделенный контур:

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5

Для среды с непрерывным распределением тока:

   

 H dl =   пр dS (2.2.4.)

Магнитное поле могут создавать не

только движущиеся заряды, но и пе —

ременное электрическое поле.

2.2.1. Ток смещения :

Попытаемся на различных участках этой цепи вычислить циркуляцию 

= Н dl = I пр (2.2.1.1.)

Передвинем постепенно контур L 1 к обкладкам конденсатора. Описанное равенство пока выполняется.

Неверно H dl = 0  H = 0 ? ? ?

Магнитное поле ведь было до обкладок, почему же оно исчезло ?

Максвелл показал, что магнитное поле есть, его порождает переменное электрическое поле что между обкладками есть ток смещения.

правильно H dl = I смещ (2.2.1.2.)

В общем случае могут протекать как токи проводимости, так и токи смещения.

H dl = I пр + I см Закон полного тока

Если ввести понятие плотности тока смещения, то:

I см =   см dS (2.2.1.4.)

Рассчитаем плотность тока смещения в цепи:

I см = I пр = c (2.2.1.5.)

I см =  a

C =  a U = E d

L см = S

2.3. Закон электромагнитной индукции.

Устанавливает в интегральной форме зависимость ЭДС, наведенной в контуре от магнитного потока. Сформулировал закон электромагнитной индукции Фарадей.

Э = (2.3.1.)

Э = Е dl — циркуляция вектора Е по

L замкнутому контуру L.

Ф =  В dS — поток вектора В

Площадка S опирается на контур L

E dl = — (2.3.2.)

Знак (-) говорит о том, что возникшая в контуре ЭДС будет создавать переменное магнитное поле, которое препятствует направлению основного поля, которое вызвало ЭДС.

2.4. Закон сохранения заряда.

В замкнутой системе при любых процессах полный заряд остается неизменным. Если заряд остается неизменным, значит ничего не вышло за пре делы. Если заряд меняется, значит возникает ток:

 

I =  Q /  t ; I =  пр dS (2.4.1.)

 пр dS = —  dV — уравнение

s v непрерывности полного тока.

Уравнения Максвелла. Дифференциальные

уравнения электромагнитного поля.

3.1. Первое уравнение Максвелла.

3.2. Второе уравнение Максвелла.

3.3. Третье уравнение Максвелла.

3.4. Четвертое уравнение Максвелла.

3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме.

3.6. Таблица уравнений ЭМП.

1. Интегральные уравнения не позволяют получать информацию об электромагнитных процессах в каждой точке пространства. Они дают усредненные решения полей в пространстве.

2. Хорошо развитый аппарат математических решений позволят переходить от интегральной формы к дифференциальным решениям.

Впервые переход от интегральных уравнений к дифференциальным сделал Максвелл.

3.1. Первое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона полного тока:

H dl = I пол ; I пол = I пр + I см

I пол =   полн dS ;  пол =  пр +  см (3.1.1.)

S — опирается на контур L.

H dl =   полн dS (3.1.2.)

Используем теорему Стокса:

H dl =  rot H dS =   полн dS (3.1.3.)

Равенство сохраняет силу по любой поверхности, опирающейся на контур L, отсюда следует, что подынтегральные функции равны.

rot H =  полн ;  пр =  E — дифференциальная форма закона Ома. 

 см =

rot H =  E + — первое уравнение Максвелла. (3.1.4.)

Физический смысл 1-го уравнения Максвелла.

Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

3.2. Второе уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона электромагнитной индукции:

E dl = —  dS ; (3.2.1.)

 rot E dS = —  dS (3.2.2.)

rot E = — — второе уравнение Максвелла. (3.2.3.)

Физический смысл. Вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем.

3.3. Третье уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для электрических полей.

D dS = Q (3.3.1.)

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, которая позволяет осуществить переход от

поверхностного интеграла П (D) к объемному интегралу от (div D):

D dS =    div D dV (3.3.2.)

Запишем правую часть уравнения (3.3.1.) для объемного заряда. Объединим два выражения:

Q =   dV

div D =  — третье уравнение Максвелла. (3.3.3.)

Физический смысл. Источниками электрического поля (векторов Е и D) являются заряды с плотностью  .

3.4. Четвертое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для магнитных полей:

B dS = 0 ; (3.4.1.)

div B = 0 — четвертое уравнение Максвелла. (3.4.2.)

Физический смысл. Дивергенция вектора В в любой точке пространства равняется нулю, т.е. — источников нет (магнитные заряды в природе отсутствуют). Нет ни стыков, ни источников.

3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

Используем теорему Остроградского-Гаусса:

 div  пр dV = —  dV 

div  пр = — — это уравнение является следствием из предыдущих уравнений

3.6. Таблица интегральных и дифференциальных уравнений электромагнитного поля.

Материальные уравнения c реды.

D =  a E Все эти уравнения являются обобщением в математической форме опытов всего человечества об электромагнитных явлениях. Они не доказываются и не выводятся — это результат опытов.

Дифференциальные уравнения электромагнитного поля.

1.Закон полного тока:

H dl = I пр + I см

E dl = —  dS

3.Теорема Гаусса для

D dS = Q

4.Теорема Гаусса для

B dS = 0

5.Закон сохранения заряда

 пр dS = —  dV

rot H  E +

rot H =  пр +  см

rot E = —

div  пр = —

Энергия электромагнитного поля

4.1. Уравнение баланса энергии ЭМП.

4.2. Теорема Пойнтинга.

4.3. Некоторые примеры.

Любое реальное сообщение связано с передачей электромагнитной энергии. Чувствительность приемных устройств оценивается по той минимальной энергии, которой необходимо для того, чтобы эти устройства срабатывали.

Установим правило по которому можно рассчитывать энергию электромагнитного поля, если

известны Е и D, Н и В (векторные характеристики).

Уравнения Максвелла дают в целом полное описание уравнений. Любой акт проверки неизбежно связан с извлечением энергии ЭМП. Для сравнения экспериментальных и теоретических результатов ЭМП. Однако возникает вопрос о проверке этих необходимо связать энергию с напряженностью полей (векторные характеристики ЭМП).

4.1. Уравнение баланса энергии.

Баланс энергии ЭМП является следствием закона сохранения энергии для ЭМП. Выберем произвольный объем, ограниченный поверхностью S, внутри находятся источники ЭМП.

Считаем, что мощность источников нам известна, обозначим ее Р ст (сторонняя). Природа сторонних источников не рассматривается. Выясним, на какие процессы расходуется Р ст :

1) Часть Р ст преобразуется в другие виды энергии (тепло и т.д.). Это мощность Р пот .

2) Внутри V могут находиться элементы, которые запасают энергию. Для характеристики этих процессов вводится понятие плотности энергии ЭМП W ЭМ , удельная мощность По всему объему:

Р ЭМ =  dV (4.1.1.)

Р ЭМ — мощность расходуемая на изменение накопленной внутри объема энергии ЭМП.

3) С ЭМП связаны процессы переноса энергии.

Эта часть Р называют излучаемой Р изл . Для характеристики таких процессов введем понятие плотности энергии переносимой ЭМП через единичную поверхность за единицу времени в перпендикулярном поверхности направлении. Эта величина получила название вектора Пойнтинга П и характеризует количество энергии переносимой через единичную площадку за единицу времени  поверхности:

Р изл =П dS (4.1.2.)

В силу закона сохранения энергии имеем:

Р ст = Р пот +  (  W /  t) dV + П dS — уравнение баланса энергии.

4.2. Теорема Пойнтинга.

Теорема Пойнтинга устанавливает количественную связь между векторными характеристиками полей и отдельными составляющими баланса энергии ЭМП.

Для установления этой связи воспользуемся уравнениями Максвелла:

H  rot E = — (4.2.1.)

E  rot H =  см +  пр +  ст (4.2.2.)

Вычтем (4.2.2.) из (4.2.1.):

H rot E — E rot H = — H —  см Е —  пр Е —  ст Е (4.2.3.)

(div [a x b] = b rot a — a rot b) тождество (4.2.4.)

div[ E x H] = — (H + E) —  пр Е —  ст Е (4.2.5.)

Закон сохранения энергии это интегральное соотношение. Поэтому выполним интегрирование последнего уравнения по объему V:

 div [E H] dV = —  (H + E) dV —

—   пр E dV —   ст E dV (4.2.6.)

по теореме Остроградского-Гаусса:

 div [E x H] dV = [E x H] dS (4.2.7.)

Упростим выражение под знаком объемного интеграла:

H + E = (  a H) H +() (  a E) E =

(4.2.8)

— (4.2.9)

Сравним последнее уравнение с составляющими баланса энергии ЭМП (4.1.2.):

Р ст =   ст Е dV знак (-) говорит о том,

v   что энергия расходуется.

Р потерь =   пр Е dV

W эм =

W э = ; W м =

3. Некоторые примеры .

Для определения направления переноса энергии необходимо определить направления П. В соответствии с правилами векторного произведения направление вектора П, перпендикулярно плоскости векторов Е и Н. Основная энергия, переносимая вдоль линии, распределена вне проводов. Можно показать, что энергия, поступающая внутрь провода в точности равна джоулевым потерям.

5.1. Статические поля.

5.2. Стационарные поля.

5.3. Квазистационарные поля.

5.4. Относительность свойств реальных сред.

5.5. Быстропеременные поля.

В основе классификации ЭМП лежат 2 критерия:

Зависимость полей от времени.

Соотношение между токами проводимости и смещения.

5.1. Статические поля.

Статические поля не зависят от времени :

= 0   см = 0

Заряды неподвижные  пр = 0.

1. rot H = 0; 2. rot E = 0

3. div B = 0; 4. div D = 

B =  a H; D =  a E (5.1.1.)

В статических полях электрические и магнитные явления проявляют себя независимо. Уравнения Максвелла распадаются на 2 системы:

 rot H = 0  rot E = 0

 div B =0  div D =  (5.1.2.)

5.2. Стационарные поля .

Стационарные поля не зависят от времени =0 

rot H =  пр — магнитное поле становится вихревым

B =  a H  пр =  Е

Поля зависят друг от друга. Электрическое поле не вихревое, магнитное вихревое.

5.3. Квазистационарные поля .

 0   см  0 Процессы медленно изменяются во времени.

rot H =  пр rot E = —

B =  a H D =  a E  пр >>  пр

Эти поля детально изучаются в ТЭЦ.

5.4. Относительность свойств реальных сред .

В реальных средах существуют токи проводимости и токи смещения. Рассмотрим поведение реальных сред в переменных полях.

Е = Е 0 cos  t (5.4.1.)

 пр =  E =  E 0 cos  t (5.4.2.)

 см ==(  a E)=(  a E 0 cos  t)=-  a E 0 sin  t (5.4.3.)

 пр  =  E 0 = = tg  — тангенс угла диэлектрических потерь

 см  =   а Е 0 (5.4.4.)

если tg  >> 1 — проводящая среда.

tg  5.5. Быстропеременные поля

5.5.1. Гармонические процессы и метод комплексных

5.5.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме.

5.5.1. Гармонические процессы и метод комплексных

Из-за того, что процесс очень быстро изменяется по времени, то :

>>   пр  (производные по времени большие)

Уравнения Максвелла принимают вид:

rot H =  см ; rot E = —; div D =  ; div B = 0

В дальнейшем в курсе мы будем иметь дело с таким классом полей, т.е. быстропеременным. Из всего многообразия временных зависимостей полей в нашем курсе мы рассмотрим группу, где поля изменяются по гармоническому закону:

V = V 0  cos или sin непринципиально +

Метод комплексных амплитуд имеет те же предположения, что и в курсе ТЭЦ, мы несколько распространим его на векторные величины.

V = V 0 cos  t — в общем виде записана производная векторная величина, изменяющаяся по гармоническому закону.

Как выражается такая величина в методе комплексных амплитуд ?

V = V 0 cos  t  V = V 0 e j  t — временная зависимость.

Как вернуться к исходному вектору без точки? Какая теорема используется ? Теорема Эйлера.

V = Re V = V 0 cos  t

V = V 0 cos (  t +  )  V = V 0 e j(  t+  = V 0 e j  t

V 0 = V 0 e j  В этом методе на амплитуду ничего не действует.

В окончательных выражениях зависимость от времени исчезает хотя она всегда известна, ее можно восстановить.

Значительно упрощается дифференцирование и интегрирование по времени, дифференцируем  умножаем на j  , интегрируем  делим на j 

= V 0 j  e j  t = V j 

Р ср = U I * ;

Р ср акт = Re ( U I * );

Р ср реак = I m ( U I * )

П = [ E x H * ]

П акт ср = Re П

П реак ср = I m П

5.5.2. Комплексные уравнения Максвелла

Комплексные уравнения Максвелла являются дифференциальной формой законов электромагнетизма для гармонических процессов:

E = E 0 cos (  t +  E )  E 0 e j  t ; E 0 = E 0 e j  e

D = D 0 cos (  t +  D )  D 0 e j  t ; D 0 = D 0 e j  d

H = H 0 cos (  t +  H )  H 0 e j  t ; H 0 = H 0 e j  h

B = B 0 cos (  t +  B )  B 0 e j  t ; B 0 = B 0 e j  b

Применим метод комплексных амплитуд к этому процессу:

Формально можно записать хотя деление векторов не встречается.

 a =;

где  а — комплексная диэлектрическая проницаемость

= e j(  d  e  =  a e j(  D  E  =  ` a — j  « a (5.5.2.2.)

В общем случае фаза, с которой изменяется вектор D и вектор Е могут неравны  D —  E  0, т.е. возможно опережение или отставание.

В гармонических полях абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные:

 a = =  a e j(  b  h  =  ` a — j  « a (5.5.2.3.)

Площадь петли равна энергии на перемагничевание. В любых магнитных материалах имеется запаздывание

вектора В относительно Н.

rot H =  пр +  см =  E + — в обычной дифференциальной форме.

Покажем, что уравнения Максвелла относительно временных процессов являются линейными.

H = H 0 cos  t  rot H 0 cos  t 

    применяем операцию rot.

H = j H 0 sin  t  rot j H 0 sin  t 

rot H 0 (cos  t + j sin  t) = rot H 0 e j  t

Применим первое уравнение Максвелла к векторным характеристикам полей, записанных в комплексной форме:

rot H 0 =  E 0 + j   a E 0 = j  E 0 (  a — j )



rot H 0 = j   a E 0 в комплексной форме отсутствует зависимость от времени.

 a =  a — j=  ` a — j  « a

где:  ` а =  a — характеризует процессы поляризации.

« a = — характеризует джоулевые потери.

По аналогии второе уравнение Максвелла:

rot E 0 = — j   a H 0 (5.5.2.5.)

div D =  ; div B = 0

Третье и четвертое уравнения не реагируют на время, не зависят от того, какой процесс гармонический или нет.

Для гармонических процессов третье и четвертое уравнения теряют смысл, они входят в первое и второе.

rot E = — j   a H 0 = — j  B 0 (5.5.2.6.)

Применим к правой и левой части уравнения (5.5.2.6.) операцию div:

div rot E = — j  div B 0

Метод комплексных амплитуд позволил существенно упростить описание полей, т.к. требуется только два уравнения:

rot H = j   a E  а =  а ` — j  a «

rot E = — j   a H  a =  a ` — j  a «

В дальнейшем черточку опускаем, но всегда имеем в виду, что комплексная форма, т.к. присутствует символ j.

Плоская волна

Определение и основные понятия плоской волны

Пусть источником волн в бесконечной упругой среде является бесконечно большая пластина. Она совершает колебания вдоль оси X, плоскость пластины перпендикулярна оси X (рис.1).

Пластина совершает гармонические колебания. Введем следующие обозначения: $s_0$ — смещение точек пластины AB и примыкающих к ней частиц среды от положения равновесия; $A_0$ — амплитуда колебаний пластины; $\varphi $ — фаза колебаний; $\omega $ — циклическая частота колебаний. Уравнение колебаний пластины имеет вид:

В таком случае в среде распространяется гармоническая волна такой же частоты. Если среда является однородной и изотропной, то колебания всех частиц вещества на одинаковых расстояниях от пластины идентичны (совпадают амплитуды и начальные фазы колебаний). То есть волновые поверхности имеют вид параллельных плоскостей, которые перпендикулярны оси X (направлению волны). Данные волны называют плоскими.

Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоскими.

Уравнение плоской волны

Колебания в точках среды, находящихся на расстоянии $x$ от плоскости AB отстают по фазе от колебаний источника на величину $kx$:

при отсутствии рассеяния энергии волны в веществе $A$=$A_0$. $k=\frac<2\pi ><\lambda >\ $- волновое число.

Для точек пространства находящихся правее плоскости AB $x>0$, для точек находящихся левее этой плоскости $x Пример 1

Задание: Плоская гармоническая волна распространяется по прямой, которая совпадает с осью X, в положительном направлении оси. Среда энергию не поглощает. Скорость распространения волны равна $v$. Амплитуда волны $A.$ Две точки, которые находятся на расстояниях $x_1\ и\ x_2$ от источника волны совершают колебания с разностью фаз $\Delta \varphi =\frac<3\pi ><5>$. Какова длина волны? Запишите уравнение волны.

Решение: Запишем уравнение плоской волны:

Фазы колебаний двух точек в этой волне равны:

\[<\varphi >_1=\omega t-kx_1+\varphi ;;\ <\varphi >_2=\omega t-kx_2+\varphi \left(1.3\right).\]

Найдем их разность:

\[\Delta \varphi =\omega t-kx_2+\varphi -\left(\omega t-kx_1+\varphi \right)=k\left(x_2-x_1\right)=\frac<2\pi ><\lambda >\left(x_2-x_1\right)\left(1.4\right).\]

Выразим длину волны ($\lambda $) из (1.4):

Для написания уравнения волны через известные из условий задачи величины используем формулу:

Можем записать уравнение волны:

Задание: В однородном упругом веществе имеется плоская стоячая волна вида: $s=A<\cos (\omega t)\ ><\cos (kx)\ >$. Нарисуйте графики зависимости $s\left(x\right)$ при $t=0$ и $t=\frac<2>$, где $T$ — период колебаний.