Уравнение плоской волны основные характеристики

Бегущие электромагнитные волны

Бегущие волны – это волны, которые переносят энергию в пространстве. Количественно транспортирование энергии этой волной назначает вектор плотности потока энергии, называемый вектором Умова-Пойтинга. Его направление совпадает с направлением распространения энергии. Модуль вектора равняется энергии, которую может переносить волна за время, равное 1 с , через площадку, располагаемую перпендикулярно к направлению ее движения с площадью, равняющуюся 1 .

Уравнение плоской бегущей волны

Для получения уравнения бегущей волны рассматривается плоская гармоническая. Считается, что она распространяется по О х . Поверхности волны перпендикулярны О х , все точки волновой поверхности совершают колебания одинаково, смещение ξ = ξ ( x , t ) будет функцией с координатой x и временем t . Запись уравнение колебаний частиц, находящихся на плоскости х , примет вид:

ξ ( x , t ) = A cos ω t — x υ ( 1 ) .

Отсюда ξ ( x , t ) является периодической по времени и по координате х . уравнение ( 1 ) называют уравнением бегущей волны. Если плоская волна задается при помощи выражения ( 1 ) , то ее перемещение идет по О х . При обратном ее направлении по О х уравнение запишется как:

ξ ( x , t ) = A cos ω t + x υ ( 2 ) .

Если волна движется по О х без поглощения энергии, то это характеризуется уравнением:

ξ ( x , t ) = A cos ω t — x υ + φ 0 ( 3 ) .

Значение A = c o n s t относят к амплитуде, ω – к циклической частоте волны, φ 0 — к начальной фазе колебаний, определяемой выбором началом отсчета x и t , ω t — x υ + φ 0 – к фазе плоской волны.

Что называют электромагнитной волной. Волновое число

Электромагнитные волны – это распространяющиеся в пространстве изменения состояния электромагнитного поля. Они характеризуются волновым числом k .

Запись выражения ( 1 ) примет совершенно другой вид при известном волновом числе.

Если перейти к комплексным числам, применив формулу Эйлера, уравнение плоской волны зафиксируем.

Выражение ( 6 ) имеет физический смысл только в действительной части, но R e возможно опустить в записи уравнения волны.

Перейдем к рассмотрению волнового процесса, где не происходит изменение фазы.

Далее найдем дифференциал от выражения ( 7 ) .

При условии, что υ волны зависит от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.

Уравнение сферической бегущей волны

Сферическая волна – это волна, волновая поверхность которой является концентрической сферой. Такое уравнение примет вид:

ξ ( r , t ) = A 0 r cos ω t — k r + φ 0 ( 11 ) ,

где r является расстоянием от центра волны до точки рассмотрения. Если имеем дело со сферической волной, то ее амплитуда колебаний не будет постоянной даже при условии, что энергия не поглощается средой. Ее убывание происходит обратно пропорционально расстоянию. Выполнение уравнения ( 8 ) возможно тогда, когда источник волн считается точечным.

Уравнение бегущей волны в любом виде подчинено волновому уравнению.

Дана плоская электромагнитная волна в вакууме, которая распространяется по О х . Амплитуда напряженности электрического поля равняется E m . Определить амплитуду напряженности магнитного поля заданной волны.

За основу необходимо принять выражение для амплитуд электромагнитной волны:

ε ε 0 E = μ μ 0 H ( 1 . 1 ) .

Запись уравнения колебаний модуля E → в электромагнитной волне при условии, что она является плоской и идет по О х , фиксируем:

E = E m cos ω t — k x ( 1 . 2 ) .

Для записи уравнения колебаний H → в электромагнитной волне, в случае если она считается плоской и распространяется по О х :

H = H m cos ω t — k x ( 1 . 3 ) .

Из условия имеем, что волна производит рассеивание в вакууме, то ε = 1 , μ = 1 . Применяя ( 1 . 1 ) , ( 1 . 2 ) , ( 1 . 3 ) :

ε 0 E m = μ 0 H m → H m = ε 0 μ 0 E m .

Ответ: H m = ε 0 μ 0 E m .

Распространение электромагнитной плоской волны идет в вакууме по О х . Ее падение производится перпендикулярно поверхности тела, которое способно полностью поглощать волну. Значение амплитуды напряженности магнитного поля равняется
H m . Определить давление волны на тело.

Необходимо учитывать, что тело, которое поглощает падающую на него энергию, оказывается под давлением, равным среднему значению объемной плотности энергии в электромагнитной волне.

Следует применять соотношение амплитуд электромагнитной волны, которое записывается:

ε ε 0 E = μ μ 0 H .

Для того, чтобы зафиксировать уравнение колебаний E при распространении волны по О х , получим:

E = E m cos ω t — k x .

Теперь перейдем к уравнению колебаний H , если рассеивание плоской волны идет соответственно направлению О х . Запишем:

H = H m cos ω t — k x .

Следует, что значение объемной плотности электрической энергии примет вид:

ω E = ε ε 0 E 2 2 .

Формула плотности магнитного поля:

ω H = μ μ 0 H 2 2 .

Причем ω E = ω H . Запись примет вид:

ω = ω E + ω H = 2 ω H = μ μ 0 H 2 = μ μ 0 H m 2 cos 2 ω t — k x .

После усреднения плотности, имеем:

» open=» ω = » open=» μ μ 0 H m 2 cos 2 ω t — k x .

При » open=» cos 2 ω t — k x = 1 2 получаем:

p = » open=» ω = μ μ 0 H m 2 2 .

Ответ: p = » open=» ω = μ μ 0 H m 2 2 .

Плоская волна

Определение и основные понятия плоской волны

Пусть источником волн в бесконечной упругой среде является бесконечно большая пластина. Она совершает колебания вдоль оси X, плоскость пластины перпендикулярна оси X (рис.1).

Пластина совершает гармонические колебания. Введем следующие обозначения: $s_0$ — смещение точек пластины AB и примыкающих к ней частиц среды от положения равновесия; $A_0$ — амплитуда колебаний пластины; $\varphi $ — фаза колебаний; $\omega $ — циклическая частота колебаний. Уравнение колебаний пластины имеет вид:

В таком случае в среде распространяется гармоническая волна такой же частоты. Если среда является однородной и изотропной, то колебания всех частиц вещества на одинаковых расстояниях от пластины идентичны (совпадают амплитуды и начальные фазы колебаний). То есть волновые поверхности имеют вид параллельных плоскостей, которые перпендикулярны оси X (направлению волны). Данные волны называют плоскими.

Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоскими.

Уравнение плоской волны

Колебания в точках среды, находящихся на расстоянии $x$ от плоскости AB отстают по фазе от колебаний источника на величину $kx$:

при отсутствии рассеяния энергии волны в веществе $A$=$A_0$. $k=\frac<2\pi ><\lambda >\ $- волновое число.

Для точек пространства находящихся правее плоскости AB $x>0$, для точек находящихся левее этой плоскости $x Пример 1

Задание: Плоская гармоническая волна распространяется по прямой, которая совпадает с осью X, в положительном направлении оси. Среда энергию не поглощает. Скорость распространения волны равна $v$. Амплитуда волны $A.$ Две точки, которые находятся на расстояниях $x_1\ и\ x_2$ от источника волны совершают колебания с разностью фаз $\Delta \varphi =\frac<3\pi ><5>$. Какова длина волны? Запишите уравнение волны.

Решение: Запишем уравнение плоской волны:

Фазы колебаний двух точек в этой волне равны:

\[<\varphi >_1=\omega t-kx_1+\varphi ;;\ <\varphi >_2=\omega t-kx_2+\varphi \left(1.3\right).\]

Найдем их разность:

\[\Delta \varphi =\omega t-kx_2+\varphi -\left(\omega t-kx_1+\varphi \right)=k\left(x_2-x_1\right)=\frac<2\pi ><\lambda >\left(x_2-x_1\right)\left(1.4\right).\]

Выразим длину волны ($\lambda $) из (1.4):

Для написания уравнения волны через известные из условий задачи величины используем формулу:

Можем записать уравнение волны:

Задание: В однородном упругом веществе имеется плоская стоячая волна вида: $s=A<\cos (\omega t)\ ><\cos (kx)\ >$. Нарисуйте графики зависимости $s\left(x\right)$ при $t=0$ и $t=\frac<2>$, где $T$ — период колебаний.

Уравнение плоской волны основные характеристики

отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.

— это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме

где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности.

Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k.

Тогда уравнение плоской волны запишется так: