Разность квадратов двух выражений
Формула квадрата суммы
Перемножим сумму и разность a и b:
Мы получили формулу разности квадратов двух выражений :
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.
Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:
$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$
$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$
Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше
со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать:
Откуда $$ a^2-b^2 =$$ $$ (a-b)^2+2b(a-b) = $$ $$ = (a-b)(a-b+2b) = $$ $$ = (a-b)(a+b) $$
Примеры
Пример 1. Найдите произведение:
в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $
г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $
Пример 2. Упростите выражение:
а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$
б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$
в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $
г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+
$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $
Пример 3. Разложите на множители:
а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$
б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$
в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$
г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$
Пример 4. Вычислите:
а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106\cdot10 = 1060 $
б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200\cdot64 = 12800 $
в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1\cdot0,462 = 0,462 $
Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.
Разность квадратов: формула и примеры
В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формула разности квадратов
Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.
a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)
Формулу можно представить справа-налево:
(a – b)(a + b) = a 2 – b 2
Примечание: a 2 – b 2 ≠ (a – b) 2
Доказательство формулы
Арифметическое
Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b) .
Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab – ba – b 2 = a 2 – b 2 .
Геометрическое
Изобразим квадрат с длиной стороны a , площадь которого равна a 2 . В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b 2 .
Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета ( a 2 – b 2 ).
Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:
- квадрат площадью b 2 ;
- прямоугольник со сторонами a и ( a-b );
- прямоугольник со сторонами b и ( a-b ).
Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:
S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2
Примеры задач
Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y) .
Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x 2 – 9y 2
Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x 2 – y 2 .
Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x 2 – y 2 = (5x – y)(5x + y)
Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x 2 + 5xy – 5xy – y 2 = 25x 2 – y 2
Разность квадратов
Вывод формулы разности квадратов
Для доказательства справедливости формулы разности квадратов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
( a — b )·( a + b ) = a 2 + ab — ba + b 2 = a 2 — b 2
Применение формулы разности квадратов
Примеры задач на применение формулы квадрата разности
( x — 3)·( x + 3) = x 2 — 3 2 = x 2 — 9
(2 x — 3 y 2 )·(2 x + 3 y 2 ) = (2 x ) 2 — (3 y 2 ) 2 = 4 x 2 — 9 y 4
Можно заметить, что для выражения в числителе можно использовать формулу разности квадратов
9 x 2 — 1 (3 x — 1) = (3 x — 1)·(3 x + 1) (3 x — 1) = 3 x + 1
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
http://microexcel.ru/raznost-kvadratov/
http://ru.onlinemschool.com/math/library/multiplication_formulas/dif22/