Примеры решений по аналитической геометрии в пространстве
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии в пространстве, которые относятся к исследованию пирамиды. Обычно в такой задаче нужно найти длины ребер, углы между ребрами, уравнения граней пирамиды и их площади, объем пирамиды, угол между ребром и гранью, уравнение высоты, длину высоты пирамиды и т.д.
Решения задачи о пирамиде онлайн
Задача 1. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.
Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды $$A(12;11;17), B(14;12;14), C(13;14;15), D(12;21;12).$$ Найти:
— объем пирамиды;
— площадь грани $ABC$;
— уравнение плоскости, проходящей через точки $B,C,D$;
— длину высоты пирамиды, опущенной на грань $ABC$.
Задача 3. Пирамида $АВСD$ задана координатами своих вершин: $$А(4, -1,0), B(2, 3, 4), C(-1, 4, 1), D(4, -3, 5).$$ Найдите:
1. угол между ребрами $АВ$ и $АС$,
2. уравнение ребра $АВ$,
3. уравнение грани $АВС$,
4. уравнение высоты, опущенной из вершины $D$, на грань $АВС$,
5. выясните, образуют ли векторы $АВ, АС, АD$ линейно независимую систему,
6. координаты вектора $MN$, если $М$ – середина ребра $AD$, $N$ – середина ребра $ВC$,
7. разложите вектор $MN$ по базису $AB, AC, AD$, если он таковым является.
Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;
2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
8) основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты. Содержание этой статьи: ТеорияПравильная пирамида
Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника: Основные свойстваЧетырехугольная пирамидаВ основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине. Треугольная пирамидаВ качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников. Необходимые знания для нахождения высотыКогда теория закреплена, можно переходить к формулам. Формулы для нахождения высотыЗапомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота. В некоторых задачах, высоту можно найти через объем: ВИДЕО: Примеры решения задачНахождение высоты в правильной пирамидеНахождение высоты в правильной пирамиде Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач. Треугольная пирамидаЗадача 1 В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN. DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле: DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9 Задача 2 DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту. Пользуясь формулой объема, получается: DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6 Четырехугольная пирамидаЗадача 1 Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат. ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL: Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора: MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64 Задача 2 Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды. Найдем OL В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника). Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL: OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8 Задача 3 Ищем MO Пользуясь той же теоремой, находим высоту: MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36 Задача 4 Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту. Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида. Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту. Площадь равнобедренного треугольника Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту. MO = ML – OL = 18 – 6 = 12 Часто задаваемые вопросыЧасто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры. Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко. Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ. Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении. Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно. Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее: Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см² Типичные ошибки на ЕГЭПолезные советы
Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи! Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо! источники: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-resheniye-piramidy http://slovami.net/najti-vysotu-v-piramide/ |