Примеры решений задач по высшей математике
На этой странице мы собрали простые и сложные примеры из курса высшей математики — от векторов и матриц до дифференциальных уравнений. На каждую тему приведен один решенный пример и даны ссылки на разделы, где собраны другие решения. Фактически, это шпаргалка-каталог типовых задач и решений к ним.
Если вам нужна помощь, узнайте больше о заказе решений по высшей математике.
Далее решенные задачи по темам:
Высшая математика. Комплексные числа
Задача. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Высшая математика. Матрицы
Задача. Найти матрицу, обратную матрице $A$. Сделать проверку.
$$A= \begin
Высшая математика. Определители
Задача. Вычислить определитель матрицы $A$
$$A= \begin
Высшая математика. Системы уравнений
Задача. Исследовать на совместность и решить систему уравнений: 
Высшая математика. Векторы
Задача. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.
Аналитическая геометрия на плоскости
Задача. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Аналитическая геометрия в пространстве
Задача. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.
Высшая математика. Пределы
Задача. Найти предел функции
Высшая математика. Производные
Задача. Найти производную от следующей функции
Высшая математика. Исследование функции
Задача. Провести полное исследование функции и построить график.
Высшая математика. Интегралы
Высшая математика. Применение интегралов
Задача. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:
$$ x=3(1-\cos t)\cos t, \quad y=3(1-\cos t)\sin t, \quad 0\leq t \leq \pi. $$
Высшая математика. Кратные и криволинейные интегралы
Высшая математика. Ряды
Задача. Исследовать сходимость числового ряда
Высшая математика. Дифференциальные уравнения
Задача. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
Высшая математика. Теория вероятностей
Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 8; б) произведение числа очков не превосходит 8; в) произведение числа очков делится на 8.
Высшая математика для 1 курса
Курс лекций для студентов 1 курса по высшей математике любых форм обучения. Я собрала теорию и примеры с решениями к каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!
| Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу! |
Высшая математика
Высшая математика — это курс обучения в высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ для 1 курса.
Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики.
Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам.
Линейная алгебра
Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.
Курс лекций на темы:
Векторная алгебра
Векторная алгебра в математике расположена по разделам:
- раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства;
- часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами;
- различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).
Курс лекций на темы:
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике. В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.
Курс лекций на темы:
Пределы, непрерывность функций
Понятие предела бесконечной числовой последовательности и предела функции лежит в основе всей теории дифференциального и интегрального исчисления.
Непрерывность функции. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если: 1)эта функция определена в некоторой окрестности точки a; 2)существует предел lim f(x) ; →ax.
Курс лекций на темы:
Производная функции
Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Курс лекций на темы:
Неопределенный интеграл
Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.
Курс лекций на темы:
Определенный интеграл
Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Курс лекций на темы:
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Курс лекций на темы:
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Курс лекций на темы:
Двойные интегралы
Курс лекций на темы:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Высшая математика 1 курс
Несмотря на то, что зачастую этот предмет в вузах преподается разное количество времени (от 1 семестра для гуманитарных специальностей, и до 3 – для технических), список тем мало отличается. Чаще всего в дисциплине рассматриваются следующие разделы высшей математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, и линии второго порядка.
Линейная алгебра Матрицы
Изучаются матрицы размерностью n на m следующих видов: квадратные, диагональные, равные, единичные, трапецевидные, и треугольные.
Среди действий, которые возможно над ними выполнять рассматривают следующие:
- Сложение и вычитание матриц, сходных по размерности.
- Умножение их на число, вектор, и на другую матрицу.
Определитель
Изучают понятие определителя, его основные свойства, среди которых следующие:
- Для квадратных матриц А и В действует правило, что определитель произведения чисел А на В равняется определителю произведения В на А. И также равняется определителю А умноженному на определитель В. При этом произведение А на В не равняется произведению В на А.
- Определитель и его транспонируемая версия равны между собой.
- Если определитель содержит ряд из 0, или какие-либо 2 его ряда параллельны, то он равен нулю.
- Если матрица диагональная, то ее определитель есть числа, расположенные по диагонали, умноженные между собой. То же самое правило действует и для треугольных матриц.
- Если у чисел имеется общий множитель, то его можно вынести из определителя.
Изучаются основные правила теоремы Лапласа, связанной с разложением определителя.
Обратная матрица
Изучается понятие невырожденной матрицы. В связи с ним существует следующая схема, по которой вычисляется обратная матрица с положительным определителем:
- Элементы матрицы последовательно заменяются на соответствующие им алгебраические дополнения. В результате этого действия возникает союзная матрица.
- Происходит транспонирование.
- Элементы полученной матрицы нужно разделить на определитель матрицы.
Ранг матрицы
Понятие представляется как самое большое число линейно-зависимых строк матрицы и самый большой порядок, не равняющийся нулю, из миноров первоначальной матрицы.
Ранг матрицы имеет следующие два свойства:
- Он не подвержен изменению после транспонирования, после убирания нулевого ряда, и после совершения преобразований.
- Найти ранг можно по общему числу элементов на главной диагонали, отличающихся от нуля.
Метод Крамера
Используется для нахождения корней уравнений, в которых произведение А и Х равняется В. При этом важно, чтобы определитель А был отличным от нуля.
Если это условие совпадает, то можно воспользоваться следующим алгоритмом:
Находим ak, равное определителю Ак деленному на определитель А. Ак получают из А, подставив в него столбец свободного члена из В.
Метод Гаусса
Для его понятия изучают расширенную матрицу. А также несколько видов систем уравнений: совместные, определенные, равносильные, однородные.
Алгоритм для их решений таков:
- Первым делом находят ранги основной и расширенной.
- Если они отличаются друг от друга, то система является несовместной и на этом решение прекращают.
- Иначе сначала высчитывают базисный минор порядка, затем общее решение системы, и в итоге получают частные решения при подставлении произвольных значений в уравнения.
Векторная алгебра Векторы и операции над ними
Рассматривается основное определение вектора, его свойства, такие как длина и направления. Кроме этого изучают следующие различные векторы: противоположные, нулевые, коллинеарные и компланарные.
Существуют следующие действия над векторами:
- Суммирование;
- Скалярное, векторное и смешанное умножение на другой вектор, а также на другое число.
Рассматривает определения плоскостей и трехмерного пространства.
Прямая на плоскости
Изучают несколько ее основных уравнений: нормальное уравнение, с угловым коэффициентом, через точку и направление, через 2 точки, в отрезках.
Плоскость и прямая в пространстве
Рассматривают уравнения, по которым плоскость задается в пространстве. Такие как: уравнения через точку перпендикулярно к вектору, через 3 точки, нормальное, и в отрезках.
При изучении прямой важно знать каноническое и по 2 точкам, общее, векторное, с направляющими коэффициентами.
Во всех трех случаях рассматривают формулы, по которым можно найти различные углы.
Взаимное расположение плоскостей и прямых
При рассмотрении данного вопроса изучают формулы углов, параллельность, перпендикулярность, принадлежность прямой к плоскости.
Линии второго порядка
В этом разделе рассматриваются определения и свойства нескольких фигур: эллипса, гиперболы и параболы.
В связи с эллипсом изучают его каноническое уравнение, а также определения эксцентриситета и директрис.
При рассмотрении гиперболы, изучают тоже самое, что и у эллипса. Но к этому добавляются понятия фокальных радиусов, а также уравнения асимптот.
При изучении параболы рассматривают, что представляет собой полуфокальный диаметр.
Чаще всего дисциплина высшей математики для первокурсников, заканчивается на изучении вышестоящей темы, но программа предмета может несущественно изменяться в зависимости от вуза.
http://lfirmal.com/vysshaya-matematika-1-kurs/
http://www.homework.ru/spravochnik/visshaya-matematika-1-kurs/