Уравнение полного тока в вакууме

Закон полного тока для магнитного поля

Поскольку электрические и магнитные поля связаны между собой важно не только понимать их взаимодействие, но и знать, каким законам оно подчиняется. Одним из них является закон полного электрического тока.

Определение полного тока

При протекании электротока вокруг проводников образуется электромагнитное поле. Его направление определяется правилом буравчика. Если смотреть с того направления, к которому течёт ток, то силовые линии магнитного поля направлены по окружностям в соответствии с вращением буравчика.

Мысленно магнитное поле можно представить в виде плоскости, ограниченной контуром какой-либо замкнутой фигуры. В пределах этой плоскости напряженность магнитного поля распределяется в соответствии с направлениями токов. При этом полный электрический ток будет представлять собой векторную сумму всех токов, пронзающих воображаемый контур:

Данная формулировка представляет собой упрощенную модель рассматриваемого закона. На самом деле происходит более сложное взаимное влияние магнитного и электрического полей. Для описания этих процессов используются интегральные и дифференциальные уравнения Максвелла.

При расчете магнитной цепи используется закон о циркуляции вектора напряженности, который считается одним из основных и формулируется так:

Интегральная формула полного тока

Чтобы сформулировать закон, нужно представить замкнутый контур, внутри которого расположены один или несколько проводов, по которым проходит электроток. Контур может иметь произвольную форму, но он должен быть замкнутым. Чтобы произвести вычисления, необходимо разбить кривую на элементарные участки, которые настолько малы, что их с минимальной погрешностью можно считать прямыми отрезками.

В таком случае по правилу буравчика можно определить направление напряжённости магнитного поля, создаваемого каждым проводником на каждом элементарном отрезке. Чтобы получить суммарный результат, потребуется провести интегрирование по контуру.

Интегральная формула для закона полного тока выглядит следующим образом:

С учетом выражения

формулу можно записать так:

Она представляет собой постулат, подтвержденный экспериментально. Согласно ему циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна μ₀I, где μ₀ — это магнитная постоянная.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции основывается на законе Био-Савара и принципе суперпозиции магнитного поля. В общем виде она имеет такую формулировку:

Для произвольного тока (распределенного в пространстве) справедливо следующее равенство:

С учетом данного равенства формула полного тока в вакууме приобретает следующий вид:

В левой части применяется интегрирование по контуру вектора магнитной индукции. В правой части рассматривается сумма токов, проходящих внутри контура, умноженная на магнитную постоянную.

Взаимодействие электротоков и магнитных потоков зависит от той среды, в которой они пребывают. Кроме того, разные вещества обладают разной магнитной проницаемостью. С учетом этого закон полного тока для магнитного поля в веществе выражается такой формулой:

Дифференциальная формула

Чтобы получить дифференциальную формулу, следует вместо интегрирования по контуру L использовать интегрирование по площади S. Необходимо также воспользоваться теоремой Стокса для векторного анализа:

Объединив это уравнение с формулой полного тока, получим следующее выражение:

С учетом того, что интегралы в левой и правой частях равны, выражение приобретает следующий вид:

Данное выражение — это формула закона полного тока в дифференциальной форме.

Значение закона полного тока

Он применяется для расчёта магнитных цепей. Обычно его используют вместе с законом Био-Савара-Лапласа. Это позволяет решать следующие задачи:

• Расчёт электродвигателей, использующих постоянный ток.
• Вычисление параметров катушек с тороидальными сердечниками.
• Определение параметров однофазных и трёхфазных трансформаторов.
• Определение характеристик аналоговых измерительных приборов.
• Расчёт электромагнитов, которые применяются в различных системах для механического воздействия. Это относится, например, к некоторым системам очистки, к определённым разновидностям подъёмных механизмов.
• Расчёт электрических реле.

Знание законов взаимодействия электрического и магнитного полей позволяет точно рассчитать необходимые рабочие параметры магнитной цепи, обеспечив высокое качество работы различных устройств.

Видео по теме

Электрический ток в вакууме

Электрический ток в вакууме

Вакуум — пространство, свободное от вещества. В наиболее общем смысле, вакуум — это пустота. В физике и технике под вакуумом подразумевается газообразная среда при давлении в сотни раз ниже атмосферного.

Электрический ток в физике — это направленное движение носителей заряда. Вакуум — диэлектрик, и ток не может возникнуть в нем сам по себе. Условие протекания электрического тока в вакууме — наличие в нем достаточного количества свободных заряженных частиц. Например, электронов.

Термоэлектронная эмиссия

Как свободные электроны могут появиться в вакууме? Благодаря явлению термоэлектронной эмиссии, открытому Томасом Эдисоном в 1879 году.

Определение. Термоэлектронная эмиссия

Термоэлектронная эмиссия — испускание электронов из металла при его нагревании.

Металлы являются наилучшими проводниками, так как имеют свободные электроны, которые иногда еще называют электронным газом. При нагревании металла энергия электронов (измеряется в электронвольтах) увеличивается и они могут «вырваться» из металла. Для того, чтобы вылететь из металла, электрон должен обладать энергией, превышающей работу выхода электронов для этого металла.

A в ы х = E 0 — μ

Здесь A в ы х — работа выхода, которую нужно преодолеть электрону, E 0 — его энергия, μ — энергия Ферми.

Термоэлектронный ток

Испущенные металлом свободные электроны образуют у поверхности металла электронное облако. Если создать в данной области электрическое поле, электроны начинают двигаться под действием сил поля. Иными совами, возникает электрический ток, называемый термоэлектронным.

Определение. Термоэлектронный ток

Термоэлектронный ток — ток, возникающий при испускании (эмиссии) электронов накаленными телами в вакуумных приборах.

Так, если в вакууме поместить две металлические пластины и создать между ними разность потенциалов и условия для термоэлектронной эмиссии, возникнет термоэлектронный ток.

Электрический ток в вакууме широко используется в вакуумных приборах. Самый простой пример — электронная лампа, или вакуумный диод.

Вакуумный диод представляет собой баллон с откачанным воздухом, содержащий электроды: катод и анод. Электроны выбиваются из катода и летят к аноду.

Для вакуумного диода не выполняется закон Ома. При небольших значениях напряжения на аноде имеет место формула зависимости силы электрического тока от напряжения:

где B — коэффициент пропорциональности, который зависит от формы, расположения и размеров электродов.

При увеличении разности потенциалов между электродами сила тока будет расти. Однако, для термоэлектронного тока существует понятие тока насыщения. Это ток такой силы, при котором все электроны из электронного облака достигают другой анода. При достижении силы тока насыщения и дальнейшем росте разности потенциалов, сила тока насыщения не меняется.

Эмиссионную способность материала катода характеризует плотность тока насыщения, которая определяется по формуле Ричардсона-Дешмана:

j = 1 — h R i A · T 2 · e — q φ k T .

Здесь h — постоянная Планка, h R i — усредненное значение коэффициента отражения электронов от потенциального порога, A — термоэлектрическая постоянная, равная 120 , 4 A К 2 · с м 2 , T — температура, q — заряд электрона, q φ — работа выхода, k — постоянная Больцмана.

Закон полного тока простыми словами

Если поднести магнитную стрелку к проводнику, по которому течёт ток, её положение изменится. Это говорит о наличии вокруг проводника кроме электрического ещё и магнитного поля. В результате многочисленных исследований электромагнитных явлений установлено, что существует взаимное влияние полей, имеющих электрическую и магнитную природу.

Физический смысл закона

Рассмотрим упрощённый вариант влияния магнитной индукции на электрическое поле. Для этого представим себе два параллельных проводника, по которым циркулируют постоянные токи, например, I1 и I2. Вблизи этих проводников образуется поле, которое мысленно можно ограничить неким контуром L – воображаемой замкнутой фигурой, плоскость которой пересекает потоки движущихся зарядов.

В пределах плоскости, охватываемой контуром L, формируется магнитное поле, напряжённость которого распределена в соответствии с направлениями токов. При этом циркуляция вектора магнитного поля в плоскости замкнутого контура прямо пропорциональна сумме токов, пронзающих данный контур. Полный электрический ток равен векторной сумме его составляющих:

Направления векторов I1 и I2 определяется по правилу буравчика.

Приведённые выше рассуждения можно рассматривать в качестве примера изображающего упрощённую модель частного случая рассматриваемого закона. В действительности же, процессы взаимного влияния магнитных и электрических полей намного сложнее, и они описываются интегральными и дифференциальными уравнениями Максвелла.

Суть закона

Рассматриваемый закон, применимый в магнитных цепях, определяет следующую количественную связь между входящими в него составляющими. Циркуляция вектора магнитного поля по замкнутому контуру пропорциональна сумме токов, пронизывающих его. Чтобы понять физический смысл закона полного тока – потребуется ознакомиться с графическим представлением описываемых им процессов.

Из рисунка видно, что около двух проводников с протекающими по ним токами I1 и I2 образуется поле, ограниченное контуром L. Оно вводится как мысленно представляемая замкнутая фигура, плоскость которой пронизывают проводники с движущимися зарядами. Простыми словами этот закон можно выразить так. При наличии нескольких потоков электричества через мысленное представляемую поверхность, охватываемую контуром L, в ее пределах формируется магнитное поле с заданным распределением напряженности.

За положительное направление движения вектора в соответствии с законом для контура магнитной цепи выбирается ход часовой стрелки. Оно также является мысленно представляемым.

Такое определение создаваемого токами вихревого поля предполагает, что направление каждого из токов может быть произвольным.

Для справки! Вводимую полевую структуру и описывающий ее аппарат следует отличать от циркуляции электростатического вектора «Е», который при обходе контура всегда равен нулю. Вследствие этого такое поле относится к потенциальным структурам. Циркуляция же вектора «В» магнитного поля никогда не бывает нулевой. Именно поэтому оно называется «вихревым».

Упрощенный подход

Выразить закон в дифференциальном представлении довольно сложно. Потребуется вводить дополнительные компоненты. Необходимо учитывать влияние молекулярных токов. Наличие вихревых токов является причиной образования магнитного вихревого поля в пределах контура.

Вектор электрического смещения сравним с вектором напряжённости присутствующего магнитного поля H. При этом Ориентация вектора смещения зависит от быстроты изменения магнитной индукции.

Для упрощения вычислений на практике часто пользуются формулами закона для магнитного поля полных токов, представленных в виде суммирования предельно малых участков контура, с учётом влияния вихревых полей. При реализации этого метода контур мысленно разбивают на бесконечно малые отрезки. На этих отрезках проводники считаются прямолинейными, а магнитное поле на таких участках контура считают однородным.

На одном дискретном участке вектор напряженности Um определяется по формуле: Um= HL×ΔL, где HL– циркуляция вектора напряжённости на участке ΔL контура L. Тогда суммарная напряжённость UL вдоль всего контура вычисляется по формуле: UL= Σ HL× ΔL.

Основные понятия

В соответствии с рассматриваемым законом для расчета магнитных полей применяется следующий упрощенный подход. Полный ток представляется в виде суммы нескольких составляющих, протекающих через поверхность, охватываемую замкнутым контуром L. Теоретические выкладки могут быть представлены следующим образом:

1. Полный электрический поток, пронизывающих конур Σ I – это векторная сумма I1 и I2.
2. В рассматриваемом примере для его определения используется формула: ΣI = I1- I2 (минус перед вторым слагаемым означает, что направления токов противоположны).
3. Они, в свою очередь, определяются по известному в электротехнике закону (правилу) буравчика.

Напряженность магнитного поля вдоль контура вычисляется на основании полученных выкладок по специальным методикам. Для ее нахождения придется проинтегрировать этот параметр по L, используя уравнение Максвелла, представленное в одной из форм.Оно может быть применено и в дифференциальной форме, но это несколько усложнит выкладки.

Упрощенный подход в интегральном виде

Если воспользоваться дифференциальным представлением – выразить закон полного тока в упрощенном виде будет очень сложно (в этом случае в него приходится вводить дополнительные компоненты). Добавим к этому, что магнитное вихревое поле, создаваемое движущимся в пределах контура токами, определяется в этом случае с учетом тока смещения, зависящего от скорости изменения электрической индукции.

Поэтому на практике в ТОЭ большей популярностью пользуется представление формул для полных токов в виде суммирования микроскопически малых отрезков контура с создаваемыми в них вихревыми полями. Этот подход предполагает применение уравнения Максвелла в интегральной форме. При его реализации контур разбивается на мелкие отрезки, в первом приближении считающиеся прямолинейными (согласно закону предполагается, что магнитное поле однородно). Эта величина, обозначаемая как Um для одного дискретного участка длиной ΔL магнитного поля, действующего в вакууме, определяется так:

Суммарная напряженность вдоль полного контура L, представленная кратко в интегральном виде, находится по следующей формуле:

Закон полного тока для вакуума

В окончательном виде, оформленном по всем правилам интегрирования, закон полного тока выглядит так. Циркуляция вектора «В» по замкнутому контуру может быть представлена как произведение магнитной постоянной m на сумму токов:

Интеграл от B по dL = интегралу от Bl по dL= m Σ In

где n – это обще число проводников с разнонаправленными токами, охватываемыми мысленно представляемым контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается в этой формуле столько раз, сколько он полностью охватывается данным контуром.

На окончательный вид полученных выкладок для закона полного тока большое влияние оказывает среда, в которой действует наведенная электромагнитная сила (поле).

Закон в интегральном представлении

Рассмотрим бесконечно прямой проводник, по которому циркулирует электрический ток, образующий поле, ограниченное контуром в виде окружности. Плоскость, пронизывающая проводник, – это круг, очерчённый линией данной окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Поле бесконечно прямого тока

Воспользуемся методом разбиения контура на мизерные участки dl (элементарные векторы длины контура). Пусть φ – угол между векторами dl и B. В нашем случае, при суммировании отрезков, вектор индукции B поворачивается так, что он очерчивает круг, то есть угол φ → 2π.

Из теоремы Остроградского-Гаусса вытекает формула:

Учитывая, что cos φ = 1,

Данная формула – постулат, подтверждённый экспериментально. Согласно этому постулату, циркуляция вектора B по окружности, то есть по замкнутому контуру, равна μ0I, где μ0 = 1/c2 ε0 – магнитная постоянная.

Ориентация вектора dB определяется путём применения правила буравчика. Это направление всегда перпендикулярно вектору плотности. Если проводников будет несколько (например, N), тогда

Каждый ток, с учётом знака, необходимо учитывать такое количество раз, которое соответствует числу его охватов контуром.

Ток берётся со знаком «+», если он по направлению обхода образует правовинтовую систему. При этом, отрицательным считается ток противоположного направления.

Заметим, что формула справедлива только для вакуума. В обычных условиях необходимо учитывать проницаемость среды.

Если ток распределён в пространстве (произвольный ток), тогда

где S – натянутая на контур поверхность, j – объёмная плотность тока. С учётом последнего выражения, формулу полного тока в вакууме можно записать:

Рис. 2. Иллюстрация закона для вакуума

1. Закон справедлив не только для бесконечно прямолинейного проводника, но и для контуров, произвольной конфигурации.
2. Циркуляция вектора магнитной индукции B сориентированного вдоль магнитных линий, всегда отлична от нуля.
3. Ненулевая циркуляция свидетельствует о том, что магнитное поле прямолинейного, бесконечно длинного проводника не потенциально. Такое поле называют вихревым, либо соленоидным.

Влияние среды

На результат взаимодействия магнитных потоков и постоянных токов влияет среда. Вещества обладают магнитной проницаемостью в потоке вектора индукции, что вносит коррективы на взаимодействие магнитной среды с токами проводимости. В однородной изотопной среде, где значение вектора электромагнитной индукции одинаково во всех точках, векторы B и H связаны между собой следующим соотношением:

где H — напряжённость магнитного поля, символом μ обозначена магнитная проницаемость.

Носители электрических зарядов создают собственные микротоки. Циркуляция вектора, характеризующего электростатическое поле, всегда нулевая. Поэтому электростатические поля, в отличие от магнитных, являются потенциальными.

Вектор B отображает результирующее значение полей макро- и микротоков. Линии электростатической индукции всегда остаются замкнутыми, в том числе и на положительных зарядах.

Рис. 3. Закон полного тока в веществе

Для полей, которые действуют в среде, состоящей из разных веществ, необходимо учитывать микротоки, характерные именно для конкретных структур, образующих данную среду.

Утверждение, изложенное выше, верно для полей соленоидов или любой другой структуры, обладающей свойствами конечной магнитной проницаемости.

Магнитное сопротивление и закон Ома для магнитной цепи.

По аналогии с электрической цепью величину

называют магнитным сопротивлением участка магнитной цепи (измеряется в 1/Гн).

Таким образом, магнитное напряжениеВыражение (3) по аналогии с электрической цепью часто называют законом Ома для магнитной цепи Однако вследствие нелинейности цепи, вызванной непостоянством магнитной проницаемости μr ферромагнетиков, оно практически не применяется для расчета магнитных цепей.

Торойд

В электротехнике часто приходится иметь дело с катушками разных видов и размеров. Катушка, образованная витками намотанными на сердечник тороидальной формы (в виде бублика), называется тороидом. Важными характеристиками сердечника тора являются его радиусы — внутренний (R1) и внешний (R2).

Поле внутри соленоида на расстоянии r от центра равно:

Выводы

На основании изложенного, приходим к заключению:

1. Закон полного тока устанавливает зависимость между напряжённостью магнитного поля и перемещением в этом поле электрических зарядов.
2. Действие закона распространяется на все среды, при допустимых плотностях тока.
3. Закон также выполняется в полях постоянных магнитов.

При вычислениях не имеет значения, какую формулу мы используем – суть закона остаётся неизменной: он выражает взаимодействия, которые происходят между токами и создаваемыми ими магнитными полями, пронизывающими замкнутый контур.

Выводы закона учитываются при конструировании электромагнитных устройств. Наличие завихрений в электромагнитных полях приводит к снижению КПД. Кроме того, вихревые поля негативно влияют на работоспособность электронных элементов, расположенных в зоне их действий.

Конструкторы электротехнических приборов стремятся свести к минимуму таких влияний. Например, вместо обычных соленоидов применяют тороидальные катушки, за пределами которых отсутствуют электромагнитные поля.