Уравнение поступательного движения для маятника обербека

Отчет по работе №1.04 «Изучение законов механики на маятнике обербека»

Псковский политехнический институт

Филиал Санкт — Петербургского государственного университета.

Отчет по работе №1.04

«Изучение законов механики

на маятнике обербека».

Цель работы: Изучить законы механики вращательного движения тел.

Механическое движение — это изменение взаимного расположения тел (или частей одного тела), происходящее в пространстве с течением времени.

Движение тел характеризуется траекторией, перемещением, путём, скоростью и ускорением.

Траектория — геометрическое место точек пространства через которое проходит в своём движении тело. В зависимости от траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Положение тела в пространстве характеризует радиус-вектор,(рис.1). Перемещение — вектор, проведённый из начальной в конечную точку

участка траектории и определяющий изменение радиуса — вектора

Путь — длина отрезка траектории отсчитанного вдоль неё

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тел (материальной точки)

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстро ту изменения скорости

Кинематика — раздел механики, изучающий законы механического движения без анализа причин, его вызывающих. Закон движения материальной точки

динамика — раздел механики, изучающий механическое движение с выяснением причины вызывающей это движение. В основе динамики лежат за коны Ньютона, которые утверждают, что причиной изменения скорости тел является взаимодействие тел.

Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел.

Инертность — свойство тел сохранять свое механическое состояние. Мерой инертности в поступательном движении является масса, во вращательном — момент инерции.

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела пропорционально равнодействующей силе и обратно пропорционально массе этого тела

Мерами движения тел служат: импульс и кинетическая энергия. Соответственно, мерами действия силы во времени является импульс силы, а в пространстве — работа.

Механическая работа равна скалярному произведению силы на перемещение

Основные теоремы динамики:

Изменение импульса тела равно импульсу всех приложенных к телу внеш них сил

Если силы обладают таким свойством, что работа их сил не зависит от формы траектории, то силы называются потенциальными. Примером потенциальной силы является сила тяжести, а силы непотенциальной — сила трения.

В курсе механики доказывается, что работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии

Потенциальной энергией называется энергия которой обладают тела при их взаимодействии, например тело, поднятое над Землей на высоту h, обладает потенциальной энергией взаимодействия равной

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий

Теорема об изменении полной механической энергии утверждает, что изменение этой энергии равно работе непотенциальных сил

Вращательное движение как частный случай криволинейного движения возникает тогда, когда вектор силы действующей на тело перпендикулярен вектору скорости. Траекторией движения тела является окружность.. Кинематическими характеристиками движения являются: угол поворота радиус-вектора, угловая скорость и угловое ускорение. Направление вектора W определяется правилом правого винта (рис.2).

Основное уравнение кинематики вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси имеет вид

Это уравнение аналогично уравнению Ньютона для движения материальной точки (4): роль силы играет момент силы, роль массы — момент инерции, а роль ускорения — угловое ускорение.

С помощью маятника Обербека (рис. 3) можно экспериментально проверить уравнение (11) что является одновременно и проверкой основных положений механики по вращению твёрдого тела.

В маятнике Обербека вращающий момент М создаётся силой натяже ния нити Т

где 1 — радиус шкива (Р = Р. или Р.

Величину силу Т легко найти из уравнения движения платформы с перегруз ком

Ускорение а можно найти, если измерить время, в течение которого нагруженная платформа из состояния покоя опускается на расстояние h.

Момент инерции всей системы можно вычислить по формуле

Таким образом, используя уравнения (12, 13, 14, 15, 16) и проведя соответствующие измерения, можно проверить закон вращательного движения (11).

На практике значительное влияние может оказать момент сил трения, приложенный к осям маятника. Неучёт его может сильно исказить результаты опыта. Преобразуем уравнение (11) выделив момент сил трения в явном виде

Экспериментальная работа делится на три части:

в первой — исследуется вращательное движение маятника под действием раз личных перегрузков при постоянном моменте инерции системы. Из данных этого опыта определяют момент инерции системы 1 и момент сил трения. Во второй части — изучается вращение маятника при различных значениях момента инерции грузов относительно оси вращения, те. при различных положениях грузов, на спинах маятника Обербека;

в третьей части проверяется преобразование механической энергии при вращательном движении.

Энергия маятника Обербека складывается из собственно энергии маятника и энергии платформы. В начальный момент времени кинетическая энергия маятника и платформы равна нулю. Потенциальная энергия платформы:

После того как платформа опустилась с высоты h, кинетическая энергия маятника станет равной

Тогда согласно теореме об изменении полной механической энергии (9)

где А, — работа сил трения в системе.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии

На рис.1 показан маятник Обербека — прибор для исследования законов вращательного движения. Каждый груз, имеет свой момент инерции относительно своего центра масс:

Уравнение поступательного движения для грузов маятника обербека

Справедливость основного уравнения динамики вращательного движения можно проверить на маятнике Обербека, схема которого изображена на рисунке 2.3.

Маятник Обербека состоит из четырех стержней 1, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На стержнях закрепляются грузы 2, которые могут быть закреплены на разных расстояниях R от оси вращения. На ось насажен диск 3 радиусом r. Гиря 4, приводящая маятник во вращение, прикреплена к концу нити, которая перекинута через блок 5 и наматывается на диск 3. На основную гирю 4 могут надеваться от одного до четырех дополнительных грузов 6.

Вращение маятника происходит под действием момента М силы натяжения нити и противоположно направленного момента сил трения М_тр. Таким образом, согласно равенству (2.6) уравнение движения маятника имеет вид

(2.7)

. (2.8)

Из равенства (2.8) видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величины М от ε является линейной функцией вида . При этом J играет роль углового коэффициента k. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяжения М и угловым ускорением ε позволяет найти момент инерции маятника J.

Движение гири 4 происходит под действием силы тяжести (где m – масса гири) и силы натяжения нити F. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид

, (2.9)

где а – ускорение гири, которое можно найти зная время t ее опускания и пройденный путь h. Используя известное уравнение равноускоренного движения, имеем

. (2.10)

Из равенств (2.9) и (2.10) получаем выражение для определения момента сила натяжения

. (2.11)

Учитывая соотношение , связывающее угловое и линейное ускорения для точек окружности диска, из формулы (2.10) находим

. (2.12)

Формулы (2.11) и (2.12) позволяют найти по экспериментальным данным момент силы натяжения М и угловое ускорение ε. Тогда, проведя опыты с гирями различной массы m, можно исследовать зависимость М от ε и построить соответствующий график.

Таким образом, определение момента инерции маятника сводится к определению углового коэффициента найденной из опыта функции коэффициента М (ε), а определение момента силы трения М_тр – к экстраполяции найденной зависимости на ε = 0.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: «Что-то тут концом пахнет». 8526 – | 8113 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Изучение законов движения на маятнике Обербека

Цель работы: Изучение динамики вращательного движения, оценка влияния трения на точность результатов проведенных измерений.

Оборудование: лабораторная установка (маятник Обербека), набор грузиков, линейка.

Теоретическое введение

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из 4 стержней, прикрепленных ко втулке с осью (см. рис.1).

На стержни надеваются одинаковые грузы массой m1, которые могут быть закреплены на различных расстояниях от оси вращения. Два легких шкива с различными радиусами r1, и r2, насажены на ось вращения маятника. На один из шкивов наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз массой m. Под действием груза нить разматывается и приводит маятник в равноускоренное вращательное движение. Положение груза m отмечается по шкале с делениями. Вся эта система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции системы можно менять, передвигая грузы m1 вдоль стержней.

Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси описывается уравнением моментов:

(1)

Здесь М – момент сил, действующих на тело, I – момент инерции тела, ω — угловая скорость.

Уравнение (1) является прямым следствием второго закона Ньютона, поэтому экспериментальная проверка его является в то же время проверкой основных положений механики. Проверку основного закона динамики для вращающихся тел можно осуществить следующим образом. Оставляя неизменным момент инерции вращающейся части установки (I = const), будем изменять вращающий момент М (изменяя вес груза m). Угловое ускорение при этом будет прямо пропорционально М [см. формулу (1)]. Если же оставить постоянным вращающий момент (M = const) и изменять момент инерции вращающейся системы путем передвижения грузов m1 по стержням крестовины, то угловое ускорение должно быть обратно пропорционально моменту инерции системы. В данной работе для проверки основного закона динамики применены оба указанных метода. Момент сил создается грузом m, привязанным к нити, которая навита на один из шкивов. Если момент сил трения Мтр приложенный к оси маятника, мал по сравнению с моментом М силы натяжения нити (см. рис. 1), то проверка уравнения (1) не представляет труда. Действительно, измеряя время t, в течение которого груз m из состояния покоя опустится на расстояние h, можно легко найти ускорения груза:

(2)

которое связано с угловым ускорением dω/dt соотношением:

(3)

где r – радиус шкива. Если через Т обозначить силу натяжения нити, то

(4)

Силу Т моно найти из уравнения движения груза:

(5)

Легко видеть, что система записанных выше уравнений (1)-(5) полностью решает поставленную задачу. Момент сил трения Мтр обычно оказывается довольно велик и способен существенно исказить результаты опыта.

Уменьшить относительную роль момента сил трения при данной конфигурации установки можно было бы увеличивая массу m. Однако здесь приходится принимать во внимание два обстоятельства:

Увеличение массы m ведет к увеличению давления маятника на ось, что свою очередь вызывает возрастание сил трения. С увеличением m уменьшается время падения t и снижается точность измерения времени.

В дальнейшем вместо (1) мы будем пользоваться более точным уравнением:

(6)

С использованием формул (2)-(6) получаем выражение для момента инерции маятника:

(7)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ: В данной работе проводится доказательство того положения, что при постоянном моменте сил, действующем на вращающееся тело, угловое ускорение его dω/dt обратно пропорционально моменту инерции тела I.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: Маятник Обербека, набор разновесов, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль.

ОПИСАНИЕ ПРИБОРА: Маятник Обербека схематически изображен на рис.1. Основные параметры прибора следующие: радиус шкива г1 = 9,0 мм, радиус шкива r = 17,1 мм, масса одного из стержней крестовины mст = 94 г, длина одного из стержней крестовины lст = 46 см, масса груза m1 = 142 г, высота груза m1 Н = 2,5 см, внешний радиус груза m1 ρ = 1,6 см, вес чашечки Pчаш = (25,75±0,05) г.

В каждом случае установки грузов m на одном из расстояний R от оси маятника необходимо проверять, находятся ли маятник в безразличном равновесии. Прежде, чем начинать эксперимент, рекомендуется несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. На основании этого сделайте вывод о том, находится ли маятник в безразличном равновесии. Увеличивая нагрузку на нить путем добавления на чашечку различных грузов из набора разновесов, найдите минимальное значение массы m0, при котором маятник начинает вращаться. Оцените величину момента сил трения как произведения m, на радиус шкива. Установите грузы m1 в ближнее к оси положение. Положите на чашечку некоторый груз m>m0. С помощью секундомера измерьте время падения груза с заданной высоты h до касания с полом. Повторите опыт не менее пяти раз. Старайтесь при этом выдерживать определенную высоту h и измерять время падения t как можно точнее. Измерьте расстояние R от оси вращения до центра груза m. Результаты измерений занесите в таблицу.

Лабораторная работа №4

Изучение законов вращательного движения при помощи маятника Обербека.

Выполнил: Курдюков Е.А.

Проверил: Пшеницин В. И.

1. Цель работы: анализ основного уравнения вращательного движения.

2. Основные понятия и закономерности:

Основное уравнение вращательного движения тела относительно неподвижной оси вращения имеет вид:

Где М – сумма проекций на ось вращения моментов всех внешних сил, действующих на тело, ω – его угловая скорость, J – момент инерции тела относительно данной оси. Для однородного твердого тела момент инерции представляет собой постоянную величину. Поэтому уравнение можно записать в виде:

Момент инерции J играет во вращательном движении ту же роль, что и масса m тела в его поступательном движении, момент инерции отражает инертность тела в его вращательном движении. Чем больше J тем труднее заставить вращающееся тело изменить угловую скорость ω.

3. Идея метода измерений и суть предлагаемой методики:

Основное уравнение вращательного движения удобно исследовать с помощью маятника Обербека.

На нити подвешивается груз массы m, натягивающий нить. Если натяжение нити равно Т, то момент сил, действующий на маятник, равен:

Величина Т определяется следующим образом. При вращении маятника, груз начинает опускаться с ускорением а. Уравнение движения опускающегося груза выглядит следующим образом:

Соответственно, момент внешних сил, приложенных к маятнику, равен:

Ускорение а можно вычислить, измерив время τ падения груза с известной высоты h. Падение груза является равноускоренным, поэтому для движения груза справедливо уравнение:

4. Таблицы экспериментальных данных и результаты расчетов.

h	R	m	T	a	ε	M
100		54,2	8.4	0.028	0.93	0.015
100		100.2	5.7	0.061	2.03	0.03
100		146.2	4.5	0.098	3.26	0.04
100		54,2	21.3	0.004	0.25	0.008
100		100.2	11.5	0.015	0.93	0.015
100		146.2	8.9	0.025	1.56	0.02

Расчет плотности материала в СИ:

Вопросы к лабораторной работе:

1.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

Ответ: произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на тело. Моменты сил и инерции берутся относительно оси, вокруг которой происходит вращение.

2.дайте определение момента силы, приложенной к телу и момента импульса вращающегося тела. Как направлены векторы этих величин по отношению к оси вращения тела?

Ответ: момент силы – векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления

Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнения динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой m движется с ускорением под действием результирующей сил тяжести и силы натяжения нити . Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

(1)

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила , равная по величине и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: ). Сила натяжения создает вращательный момент относительно горизонтальной оси O, направленный «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна , где R – радиус шкива, на который намотана нить, , где D -диаметр шкива.

Момент силы сопротивления относительно оси вращения направлен в противоположную сторону (к нам).

Основной закон динамики вращательного движения:

,

где — результирующий момент сил,

J – момент инерции маятника,

— угловое ускорение.

В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О, направление которой выбрано «от нас»):

(2)

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения , а также уравнение движения груза , выразим e через измеряемые величины x и t:

(3)

Решим систему уравнений (1) и (2), для чего умножим (1) на R и сложим с (2):

.

Выражаем момент инерции маятника Обербека:

(4)

Все величины, кроме М_СОПР, входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения М_СОПР.

Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (4) следует, что

(5)

В условиях эксперимента , что позволяет считать зависимость e(m) линейной.

Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки на этой оси, для которой выполняется (см. 5) равенство , то это позволяет определить как

. (6)

Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (4), где величина М_СОПР предварительно определена из измерений e(m) и формулы (6). Подставив выражение e из (3) и М_СОПР из (6) в (4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника

.

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство . Учитывая это, получаем: .

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

(7)

где .

Величины коэффициентов k: k₁, k₂ для соответствующих диаметров шкивов D₁,D₂ указываются в паспорте установки. Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m.

Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции крестовины со шкивами (I₁) и моментов инерции четырех грузиков, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I₂). Если размеры этих грузиков малы в сравнении с r, можно считать, что I₂=m₁r 2 — момент инерции материальной точки. Тогда момент инерции маятника

(8)

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (7).

Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

Задание к работе:

1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, намотайте нить на шкив большего диаметра. Для трёх значений массы подвешенного груза m измерьте время опускания груза t для заданного расстояния x. По формуле (3) рассчитайте величину углового ускорения e для соответствующих значений m.

2. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m₀, при котором e=0. Рассчитайте по формуле (6) величину момента сил сопротивления М_СОПР.

3. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.

4. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения при доверительной вероятности Р=90%, n=5 (см. «Введение»).

5. Вычислите по формуле (7) среднее значение момента инерции крестовины со шкивами .

6. Определите доверительную погрешность косвенных измерений момента инерции крестовины (см. «Введение») и запишите результаты в виде .

7. Закрепив грузы m₁ на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние либо с помощью линейки, либо используя указанные около установки исходные данные.

8. Проведите однократные измерения времени t опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.

9. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m₀ её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

10. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от r 2 , проанализируйте причины их несовпадения.

1. Какова цель данной работы?

2. Момент инерции, его физический смысл.

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, вывести рабочую формулу (7).

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. — М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.