Уравнение поступательного движения маятника обербека

В эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться момент инерции. Различные моменты внешних сил создается грузами, подвешенными на нити, намотанной на шкив.

Основное уравнение вращательного движения твердого тела с моментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет вид (1.1)где — угловое ускорение, M — момент внешних сил.
Для экспериментального доказательства этого соотношения в работе используется маятник Обербека (рис.3). Он состоит из четырех стержней A и двух шкивов различного радиуса R₁ и R₂, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) груза одинаковой массы m ‘ . При помощи груза массы m, прикрепленного к концу намотанной на тот или иной шкив нити, маятник может приводиться во вращение.
Пренебрегая силами трения и считая нить невесомой и нерастяжимой, можем написать: уравнение вращательного движения маятника (1.2)уравнение поступательного движения груза на нити (1.3)уравнение кинематической связи (1.4)Здесь R — радиус шкива, T — натяжение нити, a — линейное ускорение груза массы m, g — ускорение свободного падения.
Из системы уравнений (1.2-1.4) следует, что груз m должен двигаться с постоянным ускорением (1.5)Основное уравнение вращательного движения (1.1) было записано без учета момента сил трения в оси маятника и момента сил вязкого трения о воздух. Для доказательства правомерности такого подхода в процессе выполнения работы необходимо убедиться , что суммарный момент сил трения M_тр много меньше момента силы натяжения нити M , который равен: С учетом неравенства mR 2 J можно записать, что M mgR.
Оценить величину момента сил трения можно, если предположить, что он остается неизменным во время движения. При опускании груза m c отметки x₀ на полную длину нити до отметки x₃ и затем при последующем подъеме до отметки x₄ изменение его потенциальной энергии будет равно работе силы трения, то есть где Ф — полный угол поворота маятника Обербека. Причем поэтому Таким образом, условие малости момента сил трения окончательно имеет вид (1.6)

Установка для изучения вращательного движения (рис.4) или AVI (15.3M) состоит из основания (1), вертикальной колонны (2) с закрепленными на ней двумя подвижными кронштейнами (3,4), на которых крепятся оптические датчики положения. На колонне закреплены два неподвижных кронштейна (5,6).
На нижнем кронштейне (5) закреплен двухступенчатый вал (7). На верхнем кронштейне (6) закреплен подшипниковый узел (8) и блок (9). Через блок перекинута нить (10), один конец которой намотан на двухступенчатый вал (7), а на втором конце закреплен груз (11). На двухступенчатом валу крепятся тело маятника (12).
Кронштейны с фотодатчиками могут крепиться на разной высоте. Расстояние между этими кронштейнами измеряется по шкале, нанесенной на колонне. Время движения грузов определяют с помощью электронного таймера. Запуск таймера осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка — кнопкой «Стоп». При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих измерений убираются с табло таймера нажатием кнопки «Сброс».

Упражнение 1. Проверка закона движения.

Из (1.2-1.4) следует, что вращение маятника Обербека происходит с постоянным угловым ускорением , при этом груз m опускается с постоянным линейным ускорением a. Координата x груза, отпушенного без начальной скорости с отметки x₀ меняется по закону (ось х системы координат направлена вниз (см. рис. 3)) (1.7)Используя (1.7), определим время t пролета груза между двумя отметками x₁ и x₂: (1.8)Из (1.8) следует, что в случае равнопеременного движения (a=const) и фиксированных положений x₀ и, x₂ зависимость времени t от является линиейной и изображается на графике прямой линией.

Установить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками
Установить грузы m ‘ в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия. Начало движения груза m всегда осуществляют от одного и того же положения x₀, которое необходимо записать в рабочий журнал. Нить наматывают на вал большего диаметра виток к витку.
Опустить груз m и произвести измерение времени t пролета груза m между фотодатчиками. Данные записать в таблицу 1.1 Провести измерения времени t для нескольких положений x₁ верхнего датчика (рекомендуется менять x₁ с шагом 5 см). Для каждого положения датчика измерения времени проводят не менее 3-х раз.
Для 5-7 первых опытов измерить значения x₄ — отметки, до которой поднимается груз при вращении маятника в одну сторону. Результаты занести в табл. 1.1.
Определить значение x₃ — максимальной отметки, до которой опускается груз m при своем движении.

Таблица 1.1

N	x_1i	x₄	t_ij	S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Обработка результатов

По экспериментальным данным для каждого положения фотодатчика x₁ рассчитать среднее значение величины t_i по формуле

где N — число измерений при каждом фиксированном положении датчика.

Вычислить ошибку измерения (выборочное стандартное отклонение)

Результаты вычислений внести в табл. 1.1.

Построить зависимость t от , которая должна быть линиейной. Получившаяся линейная зависимость указывает на то, что движение тела является равнопеременным.
Найти среднее значение и оценить величину по формуле (1.6). Убедиться в малости момента сил трения по сравнению с начальным моментом силы натяжения нити.

Упражнение 2. Проверка независимости инерционных свойств маятника (момента инерции) от момента внешних сил.

В данном упражнении экспериментально показывается, что инерционные свойства маятника, а именно — момент инерции — не зависят от момента внешних сил.
Из уравнения (1.2) имеем (1.9)Из уравнений (1.5), (1.8) следует, что (1.10)В уравнение (1.10) входят величины, определяемые экспериментально.

Измерить штангенциркулем радиусы R₁ и R₂ шкивов, результаты, занести в рабочую тетрадь.
Устаноновить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками. Занести в рабочий журнал координаты фотодатчиков x₁, x₂ и значение x₀.
Установить грузы m ‘ в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия.
На конец нити, намотанной на шкив радиуса R₁, прикрепить груз массы m₁ и измерить время прохождения груза между двумя фотодатчиками t. Одновременно измерить x₄— отметку, до которой поднимается груз. Измерение провести 3 раза. и результаты внести в табл.1.2.
Перебросить нить на другой шкив (радиуса R₂). и измерить время t и значение x₄ (3 раза). Результаты внести в табл. 1.2.
Провести аналогичные измерения (п.4-п.5), прикрепив к концу нити груз массы m₂. Результаты измерений занести в табл.1.2.

Таблица 1.2

Комбинации значений радиусов шкивов и масс при измерениях	N	t_ij	x₄	, S	J_i , S_{J_i}
R₁ , m₁	1
	2
	3
R₂ , m₁	4
	5
	6
R₁ , m₂	7
	8
	9
R₂ , m₂	10
	11
	12

Обработка результатов

По экспериментальным данным вычислить средние значения величин t и ошибки их измерений для четырех различных опытов. Результаты вычислений внесети в табл.1.2.
Вычислить значения моментов инерции J₁:J₄ по формуле (1.10).
Определить значение для каждого опыта.
Найти отношение аналогично тому, как это было сделано в упр.1. Результаты внести в табл. 1.2.
Произвести оценку погрешностей полученных результатов. В связи с тем, что экспериментальные значения J_i являются результатом косвенных измерений, то стандартное отклонение функции нескольких независимых переменных находится через ошибки прямых измерений по формуле для ошибки косвенных измерений.
Проанализировать полученный результат. Для этого отметить значения моментов инерции J₁:J₄ с учетом погрешностей на числовых осях (рис.5), выбирая J_i=S_{J_i}. Пересечение этих областей будет указывать на выполнение соотношения (1.9) , что свидетельствеут о независимости инерционных свойств маятника от момента внешних сил.

Упражнение 3. Проверка основного уравнения вращательного движения и теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Пусть J₀ ‘ — суммарный момент инерции четырех грузов с массами M ‘ относительно осей, проходящих через их центры масс. При удалении центров грузов на расстояние l=l₁, от оси вращения (см. рис. 3), согласно теореме Гюйгенса — Штейнера , момент инерции будет равен J₁ ‘ (1.11)Если J₀ — момент инерции маятника без грузов, то полный момент инерции маятника будет равен (1.12)При удалении центров масс грузов на расстояние l₂ соответственно имеем (1.13)С учетом уравнений (1.2)-(1.4) и (1.10) зависимость квадрата времени пролета груза между двумя отметками x₁ и x₂ от расстояния центра грузов m ‘ от оси вращения l имеет вид (1.14)Если l₁>l₂ , то (1.15)Уравнения (1.14)-и (1.15) дают (1.16)где t₁ , t₂ — времена пролета груза между датчиками для случаев l=l₁ и l=l₂ соответственно.
В это уравнение входят величины, определяемые экспериментально.

На конец нити, намотанной на шкив радиуса R₂ (большего по размеру), прикрепить груз наибольшей массы. Фотодатчики оставить в том же положении, что и в упражнении 2.
Установить минимальное значение момента инерции маятника. Для этого грузы m ‘ установить в положение, наиболее близкое к оси. Измерить расстояние от грузов до оси. Занести это значение в табл 1.3.
Определить величину t. — время прохождения груза m между двумя фотодатчиками и x₄ — отметку, до которой он поднимается в процессе движения.Измерения проводят 3 раза. Результаты заносят в табл.1.3.
Изменяя положение грузов m ‘ на стержнях с шагом 3 см, каждый раз измеряют время t. Результаты измерения и соответствующие им расстояния l от оси маятника до центров грузов записать в табл.1.3 . Одновременно для каждого опыта измеряют и заносят в табл. 1.3 значения величины x₄ .

Таблица 1.3

N	( #t_ij )	x₄	, S	( t_i ) 2 , S_{( t_i ) 2}	l	l 2
1
2
3
.

Обработка результатов

По экспериментальным данным для каждого положения грузов m ‘ найти средние значения величин t_i.
Вычислить погрешности измерения t_i и ( t_i) 2 .
Построить график зависимости квадрата времени опускания груза ( t_i) 2 . от l 2 , — это должна быть прямая линия.
Проверить соотношение (1.16) для нескольких пар значений t 2 и l 2 .
Для каждого момента инерции определить и отношение . Убедиться в выполнении приближения .

Основные итоги работы
В результате выполнения работы должна быть осуществлена экспериментальная проверка выполнения основного уравнения вращательного движения — уравнения моментов. Должны быть проверены соотношения (1.9) и (1.16) и установлена линейная ( t) 2 зависимость от l 2 .
Контрольные вопросы

Что такое абсолютно твердое тело? Сколько степеней свободы имеет твердое тело? Сколько независимых скалярных уравнений требуется для описания движения твердого тела?

Почему угловая скорость является вектором? Куда направлен этот вектор?

Что такое момент силы относительно некоторой точки? Куда он направлен? Что такое момент силы относительно закрепленной оси?

Что такое момент импульса системы тел?

Что такое момент инерции тела относительно закрепленной оси?

Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

Как получить уравнение моментов и основное уравнение вращательного движения относительно закрепленной оси?

Литература

Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1986, § 31,32,34.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика,3-е изд. M.: Наука.1989, § 30,35.

Отчет по работе №1.04 «Изучение законов механики на маятнике обербека»

Псковский политехнический институт

Филиал Санкт — Петербургского государственного университета.

Отчет по работе №1.04

«Изучение законов механики

на маятнике обербека».

Цель работы: Изучить законы механики вращательного движения тел.

Механическое движение — это изменение взаимного расположения тел (или частей одного тела), происходящее в пространстве с течением времени.

Движение тел характеризуется траекторией, перемещением, путём, скоростью и ускорением.

Траектория — геометрическое место точек пространства через которое проходит в своём движении тело. В зависимости от траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Положение тела в пространстве характеризует радиус-вектор,(рис.1). Перемещение — вектор, проведённый из начальной в конечную точку

участка траектории и определяющий изменение радиуса — вектора

Путь — длина отрезка траектории отсчитанного вдоль неё

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тел (материальной точки)

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстро ту изменения скорости

Кинематика — раздел механики, изучающий законы механического движения без анализа причин, его вызывающих. Закон движения материальной точки

динамика — раздел механики, изучающий механическое движение с выяснением причины вызывающей это движение. В основе динамики лежат за коны Ньютона, которые утверждают, что причиной изменения скорости тел является взаимодействие тел.

Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел.

Инертность — свойство тел сохранять свое механическое состояние. Мерой инертности в поступательном движении является масса, во вращательном — момент инерции.

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела пропорционально равнодействующей силе и обратно пропорционально массе этого тела

Мерами движения тел служат: импульс и кинетическая энергия. Соответственно, мерами действия силы во времени является импульс силы, а в пространстве — работа.

Механическая работа равна скалярному произведению силы на перемещение

Основные теоремы динамики:

Изменение импульса тела равно импульсу всех приложенных к телу внеш них сил

Если силы обладают таким свойством, что работа их сил не зависит от формы траектории, то силы называются потенциальными. Примером потенциальной силы является сила тяжести, а силы непотенциальной — сила трения.

В курсе механики доказывается, что работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии

Потенциальной энергией называется энергия которой обладают тела при их взаимодействии, например тело, поднятое над Землей на высоту h, обладает потенциальной энергией взаимодействия равной

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий

Теорема об изменении полной механической энергии утверждает, что изменение этой энергии равно работе непотенциальных сил

Вращательное движение как частный случай криволинейного движения возникает тогда, когда вектор силы действующей на тело перпендикулярен вектору скорости. Траекторией движения тела является окружность.. Кинематическими характеристиками движения являются: угол поворота радиус-вектора, угловая скорость и угловое ускорение. Направление вектора W определяется правилом правого винта (рис.2).

Основное уравнение кинематики вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси имеет вид

Это уравнение аналогично уравнению Ньютона для движения материальной точки (4): роль силы играет момент силы, роль массы — момент инерции, а роль ускорения — угловое ускорение.

С помощью маятника Обербека (рис. 3) можно экспериментально проверить уравнение (11) что является одновременно и проверкой основных положений механики по вращению твёрдого тела.

В маятнике Обербека вращающий момент М создаётся силой натяже ния нити Т

где 1 — радиус шкива (Р = Р. или Р.

Величину силу Т легко найти из уравнения движения платформы с перегруз ком

Ускорение а можно найти, если измерить время, в течение которого нагруженная платформа из состояния покоя опускается на расстояние h.

Момент инерции всей системы можно вычислить по формуле

Таким образом, используя уравнения (12, 13, 14, 15, 16) и проведя соответствующие измерения, можно проверить закон вращательного движения (11).

На практике значительное влияние может оказать момент сил трения, приложенный к осям маятника. Неучёт его может сильно исказить результаты опыта. Преобразуем уравнение (11) выделив момент сил трения в явном виде

Экспериментальная работа делится на три части:

в первой — исследуется вращательное движение маятника под действием раз личных перегрузков при постоянном моменте инерции системы. Из данных этого опыта определяют момент инерции системы 1 и момент сил трения. Во второй части — изучается вращение маятника при различных значениях момента инерции грузов относительно оси вращения, те. при различных положениях грузов, на спинах маятника Обербека;

в третьей части проверяется преобразование механической энергии при вращательном движении.

Энергия маятника Обербека складывается из собственно энергии маятника и энергии платформы. В начальный момент времени кинетическая энергия маятника и платформы равна нулю. Потенциальная энергия платформы:

После того как платформа опустилась с высоты h, кинетическая энергия маятника станет равной

Тогда согласно теореме об изменении полной механической энергии (9)

где А, — работа сил трения в системе.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии

На рис.1 показан маятник Обербека — прибор для исследования законов вращательного движения. Каждый груз, имеет свой момент инерции относительно своего центра масс:

Описание установки и вывод расчетной формулы

В работе используются маятник Обербека, укрепленный на стене (рисунок 1), линейка, штангенциркуль, секундомер.

Особенности вращения твердого тела вокруг неподвижной оси удобно изучать на примере маятника Обербека – устройства, состоящего из крестовины, жестко закрепленной на двойном шкиве с разными радиусами (рисунок 1). На стержнях крестовины симметрично оси вращения закрепляются четыре одинаковых грузика 5. Расстояния от грузиков до оси вращения можно изменять.

Рисунок 1 Схема маятника Обербека:

1, 2 ‑ двойной шкив с радиусами r₁ и r₂; 3 ‑ ось подшипника;

4 ‑ стержни с делениями; 5 ‑ грузики; 6 ‑ гиря; 7 ‑ мерная линейка

Поочередно на большой и малый шкивы можно наматывать нить, к концу которой привязана гиря 6 известной массы. Тем самым изменяется момент силы, вызывающий вращательное движение системы. Момент инерции вращающейся системы можно изменять, передвигая грузики 5 на стержнях. Главной измеряемой величиной в данной работе является промежуток времени t, за который гиря 6 проходит определенный путь h.

Выведем формулы для расчета момента силы и момента инерции. Выражения закона динамики образуют систему уравнений:

(1)

Первое уравнение относится к поступательному движению гири 6. Результирующая сила F равна разности сил, действующих на гирю:

где T – сила натяжения нити.

Из (2) и первого уравнения системы (1) T выразится как:

Второе уравнение системы (1) относится к вращательному движению маятника, где момент силы М определяется силой натяжения T и плечом этой силы r, равным радиусу того шкива, на который намотана нить:

В выражении (4) не учитывается момент M_тр сил трения, действующих в системе. Если им нельзя пренебречь, то результирующий момент примет вид:

Чтобы оценить влияние сил трения, можно проделать эксперимент на основе закона сохранения энергии. Задать гире некоторую высоту h₁ и предоставить систему самой себе. Маятник начнет вращаться, при этом гиря опустится, а затем поднимется до высоты h₂. Если h₁ > h₂, то произошла потеря потенциальной энергии, затраченная на работу против сил трения. Оценить эту потерю по относительной разнице . Если d £ 0,1 (10%), то моментом сил трения в работе можно пренебречь.

При отсутствии сил трения момент вращающей силы находят по формуле (4). Линейное a и угловое e ускорения – из кинематических уравнений:

. (6)

Первое задание выполняется при постоянном моменте инерции, но различных моментах силы М₁ и М₂ (используются различные шкивы – радиусов r₁ и r₂). Различны будут угловые ускорения e₁ и e₂. Моменты инерции для двух случаев

и , (7)

должны быть равны (в пределах допустимой погрешности), т.к. распределение массы относительно оси вращения не меняется, т.е. J₁ = J₂ = J, тогда должны быть равны и отношения:

. (8)

В этом и состоит проверка второго закона Ньютона для вращательного движения в задании 1

Для вывода расчетной формулы задания 2 объединим соотношения, описывающие динамику вращательного движения маятника Обербека и поступательного движения гири:

; M=m (g – a) r; ; .

Получим обобщенную формулу для расчета момента инерции:

, (9)

где t – время движения гири; h – расстояние, пройденное гирей массой m; r – радиус шкива, на который наматывается нить; g = 9,81 м/с 2 – ускорение свободного падения.

Поскольку а 2 . (10а)

Дата добавления: 2014-10-31 ; просмотров: 40 ; Нарушение авторских прав

источники:

http://pandia.ru/text/79/547/57636.php

http://lektsii.com/1-52.html

Читайте также:

C2 Раскройте на трех примерах научный вывод о том, что социальные условия влияют на характер и форму удовлетворения первичных (биологических, витальных) потребностей.
VII. Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательного процесса по предмету «Технология» (направление «Технический труд»).
VII. Правописание не и ни
А) Скорость вывода на печать и качество печати высокая
Автоматизация выполнения расчетной части курсовой работы
Автоматические спринклерные и дренчерные установки
Автоматические установки пожаротушения
Анализ опасности поражения током в зависимости от режима работы электроустановки
Аналитизм. Выводы
Архитектура монитора обработки транзакций (схема и описание).