Уравнение поверхности уровня проходящей через точку

Линии и поверхности уровня

Содержание:

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Электронная библиотека

Полем называется область пространства, каждой точке Р которой поставлена в однозначное соответствие некоторая величина Q(p).

Если величина Q(p) является физической, то поле называется физическим. В зависимости от природы функции Q(p), поля разделяются на скалярные и векторные. Примерами скалярных физических полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности воздуха, электрического потенциала, массы и т.д. К векторным величинам относятся: поля силы тяжести, скорости частиц текущей жидкости (газа), сдвига точек упругого тела, магнитной индукции и др.

Если функция Q(p) не изменяется с течением времени, то поле называется стационарным или установившимся, в противном случае – нестационарным.

Для получения общих результатов, справедливых для любых конкретных физических полей, всякому полю ставится в соответствие его математическая модель. Математическая теория поля изучает свойства векторных и скалярных полей, которые выявляются практическими задачами из физики, электротехники, математики и других наук.

Для успешного овладения теорией поля необходим математический аппарат, в который входит векторная алгебра и векторный анализ, элементы дифференциального и интегрального исчисления. Отметим, что в перспективе обобщением теории скалярных и векторных полей является теория тензорных полей, которая играют важную роль в теории упругости, теории относительности и др.

Для задания скалярного поля надо задать скалярную функцию . Введем понятие поверхности (линии) равного уровня скалярного поля.

Определение. Поверхностью равного уровня скалярного поля называется такая поверхность, на которой функция имеет постоянное значение.

Уравнение поверхности уровня:

где С – постоянная. Если функция , то говорят о линии равного уровня: .

При различных значениях С получаем семейство поверхностей (линий) уровня. Примерами поверхностей уровня являются поверхности: равных температур в некотором теле; равного потенциала V в электрическом поле .

Совокупность поверхностей (линий) уровня дает наглядное представление конкретного поля, что облегчает его изучение.

Найти поверхность уровня поля , проходящую через точку .

Решение. Уравнение поверхности уровня: U = C:

Очевидно, . Поверхностями уровня служит семейство сфер с центром в начале координат. Чтобы выбрать нужную сферу, проходящую через , требуется подставить координаты этой точки в уравнение поверхностей уровня:

Уравнение искомой поверхности уровня:

описывает сферу радиуса R = 3 с центром в начале координат.

Найти линии уровня поля .

При С > 0 линии уровня есть равнобочные гиперболы с вершинами на оси Ох; при С = 0 – прямые – асимптоты этих гипербол (сопряженных) (рис. 1.33).

Понятие скалярного поля тесно связано с важным понятием производной скалярной функции по заданному направлению (в математическом анализе этого не было).

Теорема: если функция дифференцируема в точке Р, то производная в точке Р по любому направлению существует и равна (обозначается ):

Доказательство. Как известно из математического анализа [6], если функция дифференцируема, то её приращение (рис.

Разделим на обе части последнего равенства, получим:

Переходя к пределу при , и учитывая, что

получим формулу (1.91). Если , то поле возрастает; при – убывает и – дает скорость изменения поля в направлении .

Найти производную от функции по направлению от точки Р(1; 1; 1) к точке Р₁(2; 3; 4).

Формула (1.91) ставит задачу: найти то направление, которое доставляет максимальное значение для . Оказывается, такое направление дается понятием градиента скалярного поля.

Определение. Градиентом скалярного поля (обозначается grad U) называется вектор, проекции которого на оси декартовой системы координат есть , , , т.е.

Вывод: градиент скалярного поля есть вектор.

Имеется связь между производной по направлению и градиентом (рис. 1.35).

Найдем скалярное произведение :

.

Таким образом, левая часть полученного равенства есть .

При изменении будет меняться и . Очевидно, эта проекция будет максимальной, когда направление совпадает с . Учитывая физический смысл производной по направлению и формулу (1.94) убеждаемся в том, что: вектор grad U по величине и направлению есть наибольшая скорость возрастания . В этом состоит физический смысл градиента. Это широко используется в практике.

Покажем, что направлен по нормали к поверхности (линии) уровня скалярного поля , проходящей через точку Р.

Уравнение поверхности уровня: . Уравнение нормали к поверхности уровня:

где X, Y, Z – текущие координаты нормали; x, y, z – координаты поверхности, в которой проведена нормаль. Видим, что проекции направляющего вектора нормали те же, что и градиента.

Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля в точке Р(1; 2; 3).

Решение. Согласно (1.92) имеем:

Поверхность уровня поля U, проходящая через точку Р(1; 2; 3) – сфера: . Наибольшая скорость возрастания функции U будет в направлении радиуса этой сферы, проходящего через данную точку Р(1; 2; 3).

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Теория поля: Методические указания к выполнению семестрового задания (с вариантами заданий)

Страницы работы

Содержание работы

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

для студентов металлургических специальностей

к выполнению семестрового задания по теме «Теория поля»

с вариантами заданий

Рекомендовано на заседании кафедры высшей математики

Протокол № 4 от 14.02.2002 г.

Утверждено на заседании

Протокол № 8 от 22.04.2002 г.

1 Скалярное поле

Функция U=U(p)=U(x,y,z) называется скалярной, если она характеризуется только числовым значением. Если в каждой точке некоторой области задана скалярная функция U, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Примером скалярного поля может служить поле температур неравномерно нагретого тела, поле плотностей распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, поле потенциалов электрического поля и т.д.

Скалярное поле может совпадать со всем пространством, если функция U определена в любой точке, или являться некоторой его частью, если функция U определена только в этой части пространства.

Скалярное поле называется стационарным, если функция U=U(p) не зависит от времени t, и называется нестационарным, если такая зависимость функции U от t существует.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U принимает постоянное значение, т.е.

U (x,y,z) = C.

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (т.е. поверхностями равного потенциала).

Если скалярное поле плоское, т.е. U = U(x,y), то поверхности уровня будут линиями уровня

Уравнение поверхности уровня, проходящей через данную точку M₀ (x₀,y₀,z₀) записывается так:

1) Найти линии уровня скалярного поля U = xy

Линии уровня удовлетворяют уравнению:

xy = C или ,

т.е. линиями уровня будет семейство гипербол в 1-й и 3-ей четвертях при C>0 или во 2-й и 4-й четверти при C 1 2 3 4 5 6