Уравнение поверхности в евклидовом пространстве

Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства

Вещественное линейное пространство [math]\mathbb[/math] называется евклидовым, если каждой паре элементов [math]\mathbf,\,\mathbf[/math] этого пространства поставлено в соответствие действительное число [math]\langle\mathbf,\mathbf \rangle[/math] , называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

0\quad \forall \mathbf\ne \mathbf

\forall \lambda\in \mathbb\,;\\[5pt] &\bold<4.>\quad \langle\mathbf,\mathbf\rangle>0\quad \forall \mathbf\ne \mathbf

В скалярном произведении [math]\langle\mathbf, \mathbf\rangle[/math] вектор [math]\mathbf[/math] — первый, а вектор [math]\mathbf[/math] — второй сомножители. Скалярное произведение [math]\langle\mathbf,\mathbf\rangle[/math] вектора [math]\mathbf[/math] на себя называется скалярным квадратом. Условия 1–4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата [math]\langle\mathbf, \mathbf\rangle[/math] .

Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.

Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения

1. Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:

\forall \alpha,\beta\in \mathbb.[/math]

2. Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.

3. Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:

для любых векторов [math]\mathbf_i,\,\mathbf_j[/math] и действительных чисел [math]\alpha_i,\,\beta_j,

4. Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:

Действительно, представим нулевой вектор в виде [math]\mathbf=0\cdot\mathbf[/math] , где [math]\mathbf[/math] — произвольный вектор из [math]\mathbb[/math] . Тогда из аксиомы 3 получаем:

Неравенство Коши-Буняковского

Для любых векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] евклидова пространства [math]\mathbb[/math] выполняется неравенство Коши-Буняковского :

В самом деле, для любого действительного числа [math]\lambda[/math] и любых векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] справедливо неравенство:

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (переменной [math]\lambda[/math] ) не больше нуля, т.е. [math]4 \langle \mathbf,\mathbf\rangle^2-4 \langle \mathbf,\mathbf\rangle \cdot \langle \mathbf,\mathbf\rangle \leqslant0[/math] . Отсюда следует (8.25). Заметим, что равенство нулю дискриминанта возможно только в случае существования такого корня [math]\lambda[/math] , для которого [math]\langle \mathbf-\lambda \mathbf, \mathbf-\lambda \mathbf\rangle=0[/math] . Это условие равносильно коллинеарности векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf\colon[/math] [math]\mathbf=\lambda\cdot \mathbf[/math] . Напомним, что ненулевые векторы [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] называются коллинеарными, если существует такое число [math]\lambda[/math] , что [math]\mathbf=\lambda\cdot \mathbf[/math] . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов и как строгое неравенство для неколлинеарных.

Примеры евклидовых пространств

Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих рассмотренным ранее примерам линейных пространств.

1. В нулевом линейном пространстве [math]\<\mathbf\>[/math] скалярное произведение можно определить единственным способом, положив [math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle=0[/math] . Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.

2. В пространствах [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение: [math]\langle \vec,\vec\rangle= |\vec|\cdot|\vec\cdot \cos\varphi[/math] . Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространства [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] являются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что [math]|\cos\varphi|= \frac<|\langle\vec,\vec\rangle|><|\vec|\cdot|\vec|>\leqslant1[/math] . Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).

3. В пространстве [math]\mathbb^n[/math] скалярное произведение столбцов [math]x= \beginx_1&\cdots&x_n\end^T[/math] и [math]y=\begin y_1&\cdots&y_n\end^T[/math] можно задать формулой:

где [math]A[/math] — квадратная симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка. Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома 1 (симметричность) выполняется в силу симметричности матрицы [math]A:[/math] [math]\langle x,y\rangle= x^TAy= y^TA^Tx= y^TAx= \langle y,x\rangle[/math] , поскольку число при транспонировании не изменяется, т.е. [math]x^TAy=y^TA^Tx[/math] . Свойство линейности по первому сомножителю (см. п.1 простейших следствий из аксиом) для (8.26) выполняется:

Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма [math]\langle x,x\rangle= x^TAx[/math] положительно определенная. Таким образом, пространство [math]\mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.26) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы [math]A[/math] взять единичную матрицу, формула (8.26) примет вид:

Это скалярное произведение считается стандартным в пространстве [math]\mathbb^n[/math] . Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в «-мерном арифметическом пространстве [math]\mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27) трансформируется в неравенство Коши :

Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в [math]\mathbb^2:[/math]

1) [math]\langle x,y\rangle= |x_1|\cdot|y_1|+|x_2|\cdot|y_2|[/math] — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;

2) [math]\langle x,y\rangle=x_2\cdot y_2[/math] — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.

4. Пространство [math]\[/math] решений однородной системы [math]Ax=o[/math] линейных уравнений со скалярным произведением (8.27) является евклидовым пространством.

5. В пространстве [math]C[a,b][/math] действительных функций, определенных и непрерывных на данном промежутке [math][a,b][/math] , скалярное произведение можно задать формулой:

Таким образом, пространство [math]C[a,b][/math] со скалярным произведением (8.28) является евклидовым. Скалярное произведение (8.28) считается стандартным в пространстве [math]C[a,b][/math] . Для разрывных функций формула (8.28) не определяет скалярного произведения, так как нарушается аксиома 4. Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в пространстве [math]C[a,b][/math] со скалярным произведением (8.28) трансформируется в неравенство Шварца :

6. В пространстве [math]P(\mathbb)[/math] многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (8.28), так как многочлены являются непрерывными функциями.

В пространстве [math]P_n(\mathbb)[/math] многочленов степени не выше, чем [math]n[/math] , зададим скалярное произведение многочленов [math]p(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0[/math] и [math]q(x)=b_nx^n+\ldots+b_1x+b_0[/math] формулой:

Выражение в правой части (8.29) симметрично для коэффициентов двух многочленов, поэтому аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют из линейности выражения по коэффициентам каждого многочлена. Проверим аксиому 4. Запишем скалярный квадрат [math]\langle p,p\rangle= a_n^2+\ldots+ a_1^2+ a_0^2\geqslant0[/math] . Заметим, что [math]\langle p,p\rangle=0[/math] только при [math]a_n=\ldots=a_1=a_0=0[/math] , т.е. в случае нулевого много члена [math]p(x)\equiv0[/math] . Следовательно, формула (8.29) задает скалярное произведение в пространстве [math]P_n(\mathbb)[/math] .

В пространстве [math]P_3(\mathbb)[/math] определим произведение формулой:

В силу симметричности и линейности правой части (8.30) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем

Это возможно только при [math]p(1)=p(2)=p(3)=0[/math] . Из этих трех равенств не следует, однако, что многочлен [math]p(x)[/math] нулевой. Например, ненулевой многочлен [math]p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)[/math] удовлетворяет трем равенствам. Следовательно, в пространстве [math]P_3(\mathbb)[/math] формула (8.30) не задает скалярного произведения. Напротив, в пространстве [math]P_2(\mathbb)[/math] формула (8.30) определяет скалярное произведение. Так как из равенств [math]p(1)=p(2)=p(3)=0[/math] следует, что многочлен степени не выше второй тождественно равен нулю.

Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве

Длиной (нормой) вектора [math]\mathbf[/math] в евклидовом пространстве [math]\mathbb[/math] называется число [math]|\mathbf|=\sqrt<\langle \mathbf,\mathbf\rangle>[/math] .

Имея в виду обозначение, длину [math]|\mathbf|[/math] называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: [math]|\mathbf|=0[/math] .

Углом между ненулевыми векторами [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] евклидова пространства [math]\mathbb[/math] называется число

Представив неравенство Коши-Буняковского (8.25) в виде [math]\bigl|\langle \mathbf,\mathbf \rangle\bigr|\leqslant| \mathbf|\cdot |\mathbf|[/math] можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения [math]\frac<\langle \mathbf,\mathbf \rangle><|\mathbf|\cdot |\mathbf|>[/math] не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или [math]\pi[/math] .

Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями .

Из неравенства Коши-Буняковского (8.25) следует неравенство треугольника :

Докажем последнее неравенство. Применяя оценку [math]\langle \mathbf,\mathbf \rangle \leqslant |\mathbf|\cdot |\mathbf|[/math] , получаем

то есть [math]|\mathbf+\mathbf|^2\leqslant (|\mathbf|+ |\mathbf|)^2

Пример 8.17. Даны векторы евклидовых пространств:

y=\begin0\\1\end[/math] — элементы пространства [math]\mathbb^2[/math] со скалярным произведением (8.27): [math]\langle x,y\rangle=x_1y_1+x_2y_2[/math] ;

y=\begin0\\1\end[/math] — элементы пространства [math]\mathbb^2[/math] со скалярным произведением (8.26):

g(x)=\cos[/math] — элементы пространства [math]C[-\pi,\pi][/math] со скалярным произведением (8.28): [math]\langle f,g\rangle= \int\limits_<-\pi>^<\pi>f(x)g(x)\,dx[/math] .

q(x)=x+2[/math] — элементы пространства [math]P_2(\mathbb)[/math] со скалярным произведением (8.29): [math]\langle p,q\rangle= a_2b_2+a_1b_1+a_0b_0[/math] ;

q(x)=x+2[/math] — элементы пространства [math]P_2(\mathbb)[/math] со скалярным произведением (8.30):

В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.

Решение. а) Находим скалярные произведения:

б) Находим скалярные произведения:

в) Находим скалярные произведения:

г) Находим скалярные произведения:

\langle p,q\rangle= 1\!\cdot\!0+(-2)\!\cdot\!1+1\!\cdot\!2=0;

\langle q,q\rangle= 0\!\cdot\!0+1\!\cdot\!1+2\!\cdot\!2=5.[/math]

д) Находим скалярные произведения:

\langle p,q\rangle= 0\!\cdot\!3+1\!\cdot\!4+4\!\cdot\!5=24;

\langle q,q\rangle= 3\!\cdot\!3+4\!\cdot\!4+5\!\cdot\!5=50.[/math]

Уравнение поверхности в евклидовом пространстве

Поверхность. Способы задания поверхности. Регулярная параметризация поверхности. Координатные линии и координатная сеть на поверхности. Задача картографии. Касательная плоскость поверхности в ее гладкой точке. Нормаль поверхности в ее гладкой точке. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Ортогональные траектории семейства кривых на поверхности. Площадь поверхности. Конформное отображение поверхностей. Изометрия поверхностей.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной областью на плоскости переменных называется область, гомеоморфная кругу. Элементарной поверхностью в пространстве переменных называется множество точек пространства, гомеоморфное элементарной области на плоскости. Функциональное задание гомеоморфизма (рис. 20)

называется параметрическим представлением поверхности. Образы прямых вида и называются координатными линиями на поверхности (рис. 20) и задаются уравнениями

и каждой точке ставится в соответствие пара чисел , называемая криволинейными координатами.

Общей поверхностью называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное евклидовой плоскости. Необходимое и достаточное условие локальной гомеоморфности отображения, задаваемого в области плоскости переменных регулярными функциями

Очевидно, что общая поверхность допускает покрытие элементарными поверхностями.

Сеть координатных линий поверхности, или координатная сеть , называется правильной в точке , если в этой точке выполнено условие Нетрудно заметить, что частные производные и в данной точке представляют собой касательные векторы к координатным линиям и соответственно. Поэтому условие правильности координатной сети в точке требует, чтобы касательные векторы к координатным линиям в этой точке были неколлинеарны. В дальнейшем будут рассматриваться только такие точки на поверхности.

Будем называть поверхность -регулярной, если она обладает параметризацией , имеющей непрерывные частные производные
порядка , причем в каждой точке выполнено условие

Поверхность задана неявным уравнением если координаты каждой ее точки удовлетворяют этому уравнению.

Пусть и — две различные точки на поверхности . Касательной плоскостью поверхности в точке (рис. 21) называется плоскость , проходящая через точку и удовлетворяющая соотношению

Уравнение касательной плоскости поверхности в точке с криволинейными координатами (и декартовыми координатами ) может быть вычислено по одной из следующих формул:

Первое из уравнений означает, что векторы образуют базис касательных векторов в точке

Нормаль поверхности в точке — это прямая, ортогональная касательной плоскости, проведенной в этой точке поверхности. Уравнения нормали поверхности в точке с криволинейными координатами (и декар-
товыми координатами ) могут быть вычислены по формулам

Теперь мы можем дать геометрическую интерпретацию условию регулярности неявного задания кривой в пространстве. Поверхности и , имеющие общую точку , назовем пересекающимися трансверсально в точке , если их касательные плоскости, проведенные в этой точке, пересекаются .

Согласно известной теореме аналитической геометрии, для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы нормали касательных плоскостей, а следовательно, векторы нормали поверхностей, были неколлинеарны в точке (рис. 22). Таким образом, условие максимальности ранга матрицы (6) — это условие трансверсальности пересечения поверхностей в точке.

Первой квадратичной формой поверхности называется скалярный квадрат первого дифференциала радиус-вектора ее точки :

где введены канонические обозначения

При этом коэффициенты являются функциями точки поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности несет информацию о свойствах измерения длин, углов и площадей на поверхности, являясь своеобразным «справочником геодезиста». Первую квадратичную форму поверхности называют также метрической формой .

Так как в евклидовом пространстве скалярный квадрат любого ненулевого вектора строго положителен, то и первая квадратичная форма любой регулярной поверхности в евклидовом пространстве положительно определена , то есть , и невырождена , то есть только при

Длина кривой на поверхности может быть представлена криволинейным интегралом

Если кривая задана параметрическим способом , то первый дифференциал радиус-вектора точки вдоль этой кривой при подстановке , принимает вид

Подстановка полученного выражения в формулу длины кривой на поверхности приводит к результату (интеграл определенный!)

Тогда направление может быть указано «однородными координатами» . Очевидно взаимно однозначное соответствие
(и даже гомеоморфизм) множества направлений в точке поверхности и проективной прямой.

Углом между кривыми на поверхности (рис. 23), пересекающимися в точке , называется угол, образованный касательными направлениями к кривым в этой точке. Рассмотрим два направления и .

Угол между направлениями можно вычислять как угол между их представителями.

Его косинус равен

Направления и на поверхности ортогональны тогда и только тогда, когда . Пусть в окрестности точки на поверхности задано семейство кривых, представленных неявными уравнениями вида , где — постоянные, — дифференцируемая функция. Пусть в точке выполнено условие Линии семейства имеют в каждой точке рассматриваемой окрестности направление Тогда направление линии, ортогональной линиям семейства , удовлетворяет соотношению ортогональности

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением семейства кривых, ортогональных семейству, заданному уравнениями
.

Площадь части поверхности, задаваемой параметрическим уравнением , определенным на компактной области плоскости переменных , с кусочно гладкой границей , вычисляют по формуле:

Гомеоморфизм поверхностей называется изометрией , если поверхности и можно параметризовать так, что первая квадратичная форма поверхности в любой точке равна первой квадратичной форме поверхности в точке

Очевидно, соответственные кривые изометричных поверхностях имеют равные длины. Обратное также верно. Кроме этого, на изометричных поверхностях углы между соответственными кривыми равны, и площади соответственных областей также равны.

Также имеется важный класс гомеоморфизмов поверхностей, включающий в себя изометрии. Гомеоморфизм поверхностей называется конформным отображением , если для любых пересекающихся кривых и на поверхности образуемый ими угол равен углу между кривыми и на поверхности . Очевидно, всякая изометрия является конформным отображением.

1. Цилиндрическая система координат в пространстве задается так, как показано на рис. 24 а).

Напишите выражение декартовых координат
точки через ее цилиндрические координаты и правила обратного перехода. Составьте параметрическое представление прямого кругового цилиндра радиуса , ось которого совпадает с осью аппликат. Изобразите на рисунке вид координатных линий построенного параметрического представления. Исследуйте это представление на регулярность.

2. Сферическая система координат в пространстве задается так, как показано на рис. 24 б). Напишите выражение декартовых координат точки через ее сферические координаты и правила обратного перехода. Составьте параметрическое представление сферы радиуса , центр которой совмещен с началом координат. Изобразите на рисунке вид координатных линий построенного параметрического представления. Исследуйте это представление на регулярность. Во всех ли точках сферы координатная сеть правильна?

3. Дано параметрическое представление поверхности. Определите и изобразите на рисунке вид поверхности и координатные линии. Укажите область изменения параметров. Правильная ли на этой поверхности координатная сеть?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

4. Поверхность вращения. Кривая расположенная в плоскости , вращается вокруг оси . Составьте уравнение поверхности, образуемой этой кривой. Докажите, что нормаль поверхности вращения расположена в плоскости, проходящей через ось вращения.

Кривую назовем образующей поверхности вращения.

5. Составьте параметрическое задание поверхности вращения с осью и образующей :
1) ;
2) ;
3) .

6. Поверхность переноса. Две кривые и пересекаются в точке , такой, что , трансверсально , то есть . Кривая перемещается поступательно так, что ее точка скользит по кривой . Заметаемая ею поверхность называется поверхностью переноса.
1) Составьте параметрическое представление этой поверхности. Изменится ли вид поверхности переноса, если кривые и поменять ролями?
2) Докажите, что касательные плоскости поверхности переноса вдоль координатной линии параллельны некоторой прямой.
3) Докажите, что параболоиды являются поверхностями переноса.
Указание. В качестве кривых и выберите параболы, расположенные во взаимно ортогональных плоскостях.

7. Обобщенная цилиндрическая поверхность. В условии предыдущей задачи считайте линию прямой, параллельной вектору . Получаемая таким способом поверхность переноса называется обобщенной цилиндрической поверхностью. Постройте ее параметрическое представление и уравнение семейства касательных плоскостей к цилиндрической поверхности в тех ее точках, в которых . Что можно сказать о касательных плоскостях цилиндрической поверхности?

8. Обобщенная коническая поверхность образована всеми прямыми, пересекающими данную кривую и проходящими через точку , При этом кривая называется направляющей , а прямые — образующими конической поверхности. Составьте параметрическое представление конической поверхности и уравнение семейства касательных плоскостей к конической поверхности в тех ее точках, в которых . Что
можно сказать о касательных плоскостях конической поверхности?

9. Винтовая поверхность. Прямая вращается вокруг оси и одновременно перемещается вдоль нее так, что перемещение пропорционально углу поворота. Описываемая этой прямой поверхность называется винтовой поверхностью. Напишите параметрическое представление винтовой поверхности и дайте ее изображение.

10. Обобщенная винтовая поверхность. В условии предыдущей задачи замените прямую линией , . Напишите параметрическое представление описываемой поверхности. Полагая
1) ; 2) ,
напишите параметрические представления и дайте изображения полученных поверхностей.

11. Трубчатая поверхность образована всеми окружностями постоянного радиуса с центрами на кривой расположенными в нормальных плоскостях этой кривой. Считая, что — естественный параметр кривой, кривизна кривой отлична от нуля и , составьте параметрическое представление трубчатой поверхности.

Решение. (рис. 25) Представим радиус — вектор точки поверхности в виде суммы где — полярный угол в нормальной плоскости
кривой , отсчитываемый от главной нормали по направлению к бинормали, — соответствующий «полярный радиус». Тогда где и — единичные векторы главной нормали и бинормали в точке, соответствующей значению естественного параметра. Заметим, что в естественной параметризации и
Эти уравнения позволяют выразить единичные
направляющие векторы трехгранника Френе через производные вектора

Подстановка в выражение для радиус — вектора приводит к окончательному выражению

Докажите, что нормаль трубчатой поверхности пересекает кривую и является ее нормалью.
Указание. Воспользуйтесь формулами Френе.

Составьте параметрическое представление трубчатой поверхности, если
1$»>, а радиус образующей окружности .

12. Докажите, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности , не зависит от выбора точки на поверхности.

13. Докажите, что касательные плоскости к поверхности образуют с координатными плоскостями тетраэдры постоянного объема.

14. Докажите, что касательные плоскости к поверхности в точках образуют пучок плоскостей.

15. Дана кривая , где — естественный параметр. Найдите первую квадратичную форму поверхности, образованной
1) касательными к кривой ;
2) главными нормалями;
3) бинормалями кривой .

16. На поверхности, образованной касательными к кривой , где — естественный параметр,
1) составьте дифференциальное уравнение ортогональных траекторий к семейству прямолинейных образующих;
2) напишите дифференциальное уравнение линий, пересекающих прямолинейные образующие под постоянным углом ;
3) убедитесь в том, что область этой поверхности наложима на плоскость.

17. Дан прямой геликоид .
1) Вычислите его первую квадратичную форму.
2) Найдите угол между координатными линиями как функцию точки.
3) Составьте уравнение биссекторных линий для линий координатной сети.
4) Проверьте, что сеть, дифференциальное уравнение которой имеет вид
, ортогональна.
5) Вычислите площадь четырехугольника, ограниченного линиями , , , .
6) Покажите, что прямой геликоид наложим на катеноид с образующей
, , ( ) .

18. Дан прямой круговой цилиндр .
1) Вычислите его первую квадратичную форму.
2) Найдите угол между координатными линиями как функцию точки.
3) Составьте уравнения линий, пересекающих образующие под постоянным углом.
4) Найдите уравнение ортогональных траекторий семейства линий
.
5) Вычислите площадь треугольника, ограниченного линиями
.
6) Докажите, что прямой круговой цилиндр наложим на плоскость.

19. Представление псевдосферы имеет вид

1) Вычислите ее первую квадратичную форму.
2) Найдите на псевдосфере линии, пересекающие меридианы под постоянным углом (локсодромы).
3) Найдите площадь поверхности псевдосферы.
4) Вычислите длину дуги линии между точками

20. Дана сфера
а) Найдите ее первую квадратичную форму.
б) Напишите уравнения ортогональных траекторий семейства линий
.
в) Составьте уравнение локсодромы — линии на сфере, которая пересекает меридианы под постоянным углом .