Уравнение поверхности вращения кривой вокруг оси

Уравнение поверхности вращения кривой вокруг оси

Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

§ 75*. Поверхности вращения

1. Пусть в плоскости р задана кривая L и некоторая прямая l. Поверхность, которая получается вращением кривой L вокруг прямой l, называется поверхностью вращения.

Пусть кривая L лежит в плоскости хОу (рис. 216) и имеет уравнение

y = f(x), х [а; b]. (1)

Найдем уравнение поверхности, которая получится вращением кривой L вокруг оси Ох (рис. 217).

Очевидно, точка M с координатами (х; у; z), где х [а; b], принадлежит искомой поверхности вращения тогда и только тогда, когда

Действительно, точки (х; у; z) и (х; f(x); 0) лежат на одной окружности с центром в точке (х; 0; 0).

Таким образом, уравнение поверхности, полученной вращением кривой (1) вокруг оси Ох, имеет вид

y 2 + z 2 = (f(x)) 2 , х [а; b]. (2)

Заметим, что уравнение (2) получается из уравнения (1) следующим образом:
обе части уравнения (1) возводятся в квадрат и y 2 заменяется на y 2 + z 2 ,

В частности, если кривая L задана уравнением

то уравнение поверхности, полученной вращением этой кривой вокруг оси Ох, имеет вид

т. е. просто y 2 заменяем на y 2 + z 2 .

2. Поверхность, которая получается вращением эллипса вокруг одной из его осей, называется эллипсоидом вращения.

Пусть в плоскости хОу эллипс задан уравнением

(5)

Составим уравнение поверхности, полученной вращением его вокруг оси Ох. Уравнение эллипса (5) приводится к виду (3), следовательно, для получения уравнения эллипсоида вращения достаточно в уравнении (5) y 2 заменить на y 2 + z 2 . После замены получим

(6)

Это уравнение обычно записывают так:

При а > b уравнение (6) определяет эллипсоид вращения, вытянутый вдоль оси Ох (рис. 218), при а 2 на y 2 + z 2 , получим искомое уравнение эллипсоида вращения:

3. Поверхность, которая получается вращением гиперболы вокруг одной из ее осей, называется гиперболоидом вращения. При вращении гиперболы вокруг ее действительной оси получается двуполостный гиперболоид вращения (рис. 220), а при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси получается однополостный гиперболоид вращения (рис. 221).

Пусть в плоскости хОу гипербола задана уравнением

(7)

Составим уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы вокруг ее действительной оси Ох. Уравнение гиперболы (7) приводится к виду (3); следовательно, для получения уравнения поверхности двуполостного гиперболоида вращения достаточно в уравнении гиперболы (7) y 2 заменить на y 2 + z 2 . После замены получим

(8)

При вращении гиперболы (7) вокруг ее мнимой оси нужно в уравнении (7) x 2 заменить на x 2 + z 2 ; после замены получим

(9)

Задача 2. Гипербола с полуосями а = 3 и b = 4 вращается вокруг своей мнимой оси, совпадающей с осью Оу. Центр гиперболы совпадает с началом координат. Составить уравнение поверхности, полученной при вращении этой гиперболы.

Составим уравнение гиперболы:

Чтобы получить уравнение гиперболоида вращения, в уравнении гиперболы x 2 заменим на x 2 + z 2 . После замены получим

4. Поверхность, которая получается вращением параболы вокруг ее оси симметрии, называется параболоидом вращения (рис. 222).

Пусть на плоскости хОу парабола задана уравнением

Для получения уравнения поверхности вращения нужно в уравнении (10) x 2 заменим на x 2 + z 2 ; после замены получим

Отметим одно замечательное свойство этой поверхности. Если внутреннюю поверхность параболоида вращения сделать зеркальной, а в ее фокусе (фокусом параболоида вращения называется фокус вращаемой параболы) поместить источник света, то все лучи света, отражаясь от поверхности параболоида, пойдут параллельно оси параболоида.

Это свойство широко используется при изготовлении светоотражающих устройств (прожекторов, фар автомобиля, кинопроекторов и других приборов).

Задача 3. Составить уравнение поверхности, полученной вращением параболы y 2 = 2х вокруг оси Ох.

Чтобы составить уравнение параболоида вращения, полученного вращением параболы вокруг оси Ох, нужно в уравнении y 2 = 2х заменить y 2 на y 2 + z 2 , после замены получим

5. Если вращать прямую, параллельную какой-либо оси координат, вокруг этой оси, то получится круговая цилиндрическая поверхность.

Пусть дана прямая, лежащая в плоскости yOz и имеющая уравнение у = а. Легко видеть, что поверхность вращения этой прямой вокруг оси Oz имеет уравнение

Эта цилиндрическая поверхность изображена на рис. 223.

Задача 4. Составить уравнение цилиндрической поверхности, полученной вращением прямой у = 3, лежащей в плоскости хОу вокруг оси Ох.

В уравнении y 2 = 3 2 заменим y 2 на y 2 + z 2 , в результате получим

6. Пусть дана прямая, лежащая в плоскости yOz и проходящая через начало координат:
y = kz, k =/= 0.

Очевидно, уравнение поверхности вращения этой прямой вокруг оси Oz имеет вид

Полученное уравнение является уравнением искомой поверхности вращения, которая называется круговой конической поверхностью (рис. 224).

Задача 5. Составить уравнение поверхности вращения прямой 2х = 3у, z =0 вокруг оси Ох.

Из уравнения 3у = 2х, используя формулу (2), находим 9(y 2 + z 2 ) = 4x 2 . Это и есть искомое уравнение.

Уравнение поверхности вращения кривой вокруг оси

Рассмотрим сечение плоскостью у = 0. Получается парабола = z, её ветви направлены вверх, вершина в точке (0, 0, 0).

Рассмотрим сечение плоскостью x = h. Это опять парабола:

Её ветви направлены вниз, вершина смещена по оси OZ на величину . то есть находится в точке . Заметим, что эта точка лежит на параболе

Теперь, изменяя h, видим, что поверхность гиперболического параболоида состоит из парабол, расположенных в плоскостях x = h, вершины которых находятся на параболе .

Общее выражение поверхности вращения

Сфера

Метод сечений

Эллипсоиды

Цели занятия:изучить понятие поверхностей второго порядка; на основе полученных знаний по теме «Кривые второго порядка»; изучить метод сечений и научиться строить поверхности второго порядка.

Роль и место лекции

В предыдущих лекциях были даны такие понятия аналитической геометрии, как кривые второго порядка, плоскость и прямая в пространстве. Понимание этих тем особенно важно для восприятия данной лекции. Она позволит сформировать математическое пространственное мышление. Для лучшего усвоения материала необходимо рассматривать пространственные объекты в сечениях или в разрезе. Когда сформируется представление о геометрическом объекте, необходимо представить его в целом.

Предложенный материал особенно важен для тех специальностей, где необходимо строить геометрические модели объектов. Например, в географии при моделировании планетарных поверхностей и их участков, моделировании объемных тел залежей ископаемых; в программировании при компьютерной анимации (понятие «полигон» непосредственно связано с геометрическими фигурами в пространстве); в астрономии при построении траекторий движения космических тел; в биологии в вопросах, связанных с необходимостью исследования функций многих переменных, например зависимости популяции от среднегодовой температуры и широты местности, а так же при построении эквипотенциальных поверхностей и линий уровня.

Общее выражение поверхности вращения

Вывод уравнения поверхности

Определение 1

Поверхности второго порядка – это такие поверхности, которые описываются алгебраическими уравнениями второго порядка.

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг координатной оси.

Пусть дано уравнение кривой (рис. 1):

, (1)

где – текущие координаты кривой L. Т. е. Z=0 Образуем поверхность вращением L вокруг оси Oy. Возьмем некоторую точку на образованной поверхности . Проведем через эту точку плоскость . Обозначим – точка пересечения этой плоскости с осью Oy, а – точка пересечения этой плоскости с кривой L. Ординаты трех точек равны, поскольку лежат в одной плоскости , т. е. . Очевидно или ,

, или откуда . (2)

Подставим (2) в (1) получим уравнение

(3)

с тремя переменными , являющихся координатами точек поверхности, следовательно (3) есть уравнение поверхности вращения . Сравнивая (1) и (3) можно определить правило образования поверхности вращения.

1.2. Правило образования поверхности вращения

Чтобы из уравнения кривой получить уравнение поверхности вращения надо в уравнении кривой оставить неизменной переменную, одноименную с осью вращения, а другую заменить корнем квадратным из суммы квадратов заменяемой переменной и недостающей в уравнении кривой.

Найти уравнение поверхности, образованной . Будем вращать кривую вокруг оси Ox. Согласно правилу образованная поверхность будет описываться уравнением или . Это уравнение сферы с центром в начале координат, R – радиус.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки – центра сферы.

Зададим центр сферы , R – радиус. Тогда согласно определению определим выражение или

. (4)

Это уравнение сферы в каноническом виде. Раскроем скобки. Тогда уравнение (3) запишем в виде общего

алгебраического уравнения второго порядка. Т. е. сфера принадлежит к уравнениям второго порядка. Чтобы от общего уравнения перейти к каноническому надо выделить полные квадраты .

Признаки, характеризующие уравнение сферы:

— коэффициенты при квадратах текущих координат равны;

— отсутствуют члены, содержащие произведения текущих координат.

Изобразить тело, ограниченное поверхностями: , , .

Решение. В первом уравнении выделим полный квадрат или . Это сфера в центром . Уравнение – плоскость, проходящая через начала координат и ось . Тело отсекаемое этими поверхностями имеет вид (рис. 2).

3. Метод сечений

Этот метод позволяет определить вид поверхности и изобразить ее. Метод сечений состоит в следующем.

1. Находят уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями или плоскостями параллельными им. При этом необходимо решать систему уравнений.

2. Изображая каждую линию сечения, получают изображение поверхности.

3. Два одинаковых типа сечений дают название поверхности, а третье сечение, отличное от двух одинаковых, дает определение к названию. Например, если в сечениях две параболы и один эллипс, следовательно, поверхность эллиптический параболоид.

Получим поверхность, вращая кривую – эллипс вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид

. (5)

Для исследования этой поверхности применим метод сечений.

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – эллипс.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – окружность.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – эллипс.

Два эллипса, одна окружность, следовательно, это эллипсоид вращения рис. 3. Если эллипсоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получается трехосный эллипсоид или эллиптический эллипсоид

.

4.1. Однополостный гиперболоид

Получим поверхность, вращая кривую – гиперболу вокруг оси . Согласно правилу уравнение поверхности будет иметь вид

. (6)

Для исследования этой поверхности применим метод сечений.

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или

– окружность.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – гипербола.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – гипербола.

То есть это гиперболоид вращения рис. 4.

4.2. Двуполостный гиперболоид

Получим поверхность, вращая кривую – гиперболу вокруг оси . Уравнение поверхности будет иметь вид

. (7)

Для исследования этой поверхности применим метод сечений.

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – гипербола.

2. Сечение плоскостью , поскольку при решений нет (мнимая окружность), поэтому делаем сечение параллельной плоскостью, тогда

или – окружность. Отметим, что при

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – гипербола.

Следовательно, это гиперболоид вращения рис. 5.

4.3. Эллиптический гиперболоид

Если гиперболоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получается эллиптический гиперболоид

;

.

В лекции дан метод сечений, используемый при построении поверхностей второго порядка. Понимание предложенного материала важно для изучения следующей лекции, посвященной параболоидам, цилиндрическим и коническим поверхностям. Важно понять, что аналитическая геометрия в пространстве отличается от аналитической геометрии на плоскости только лишней размерностью. Очевидно, что при необходимости можно рассматривать геометрические законы и в n-мерном пространстве. С точки зрения теории множеств поверхность – это отображение элементов множества декартовой плоскости (или упорядоченных пар) в элементы множества действительных чисел.

Отметим наиболее важное:

— поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка;

— поверхности вращения образуются вращением плоской кривой второго порядка вокруг координатной оси;

— из уравнения кривой можно получить уравнение поверхности;

— если вращение осуществлять не по круговой, а по эллиптической траектории, то можно получить эллиптические поверхности;

— метод сечений заключается в рассмотрении кривых, образуемых при сечении поверхности некоторыми плоскостями

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.