Уравнение поверхности вращения по оси oz
Рассмотрим сечение плоскостью у = 0. Получается парабола = z, её ветви направлены вверх, вершина в точке (0, 0, 0).
Рассмотрим сечение плоскостью x = h. Это опять парабола:
Её ветви направлены вниз, вершина смещена по оси OZ на величину . то есть находится в точке . Заметим, что эта точка лежит на параболе
Теперь, изменяя h, видим, что поверхность гиперболического параболоида состоит из парабол, расположенных в плоскостях x = h, вершины которых находятся на параболе .
Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0)
этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом
, целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением
F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.
Эллипсоид:
Мнимый эллипсоид.
где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Эллипсоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается
Однополостной гиперболоид.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Однополостной гиперболоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается
эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостной гиперболоид.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям
Ox и Oy, – гипербола.
В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной
гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.
Эллиптический параболоид.
Свойства эллиптического параболоида.
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает:
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а
плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:
Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную
вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через
вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.
Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
Главная > Документ
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности
1. Поверхности вращения.
пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.
Пусть , тогда ее можно задать уравнениями
Уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси Oz будет иметь вид:
(1)
2. Цилиндрические поверхности .
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и вектор , не параллельный плоскости этой линии.
Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .
иния называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.
Рассмотрим частный случай: направляющая линия лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями: а направляющий вектор образующих имеет координаты , .
В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид
. (2)
Получите уравнение поверхности вращения (1).
Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).
Основные типовые задачи.
Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.
Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.
Примеры решения задач.
Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .
Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид
(3)
При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .
Обозначим координаты точки M ( x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то
,
.
Последнее равенство запишем в координатах
. (4)
Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)
,
,
.
Возведем последнее равенство в квадрат.
и подставим выражение для из равенства (4), получим
(5)
Уравнение (5) – искомое.
Ответ: .
Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 2; –1>.
Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке . Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то . Составим канонические уравнения прямой l
.
Приравняем первую и вторую дроби к последней
(6)
Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:
.
Подставляя выражения для и из системы (6), получим
. (7)
(7) – искомое уравнение.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения.
Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы , х= 0 вокруг оси Oz .
Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy каждой из следующих кривых, расположенной в плоскости xOy :
а) эллипса ;
б) гиперболы ;
в) параболы .
Написать уравнение поверхности, образованной вращением синусоиды вокруг оси Oz .
Напишите уравнение поверхности, образованной вращением прямой , вокруг оси Ox .
Докажите, что поверхность, образованная вращением вокруг оси Oz линии l , заданной уравнениями , имеет уравнение .
Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом из следующих случаев:
а) Направляющая лежит в плоскости и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 0; 1>;
б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение , а образующие параллельны оси Ox ;
в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью , а образующие параллельны оси Oy.
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:
а) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна вектору ;
б) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна прямой x = y = z .
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая параллельна оси Ox .
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая перпендикулярна плоскости направляющей.
Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.
Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, если ось вращения совпадает с осью Oz , а радиус r= 5.
Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси , , и координаты одной из ее точек .
Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси l и координаты одной из ее точек М :
а) , , , М (2; 0; 1);
б) l : , М (2; –1; 1).
Тема: Конические поверхности.
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.
Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .
Линия называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.
ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением: .
В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид
. (1)
Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,
то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:
. (2)
Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.
Сечения конуса второго порядка:
Пусть плоскость не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость пересекает конус:
а) по эллипсу, если пересекает все образующие конуса;
б) по гиперболе, если параллельна двум образующим конуса;
в) по параболе, если параллельна одной образующей конуса.
Получите уравнение конической поверхности (1).
Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).
Основные типовые задачи.
Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.
Примеры решения задач.
Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями
Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке . Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)
,
.
Выразим из последней системы и : , . Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:
(3)
Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)
,
,
,
. (4)
, . (5)
Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)
,
,
.
Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.
Задачи для самостоятельного решения.
Написать уравнение конической поверхности, если:
а) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (1; 0; 1);
б) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1);
в) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1).
г) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; с ).
Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке S(1; 2; 4), образующие которой составляют с плоскостью угол =45.
Написать уравнение конической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а вершина находится в точке .
Найти уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат, которая проходит через линию пересечения:
а) гиперболоида и сферы ;
б) эллипсоида и плоскости .
Напишите уравнение круговой конической поверхности, если известны уравнения ее оси l : и координаты одной из ее точек М(3; –4; 5).
Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.
http://www.calc.ru/Poverkhnosti-Vtorogo-Poryadka-Poverkhnosti-Vrashcheniya.html
http://gigabaza.ru/doc/130939-p11.html