Уравнение поверхности вращения вокруг oz

Уравнение поверхности вращения вокруг oz

Рассмотрим сечение плоскостью у = 0. Получается парабола = z, её ветви направлены вверх, вершина в точке (0, 0, 0).

Рассмотрим сечение плоскостью x = h. Это опять парабола:

Её ветви направлены вниз, вершина смещена по оси OZ на величину . то есть находится в точке . Заметим, что эта точка лежит на параболе

Теперь, изменяя h, видим, что поверхность гиперболического параболоида состоит из парабол, расположенных в плоскостях x = h, вершины которых находятся на параболе .

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀)

этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом

, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением

F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:

Мнимый эллипсоид.

где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Эллипсоид обладает:

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается

Однополостной гиперболоид.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Однополостной гиперболоид обладает:

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно всех координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается

эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Двуполостной гиперболоид.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно всех координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при

получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям

Ox и Oy, – гипербола.

Эллиптический параболоид.

В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной

гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает:

• осевой симметрией относительно оси Oz,

• плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную

вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через

вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z₀>0 является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x₀ или y=y₀ является параболой.

Поверхности вращения

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 4596 ; Нарушение авторских прав

Поверхностью вращения называется множество точек,которое образуется при вращении некоторой плоской линии l вокруг оси.

Линия l называется меридианом поверхности вращения, а ось — её осью вращения. Отметим, что при вращении меридиана вокруг оси каждая его точка описывает окружность.

Рассмотрим поверхность, полученную вращением линии l вокруг оси Oz. Пусть линия l расположена в плоскости OYZ и задана уравнениями:

Уравнение вращающейся линии надо преобразовать так, чтобы оно стало уравнением поверхности вращения.

Пусть М(x; y; z) — произвольная точка поверхности. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную оси Oz; эта плоскость пересечет поверхность по окружности с центром в точке О` на оси Oz: O`(0; 0; z). Обозначим буквой N точку пересечения указанной окружности и линии l. Точка N имеет координаты (0; Y; Z). (Рис.8.6.)

Поскольку длины отрезков (O`N) и (O`M) равны между собой (как радиусы одной и той же окружности), т.е. и то .

Т.к. точка , то отсюда (8.3.)

Итак, координаты произвольной точки M(x; y; z), принадлежащей поверхности вращения, удовлетворяют уравнению (8.3.).

Уравнение (8.3.) и является уравнением поверхности вращения(поверхность полученная вращением линии l, лежащей в плоскости Ozy, вокруг оси Oz).

Замечание: Уравнение (8.3.) поверхности вращения получается из уравнения линии l в результате следующих формальных действий: заменяют «y» на « ».

Аналогично, если ту же линию l вращать вокруг оси Oy, то полученная поверхность вращения будет иметь уравнение .

Если линия l лежит в плоскости Oxy и задана уравнениями то уравнения поверхностей, полученных от вращения l вокруг осей x или y, имеют соответственно вид: или .

Пример 8.3.1. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы вокруг оси Ох.

Решение:

Пример 8.3.2. Окружность радиуса r вращается около прямой l, лежащей в той же плоскости, что и окружность, и отстоящей от центра С последней на расстоянии R. Составить уравнение поверхности вращения, при условии, что R > r.

Решение: Примем плоскость окружности за плоскость ху, ось вращения — за ось у. С(R,0).

Уравнение окружности:

Уравнение поверхности вращения:

или , — поверхность 4-го порядка.

Замечание. Если R > r, то эта поверхность называется шаром.

8.4. Поверхности второго порядка заданные каноническими уравнениями

Будем рассматривать различные поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями. Чтобы судить о форме этих поверхностей по виду их уравнений, будем использовать так называемый метод сечений.

Сущность метода сечений состоит в том, что рассматриваются линии пересечения данной поверхности с различными плоскостями.

Во многих случаях полезно рассекать поверхность плоскостями параллельными одной из координатных плоскостей, или плоскостями координат.

Зная ряд сечений, получаем представление о самой поверхности.

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!