Уравнение поверхности жидкости во вращающемся сосуде

Работа 3. Исследование формы поверхности жидкости во вращающемся сосуде . (10-й класс)

Работа 3. Исследование формы поверхности жидкости во вращающемся сосуде
(10-й класс)

Получить аналитическое выражение для кривой, образуемой поверхностью воды в плоской кювете, вращающейся с постоянной угловой скоростью, связать коэффициенты функции с характеристиками жидкости и параметрами вращения.

Теоретические основы работы

Рассмотрим жидкость, вращающуюся вместе с сосудом с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси OY. Оси координат инерциальной системы отсчета выберем так, как показано на рисунке.

Рассмотрим условие равновесия вертикального столбика жидкости АВ = y, находящегося на расстоянии x от оси вращения. Если площадь DS основания столбика мала, условие равновесия столбика вдоль оси OY запишется как

,

где m =ryDS – масса столбика, p0 – атмосферное давление, p1 – давление у основания столбика. Тогда

(1)

Согласно закону Паскаля, давление p1 характеризует силу воздействия жидкости в окрестности точки А как на вертикальный столб АВ снизу, так и на горизонтальный столб АО слева. Поэтому для определения p1 рассмотрим движение горизонтального столбика ОА того же поперечного сечения DS, вращающегося вокруг оси OY. Он вращается как твердое тело. Для описания вращающегося твердого тела воспользуемся теоремой о движении центра масс столбика, находящегося в точке с координатами :

.

Здесь – масса горизонтального столбика, — сумма всех сил, действующих на горизонтальный столбик OA. В проекции на ось OX это уравнение запишется как

.

Проекция ускорения центра масс столбика при его движении по окружности

,

(2).

Сопоставляя это выражение с уравнением (1), получим , то есть кривая y(x) в сечении жидкости плоскостью OXY описывается функцией , графиком которой является парабола с вершиной в точке О.

Следовательно, поверхность жидкости является поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси OY.

Оборудование

· ПК с программой для видеоанализа

· Плоская пластиковая кювета с подкрашенной водой

· Штатив с лапкой для крепления электродвигателя

· Видеокамера (фотоаппарат с функцией видеосъемки) на штативе

Порядок проведения эксперимента

Сфотографируйтесь рядом с установкой. Замкните ключ, дождитесь, когда кювета раскрутится до вращения с постоянной скоростью, и снимите вращение кюветы с водой фотоаппаратом, работающим в режиме видеосъемки, или на видеокамеру в течение нескольких секунд. Объектив камеры должен располагаться на расстоянии не менее 1 м от кюветы напротив середины ее большей вертикальной грани. Ось объектива – горизонтальна.

4. Отключите электродвигатель от блока питания и замерьте высоту (ширину) кюветы.

5. Загрузите файлы с результатами фото — и видеосъемки на ваш рабочий компьютер, используя специальный кабель.

Обработка и анализ результатов

(описание для обработки в программе «1С:Измеритель»).

1. Загрузите в программу «1С:Измеритель» для обработке фото и видео видеофайл с вращающейся кюветой. Если видеофайлы имеют расширение, иное от *.avi и *.wmv (например, *.mov), то следует воспользоваться стандартными конверторами видеофайлов и перевести их в этот формат.

Проводя покадровый просмотр видеофайла, найдите кадр, где большая грань кюветы находится в плоскости, перпендикулярной оси объектива камеры. Используя кнопку «t=0», выберите этот кадр за начало отсчета. Листая по кадрам видеофайл, найдите следующий кадр, когда кювета с водой, совершив один оборот, оказалась в таком же положении, и, используя инструмент «Точка» , пометьте этот кадр. В таблице результатов во вкладке «Точки» должны появится номер и время кадра, на котором вы поставили «Точку». Пролистайте таким образом кадры, в течение которых груз совершит 10 оборотов вокруг оси вращения. Для того чтобы не ошибиться в счете, рекомендуется после каждого полного оборота кюветы ставить на кадре «Точку». Тогда в таблице будет заполнено 10 строк с номером кадра и временем его фиксирования после начала отсчета. Экспортируйте данные по периоду вращения груза в программу обработки результатов Excel, воспользовавшись в таблице с результатами измерения кнопкой «Экспорт таблиц в Excel». Если вы не фиксировали каждый полный оборот кюветы установкой «Точки» на экране и число строк таблицы не соответствует числу оборотов кюветы, то рекомендуется на этом этапе ввести в таблице Excel дополнительный столбец «N», показывающий число оборотов кюветы за время, зафиксированное в строке.

Сохраните файл с таблицей в виде отдельного файла с названием «Таблица 1.xls». В загруженном видеофайле найдите кадр, в котором большая вертикальная плоскость кюветы перпендикулярна оси объектива камеры, с помощью которой проводилась видеосъемка. Зафиксируйте положение точек поверхности вращающейся жидкости в выбранной системе координат:

— установите систему координат на кадр. Рекомендуется ось OX расположить вертикально, начало координат поместить в самой нижней точке поверхности вращающейся жидкости;

— растяните масштабный отрезок вдоль вертикального ребра кюветы и введите его реальную длину и единицы измерения в соответствующие окна на экране «Измерителя по обработке фото и видео»;

— используя инструмент «Точка» , поставьте 15–20 точек вдоль всей линии показывающей форму поверхности жидкости во вращающейся кювете. В таблице элементов на вкладке «Точки» появятся номер кадра, на котором вы проводите фиксирование формы поверхности, и координаты всех поставленных точек в выбранной системе координат;

— экспортируйте таблицу в Excel с помощью соответствующей кнопки и сохраните файл с этими данными в редакторе таблиц Excel, присвоив ему название «Таблица2.xls».

Сохраните вид экрана с результатами обработки в виде рисунка, перенесите вид экрана в Буфер обмена (кнопка Print Screen на клавиатуре), а затем в любой графический редактор, например Paint, и сохраните рисунок в виде файла с названием, например «Результат обработки 1.jpg». Этот файл понадобится вам для подготовки отчета. Сохраните на всякий случай результаты обработки данного кадра, воспользовавшись в программе «Измеритель по обработке фото и видео» опцией Файл – Сохранить проект и дав проекту название, например «Проект 1.rul». Это позволит при обнаружении в дальнейшей работе с полученными данными неверных действий на данном этапе вернуться к повторной обработке того же файла с того же места.

Обработку результатов можно произвести в редакторе таблиц Excel, используя его возможности для графического представления информации из таблиц. Рекомендуется воспользоваться Шаблоном для обработки данных работы «Исследование формы поверхности жидкости во вращающемся сосуде», в который можно загрузить данные из файлов «Таблица1.xls» и «Таблица2.xls» путем копирования содержимого ячеек или соответствующих фрагментов таблиц. В шаблоне имеется два листа – «Период вращения кюветы» и «Данные по одной точке».

Ячейки таблицы, окрашенные желтым, должны быть заполнены данными из таблицы в файле «Таблица1.xls», столбец «Число оборотов N от начала отсчета» вручную, если не был заготовлен заранее в файле «Таблица1.xls».

Ошибка измерения времени на экране Dt = 0,04 с внесена в Шаблон заранее, как время смены одного кадра на экране. Если вы используете более совершенную камеру
(с большим числом кадров в 1 с), точность будет другая и вам следует изменить данные в столбце «Ошибка измерения времени Dt, с».

Заполнение ячеек в первых четырех столбцах приводит к автоматическому заполнению остальных ячеек, окрашенных зеленым. Так, относительная ошибка в определении периода считается относительной ошибкой измерения времени (Dt/t)×100%, а ее окончательное значение выбирается минимальным из всех полученных, значение периода и абсолютная ошибка периода считаются исходя из строчки с минимальной относительной ошибкой периода. В данном примере – на основании последней строки T=11,96/25=0,478 c, DT=T×(0.3%/100%)=0,001 c.

Вид Шаблона на листе «Данные по одной точке» показан ниже.

В желтые ячейки таблицы копируются значения из «Таблица2.xls». В правой части имеется инструментарий для графика экспериментальных данных Y(X) и сопоставления этого графика c графиками функций, приведенных в списке типовых функций на странице. Данные в ячейки, окрашенные фиолетовым цветом, вводятся с клавиатуры при уточнении коэффициентов подбираемых функций. На рисунке синим показан график экспериментальных данных, а красным – график функции Y=Аln|X|+B при значениях А=1 и В=1.

Внимание! Аналитический вид функциональной зависимости, описываемый данным графиком, сильно зависит от расположения системы координат. Если вы решите, что вы неудачно выбрали начало или направление осей OX и OY, то можно вернуться к обработке кадра видео с выбором системы координат и нанесением точек вдоль линии, отображающей форму поверхности жидкости в кювете (п. 6 раздела Порядок проведения измерений с использованием «Измерителя по обработке фото и видео»).

Для этого можно, открыв «Измеритель по обработке фото и видео», загрузить старый проект (файл «Проект 1.rul», который вы создали перед закрытием программы «Измеритель по обработке фото и видео»). После загрузки проекта можно выбрать опцию Правка – Выделить все, стереть результаты предыдущей работы и выбрать новое расположение системы отсчета, масштабного отрезка и нанести новые точки на кадр.

Вопросы и задания для предварительного опроса и защиты ЛР

Распечатайте кадр с вращающейся жидкостью, на котором кювета повернута большей боковой гранью перпендикулярно к оси видеосъемки. Выделите на нем фрагмент жидкости вблизи границы раздела вода – воздух и изобразите силы, действующие на этот фрагмент. Куда направлена равнодействующая сил, действующих на выделенный фрагмент жидкости? Одинаково ли давление во всех точках вращающейся жидкости, находящихся на горизонтальной прямой, проходящей через нижнюю точку границы раздела воздух–жидкость? Как связаны координаты X и Y точек, лежащих на границе раздела жидкость – воздух в кювете, вращающейся с периодом Т в системе координат, оси которой расположены вертикально и горизонтально, а начало координат расположено в нижней точке С границы раздела? Как будет выглядеть зависимость Y(X) в системе координат, сдвинутой относительно точки С (см. п. 4) на расстояние d вправо? влево? вверх? вниз? с осью OY, повернутой вниз? Вода налита в сосуд в форме параллелепипеда высотой и шириной 10 см и в состоянии покоя заполняет его на одну треть. При какой частоте вращения покажется дно сосуда? жидкость начнет выливаться через край сосуда?

Отчет

Отчет рекомендуется готовить в текстовом редакторе Word, доступном на школьных компьютерах и знакомом вам по урокам информатики. Вы сможете вставить в него различные данные и графические иллюстрации, подготовленные в ходе выполнения работы, путем копирования фрагментов цифровых ресурсов.

Отчет обязательно должен содержать:

1) фамилии и имена, класс, исполнителей работы с фотографией на фоне установки;

2) вид установки с выносками, поясняющими названия и предназначение ее компонентов (электродвигатель, крепеж, кювета, источник питания), описание условий фото — и видеосъемки (тип фотоаппарата, число кадров в секунду, разрешение матрицы, расстояние до установки и расположение точки съемки относительно кюветы);

3) таблицу исходных данных по измерению периода вращения кюветы и итоговые числовые значения периода с указанием точности измерений;

4) рисунок, иллюстрирующий процедуру фиксирования формы поверхности жидкости на экране компьютера с демонстрацией положения системы координат и масштабного отрезка;

5) таблицу исходных данных по координатам точек на границе вода–воздух на кадре с вращающейся кюветой.

6) график, показывающий степень соответствия экспериментальных данных и теоретической аналитической зависимости при указанных коэффициентах;

7) вывод по следующему образцу.

При w0 = 0 форма поверхности описывается прямой y=0.

При w1 =____ с-1 наблюдаемая форма поверхности описывается кривой с уравнением f(X)=__________

где А=____, В=______, С=______

Это с теоретической зависимостью ___________________, из которой можно, зная значение w1 =______, с-1 и А=_____ , оценить значение ускорения свободного падения g»______ .

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси. В состоянии равновесия в движущемся сосуде жидкость движется вместе со всем контейнером. То есть, жидкость находится в относительном состоянии покоя. Рассмотрим цилиндрический контейнер радиусом H (рис. 2.9), заполненный до определенного уровня жидкостью плотностью p и вращающийся с постоянной угловой скоростью относительно вертикальной оси.

Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием трения вращается с той же скоростью, что и сосуд. Равновесие жидкости устанавливается для сосуда, другими словами, для неинерциальных систем координат x, y, r, которые вращаются вместе с сосудом. При написании уравнений равновесия в неинерциальных системах необходимо ввести силу подвижной инерции в число рабочих forces.

В абсолютно покоящейся жидкости (сосуд неподвижен) действующей массовой силой (в поле сил тяжести) является только сила тяжести. Людмила Фирмаль

• В рассматриваемом случае такая сила направлена вдоль радиуса и равна & M (центробежная сила равна n2g элементарной массы AM, которая вращается на расстоянии r от вертикали axis. In помимо центробежной силы, гравитация DM ^действует на любую частицу AM-это: за счет силы тяжести ^ = ° ;=°; ПГХ = —§; От портативной инерции п *. = ® ГХ \ Риш-0)2 в> пр%= 0、 Где*и y-горизонтальные координаты произвольно выбранной точки А в жидкости. Рассмотрим 2 вопроса здесь. 39.

Форма поверхности одинакового давления. Используйте уравнение поверхности равного давления (2.10)’ Rhyh + ру ю + Rghyg-0 Когда вы назначаете ему выражения Px, Py и Pr, вы находите co2 x yx + co2 yy-diig-0. После интеграции、 гг-(* 2 + У2) §Р= С Или Х2 + У2-Г2.、 СО2-Р2 / 2 §р= с(2.23） Как видно из (2.23), поверхность равного давления в этом случае представляет собой семейство совпадающих 1-вращающихся параболоидов с вертикальной осью. Различные значения константы C соответствуют различным параболам одинакового давления.

• Свободная поверхность это также поверхность, на которой давление во всех точках равно давлению, равному внешнему давлению p0. Найти значение любой константы c параболоида свободной поверхности. Х-0; У = 0; РСВ = Р0.Если подставить эти координаты в Формулу (2.23), то: Ц0 = § 0. Уравнения свободной поверхности * С ш-Р0 = ^ (*2 +! 2. ） 2-й. Или Огнестрел-20 = СО2 Г2 / 2Д, (2.24） Частицы жидкости, находящиеся в относительном стационарном состоянии во вращающемся сосуде на расстоянии радиуса r от оси вращения, имеют линейную скорость u-(π.

Высота, на которой точка свободной поверхности выше вершины параболоида(например、 Б = РК-Р0 = СО2 Р2 /2§= С2 / 2С (2.25） 1 матч-фигура, которая будет объединена при наложении. 40. 20 ордината вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от количества жидкости в сосуде. Если перед вращением сосуда уровень жидкости был установлен на горизонтальную и высоту H, то объем жидкости был равен 2N2H.

Законы относительного равновесия жидкости находят широкое применение в промышленности, а именно, в измерительной технике (жидкостные тахометры), в металлургии (центробежное литье) и других областях техники. Людмила Фирмаль

• При вращении сосуда свободная поверхность становится параболой, форма объема жидкости изменяется, а величина при p = const <остается неизменной： | (Р0 +(r212d О2 ） О После интеграции、 Ч ■= рН + П2 К2 / 4Д Или Р0 = я-п * д * / 4#. Предполагая, что 20 = 0, мы знаем угловую скорость a, когда свободная поверхность жидкости касается дна контейнера. w = 2 Уды / я. Закон распределения давления. Используя дифференциальное уравнение жидкостных равновесий (2.5) и подставляя в него проекцию распределения плотности массовых сил, он выглядит следующим образом: гг = pY2(xc1x + ыыы) Сделай сам.

После интегрирования уравнения(2.26)、 / ? п(w2g72-ДГ)+ КБ(2.27） Если подставить координаты r = 0, r-r0 и давление p = p0 в уравнение (2.27), то получим Cp. С1! = Р0-Р (н0)= Р0 + rd0 Подставляя найденные значения C1 в(2.27), получаем 2r2 / 2d = H ’позволяет переписать любую точку в виде (2.28). Здесь k-глубина погружения точки под свободную поверхность, то есть вертикальное расстояние от свободной параболы до точки задачи. Поэтому в жидкости, которая неподвижна в равномерно вращающемся сосуде, вертикальное давление распределяется по закону гидростатического давления.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнение поверхности жидкости во вращающемся сосуде

2016-11-20
Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$.

рис.1

рис.2
Вертикальный и горизонтальный столбы жидкости, для которых запишем закон Ньютона, удобно выбрать так, как показано на рисунке.

Для вертикального столба в проекции на ось у имеем:

где $Sy \rho$ — масса столба жидкости, $P_<0>S$ — вертикальная составляющая силы атмосферного давления (см. выше).

Записать закон Ньютона для всего горизонтального столба ОА невозможно, так как находящиеся на раз* личном расстоянии от точки О фрагменты столба имеют разные ускорения. Мы можем только сделать это для малого фрагмента столба; пусть координаты концов этого фрагмента равны $x_$ и $x_ + 1$.

Ускорение центра фрагмента определяется формулой из кинематики вращательного движения:

а закон Ньютона для фрагмента в проекции на ось х имеет вид:

где $P_S$ — сила давления со стороны прилегающей к фрагменту жидкости, направленная к центру вращения, $P_S$ — сила, направленная от центра,

Разобьем весь столб жидкости на большое число $N$ фрагментов, запишем для каждого из них (4) и сложим получившиеся равенства почленно. После сокращений получим:

С зачетом (1) окончательно имеем:

Уравнение поверхности жидкости представляет собой, следовательно, параболу. Отметим, что (5) может быть получено интегрированием.