Уравнение позволяющее найти волновую функцию

Уравнение позволяющее найти волновую функцию

Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории, которая принципиально отличается от классической механики.

Решение задачи о движении тела макроскопических размеров основано на применении второго закона Ньютона. Если известны силы, действующие на тело, то сначала мы находим его ускорение, затем — траекторию, после чего — все параметры движения. Но в масштабах атомов понятие траектории теряет свой смысл. Своё значение сохраняют так называемые интегралы движения. К ним относятся, в первую очередь, энергия, импульс, момент вращения и чётность. В квантовой теории эти величины определяются сразу, минуя этап вычисления траектории.

В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив его, мы находим набор энергетических уровней, который реализуется в заданном потенциале, а также получаем информацию статистического характера о возможном положении частицы.

8.1. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как законы Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов описывает волновые свойства частиц. Покажем связь уравнения Шредингера с волновым пакетом. Для этого запишем уравнение волнового пакета:

где B — амплитуда. Будем считать, что величина B как функция k равна нулю при k Δ k и k > Δ k . Тогда областью интегрирования становится вся числовая ось. Вспоминая соотношения де Бройля-Эйнштейна (формулы (2.1) и (2.1а) первой главы), приходим к новой записи выражения для волнового пакета

Продифференцируем (1.1) по времени:

Появлению энергии в подынтегральной функции соответствует оператор дифференцирования

Его называют оператором энергии . Импульс, в свою очередь, связан с оператором

в чём можно убедиться, дифференцируя (1.1) по x :

Мы рассматриваем нерелятивистскую частицу в отсутствие внешних полей, следовательно, ее энергия равна p2/2 m. Ей можно сопоставить оператор двойного дифференцирования по координате:

Вычитая (1.3) из (1.2), получим

Всё подынтегральное выражение вместе с разностью равно нулю. Следовательно,

Мы вывели одномерное уравнение Шредингера для свободной частицы. Теперь учтём возможное присутствие внешних полей:

Здесь U = U( x , t ) — потенциальная энергия, зависящая только одной координаты. Вообще говоря, она может также меняться со временем. Соответственно, приходим к одномерному уравнению Шредингера:

Обобщение на случай трёх измерений сводится к замене производной по x оператором Лапласа:

Уравнение Шредингера с потенциалом, зависящим от всех трёх координат, имеет вид

Вектору импульса в трёхмерном случае соответствует оператор градиента:

где e _x , e _y и e _z — единичные векторы в направлении координатных осей. В процессе вывода мы использовали следующие соотношения между физическими величинами и операторами:

Оператор принято отмечать «шляпкой». Например, оператор, отвечающий физической величине G, обозначается как Ĝ. В квантовой механике вводится оператор энергии, или оператор Гамильтона

Он позволяет записать уравнение Шредингера следующим образом:

Уравнение Шредингера содержит мнимую единицу i , следовательно, его решение должно быть комплексным. Этим оно отличается от волнового уравнения в классической механике . В качестве примера рассмотрим одномерный случай. Классическое уравнение

позволяет работать отдельно с действительной и мнимой частями Y , каждая из которых подчиняется одному и тому же уравнению. В самом деле, если

где u и V — действительные функции, то уравнению (1.9), которое мы теперь запишем в виде

равносильна система одинаковых уравнений, каждое из которых совпадает с исходным :

Действительная и мнимая части Y разделились. Мы убедились, что в классическом случае нет принципиальной необходимости в комплексном представлении (хотя оно часто используется для удобства вычислений). Для уравнения Шредингера это не так. Разложение (1.10) вставим теперь в уравнение (1.4):

Этому уравнению эквивалентна система

в которой переменные u и V связаны друг с другом.

Структура уравнения Шредингера

показывает, что оно отображает закон сохранения энергии.

Уравнение Шредингера определяет зависимость волновой функции от времени и от координат. Как второй закон Ньютона описывает траекторию частицы, так уравнение Шредингера описывает эволюцию волновой функции.

Выход в комплексную плоскость является следствием требования, чтобы волновая функция в любой момент времени полностью определялась её начальным значением. Следовательно, уравнение Шредингера должно содержать только первую производную волновой функции по времени, но не вторую. Если ограничиться гармоническими функциями в действительной области, то волновое уравнение обязано содержать вторую производную. В самом деле, однократное дифференцирование переводит синус в косинус и наоборот. Но колебания могут быть описаны экспонентой с комплексным показателем. Её важное свойство заключается в том, что первая производная функции возвращает нас к ней самой:

Перейдём к обсуждению физического смысла волновой функции.

2.1. Волновая функция

Выкладки предыдущего раздела мы проводили, используя представление классической механики о волновом пакете. В уравнении Шредингера функция Y ( r , t ) приобретает новый смысл. Она называется волновой функцией и описывает уже не суперпозицию колебаний, но состояние реальной частицы. Перечислим основные свойства волновой функции.

Волновая функция как вероятность

В квантовой механике вся информация о частице содержится в её волновой функции. С учётом соотношения неопределённостей, эта информация носит вероятностный характер. А именно, квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности W найти частицу в данной точке в заданный момент времени:

Здесь звёздочка означает комплексное сопряжение. В большинстве задач, которые нам встретятся в дальнейшем, имеет место точное равенство:

Выбор между (2.1) и (2.2) определяется степенью локализации частицы в пространстве. Если вероятность найти частицу в удалённых точках исчезающе мала, то интеграл

взятый по всему пространству, сходится. В конечном итоге именно это и делает возможным равенство (2.2). Наоборот, свободно движущаяся частица может быть обнаружена в любой точке. Интеграл (2.3) для её волновой функции расходится и, следовательно, | Y | 2 не может служить вероятностью никакой величины. В этом случае справедливо отношение

которое является следствием (2.1). Ниже нам неоднократно будут встречаться волновые функции, модуль которых не стремится к нулю при удалении от начала координат, либо убывает слишком медленно. Хотя для таких функций не имеет смысла (2.2), тем не менее, отношение значений W в двух разных точках пространства равно отношению вероятностей обнаружить там частицу.

Принцип суперпозиции

Уравнение Шредингера линейно относительно волновой функции. Следовательно, любая линейная комбинация

его решений Y ₁ и Y ₂ также является его решением.

Таким образом, линейная комбинация волновых функций обязательно описывает некоторое состояние частицы (или системы частиц). В частности, при C₂ = 0 получаем, что решение уравнения Шредингера, известно с точностью до постоянного множителя.

Нормировка

Вероятность W по своему смыслу должна удовлетворять условию нормировки

Если частица совершает своё движение в ограниченной области, то, согласно предыдущему разделу, существует интеграл:

При выполнении последнего равенства волновая функция может быть преобразована так, чтобы условие

имело место даже в том случае, когда константа C не равна единице. А именно, условию (2.7) удовлетворяет функция

Согласно сказанному в предыдущем разделе, обе эти функции описывают одно и то же состояние. Процесс перехода от Y к F называется нормировкой, а функция F — норми p ованной волновой функцией.

8.3 Ток вероятности

В газодинамике известно уравнение непрерывности для потока вещества

где r — плотность, а

поток вещества, движущегося со скоростью v . Оно справедливо в том случае, если нет источников и стоков частиц. Аналогичное соотношение

можно вывести и для плотности вероятности W . Сначала проведём расчёты для одномерного случая. Для определения вектора тока вероятности S воспользуемся уравнением Шредингера (1.4) для свободной частицы. Запишем его также для комплексно–сопряжённой волновой функции:

то, подставляя сюда выражения (1.4) и (3.4) для производных по времени от Y и Y *, находим

Последнее уравнение представляет собой аналог одномерного уравнения непрерывности, если поток вероятности принять равным

Обобщение на случай трёх измерений даёт уравнение непрерывности (3.3) с дивергенцией вектора

Физический смысл определённого таким образом потока вероятности S можно выяснить, вычислив его для свободной частицы, то есть, для волновой функции вида

Производная выражается через Y :

Аналогично вычисляем производную от комплексно сопряжённой функции:

Подставляя (3.7) и (3.7а) в (3.5), получаем

Нетрудно убедиться, что в трёхмерном случае мы приходим к формуле

Она полностью аналогична (3.2), где роль плотности выполняет плотность вероятности W, а вместо потока массы j надо подставить вектор S.

Поток вероятности равен нулю в случае действительной волновой функции. Следовательно, последняя описывает финитное движение, то есть, движение в ограниченной области пространства.

8.4 Операторы физических величин

В этом разделе мы соберём вместе явные выражения для самых важных для нас операторов. Оператор энергии сводится к дифференцированию по времени:

а оператор проекции импульса на одну из координат — к дифференцированию по этой координате:

Аналогичные формулы справедливы для проекций момента на две другие оси, а в трёхмерном случае

вектор импульса выражается через оператор градиента:

При формировании операторов можно пользоваться соотношениями между классическими величинами. Так, оператор кинетической энергии с помощью соотношения

выражается посредством оператора Лапласа:

В отсутствие внешних полей полная энергия частицы равна её кинетической энергии:

В квантовой механике этому факту соответствует уравнение Шредингера для свободной частицы:

Последняя формула является обобщением (1.4) на случай трёх измерений.

Оператор координаты сводится к простому умножению на эту координату. То же самое справедливо и для оператора, представляющего любую функцию координат. Например,

В последующих разделах мы познакомимся с оператором момента вращения.

С математической точки зрения уравнения квантовой механики сводятся к линейной задаче на собственные значения с заданными граничными условиями.

Здесь Y _i — собственные функции, а G _i — собственные значения оператора . Физический смысл (4.7) заключается в следующем. В результате измерения можно обнаружить только те значения физической величины, которые входят в спектр собственных значений её оператора.

Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным. Например, непрерывным является спектр импульса свободной частицы. Покажем это для одномерного случая. Вычислим собственное значение p проекции импульса на ось x :

Решение последнего уравнения

в комплексной форме выражает «мгновенную фотографию» плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x . Не удивительно, что мы получили именно такое решение, так как мы исходили из представления плоских волн при получении уравнения Шредингера. Временнýю часть волновой функции мы установим позже.

Отметим важную особенность функции (4.10): квадрат её модуля равен константе |C| 2 . Следовательно, свободно летящая частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Как уже было сказано в разделе (2.1), такую функцию невозможно нормировать приведённым там способом. Таким образом, она представляет собой пример волновой функции, квадрат модуля которой пропорционален вероятности в смысле (2.4), но не имеет места (2.1).

Среднее значение.

В этом разделе мы с самого начала предполагаем, что волновая функция квадратично интегрируема, то есть существует интеграл (2.6). Как известно из математики, среднее значение функции координат f ( x ) определяется с помощью вероятности W( x ) как

Для операторов, зависящих только от координат, это определение без всяких изменений переносится в квантовую механику. Нужно только вместо вероятности написать квадрат модуля волновой функции:

Здесь интегрирование ведётся по всей области изменения аргумента x .

В общем случае, когда физическая величина G не является функцией координат (например, импульс), её среднее значение определяется как

Подынтегральная функция состоит из двух сомножителей: Y * ( x ) и — результата воздействия оператора на функцию Y ( x ). Формула (4.11) является частным случаем (4.12), когда

Пусть система находится в определённом состоянии, соответствующем собственному значению G _i и собственному вектору — волновой функции Y _i . Если физическую величину G усреднять с помощью функции Y _i , то среднее значение равно G _i . В этом легко убедиться, подставив (4.7) в (4.12).

Волновая функция и ее статистический смысл. Виды волновой функции и ее коллапс

В этой статье описывается волновая функция и ее физический смысл. Также рассматривается применение этого понятия в рамках уравнения Шредингера.

Наука на пороге открытия квантовой физики

В конце девятнадцатого века молодых людей, которые хотели связать свою жизнь с наукой, отговаривали становиться физиками. Бытовало мнение, что все явления уже открыты и великих прорывов в этой области уже не может быть. Сейчас, несмотря на кажущуюся полноту знаний человечества, подобным образом говорить никто не решится. Потому что так бывает часто: явление или эффект предсказаны теоретически, но людям не хватает технической и технологической мощи, чтобы доказать или опровергнуть их. К примеру, Эйнштейн предсказал гравитационные волны более ста лет назад, но доказать их существование стало возможным лишь год назад. Это касается и мира субатомных частиц (а именно к ним применимо такое понятие, как волновая функция): пока ученые не поняли, что строение атома сложное, у них не было необходимости изучать поведение таких маленьких объектов.

Спектры и фотография

Толчком к развитию квантовой физики стало развитие техники фотографии. До начала двадцатого века запечатление изображений было делом громоздким, долгим и дорогостоящим: фотоаппарат весил десятки килограммов, а моделям приходилось стоять по полчаса в одной позе. К тому же малейшая ошибка при обращении с хрупкими стеклянными пластинами, покрытыми светочувствительной эмульсией, приводила к необратимой потере информации. Но постепенно аппараты становились все легче, выдержка — все меньше, а получение отпечатков – все совершеннее. И наконец, стало возможно получить спектр разных веществ. Вопросы и несоответствия, которые возникали в первых теориях о природе спектров, и породили целую новую науку. Основой для математического описания поведения микромира стали волновая функция частицы и её уравнение Шредингера.

Корпускулярно-волновой дуализм

После определения строения атома, возник вопрос: почему электрон не падает на ядро? Ведь, согласно уравнениям Максвелла, любая движущаяся заряженная частица излучает, следовательно, теряет энергию. Если бы это было так для электронов в ядре, известная нам вселенная просуществовала бы недолго. Напомним, нашей целью является волновая функция и ее статистический смысл.

На выручку пришла гениальная догадка ученых: элементарные частицы одновременно и волны, и частицы (корпускулы). Их свойствами являются и масса с импульсом, и длина волны с частотой. Кроме того, благодаря наличию двух ранее несовместимых свойств элементарные частицы приобрели новые характеристики.

Одной из них является трудно представимый спин. В мире более мелких частиц, кварков, этих свойств настолько много, что им дают совершенно невероятные названия: аромат, цвет. Если читатель встретит их в книге по квантовой механике, пусть помнит: они совсем не то, чем кажутся на первый взгляд. Однако как же описать поведение такой системы, где все элементы обладают странным набором свойств? Ответ — в следующем разделе.

Уравнение Шредингера

Найти состояние, в котором находится элементарная частица (а в обобщенном виде и квантовая система), позволяет уравнение Эрвина Шредингера:

Обозначения в этом соотношении следующие:

• ħ=h/2 π, где h – постоянная Планка.
• Ĥ – Гамильтониан, оператор полной энергии системы.
• Ψ – волновая функция.

Изменяя координаты, в которых решается эта функция, и условия в соответствии с типом частицы и поля, в котором она находится, можно получить закон поведения рассматриваемой системы.

Понятия квантовой физики

Пусть читатель не обольщается кажущейся простотой использованных терминов. Такие слова и выражения, как «оператор», «полная энергия», «элементарная ячейка», — это физические термины. Их значения стоит уточнять отдельно, причем лучше использовать учебники. Далее мы дадим описание и вид волновой функции, но эта статья носит обзорный характер. Для более глубокого понимания этого понятия необходимо изучить математический аппарат на определенном уровне.

Волновая функция

Ее математическое выражение имеет вид

Волновая функция электрона или любой другой элементарной частицы всегда описывается греческой буквой Ψ, поэтому иногда ее еще называют пси-функцией.

Для начала надо понять, что функция зависит от всех координат и времени. То есть Ψ(x, t) – это фактически Ψ(x₁, x₂… x_n, t). Важное замечание, так как от координат зависит решение уравнения Шредингера.

Далее необходимо пояснить, что под |x> подразумевается базисный вектор выбранной системы координат. То есть в зависимости от того, что именно надо получить, импульс или вероятность |x> будет иметь вид | x₁, x₂, …, x_n>. Очевидно, что n будет также зависеть от минимального векторного базиса выбранной системы. То есть в обычном трехмерном пространстве n=3. Для неискушенного читателя поясним, что все эти значки около показателя x – это не просто прихоть, а конкретное математическое действие. Понять его без сложнейших математических выкладок не удастся, поэтому мы искренне надеемся, что интересующиеся сами выяснят его смысл.

И наконец, необходимо объяснить, что Ψ(x, t)= .

Физическая сущность волновой функции

Несмотря на базовое значение этой величины, она сама не имеет в основании явления или понятия. Физический смысл волновой функции заключается в квадрате ее полного модуля. Формула выглядит так:

где ω имеет значение плотности вероятности. В случае дискретных спектров (а не непрерывных) эта величина приобретает значение просто вероятности.

Следствие физического смысла волновой функции

Такой физический смысл имеет далеко идущие последствия для всего квантового мира. Как становится понятно из значения величины ω, все состояния элементарных частиц приобретают вероятностный оттенок. Самый наглядный пример – это пространственное распределение электронных облаков на орбиталях вокруг атомного ядра.

Возьмем два вида гибридизации электронов в атомах с наиболее простыми формами облаков: s и p. Облака первого типа имеют форму шара. Но если читатель помнит из учебников по физике, эти электронные облака всегда изображаются как некое расплывчатое скопление точек, а не как гладкая сфера. Это означает, что на определенном расстоянии от ядра находится зона с наибольшей вероятностью встретить s-электрон. Однако чуть ближе и чуть дальше эта вероятность не нулевая, просто она меньше. При этом для p-электронов форма электронного облака изображается в виде несколько расплывчатой гантели. То есть существует достаточно сложная поверхность, на которой вероятность найти электрон самая высокая. Но и вблизи от этой «гантели» как дальше, так и ближе к ядру такая вероятность не равна нулю.

Нормировка волновой функции

Из последнего следует необходимость нормировать волновую функцию. Под нормировкой подразумевается такая «подгонка» некоторых параметров, при которой верно некоторое соотношение. Если рассматривать пространственные координаты, то вероятность найти данную частицу (электрон, например) в существующей Вселенной должна быть равна 1. Формула выгладит так:

Таким образом, выполняется закон сохранения энергии: если мы ищем конкретный электрон, он должен быть целиком в заданном пространстве. Иначе решать уравнение Шредингера просто не имеет смысла. И неважно, находится эта частица внутри звезды или в гигантском космическом войде, она должна где-то быть.

Чуть выше мы упоминали, что переменными, от которых зависит функция, могут быть и непространственные координаты. В таком случае нормировка проводится по всем параметрам, от которых функция зависит.

Мгновенное передвижение: прием или реальность?

В квантовой механике отделить математику от физического смысла невероятно сложно. Например, квант был введен Планком для удобства математического выражения одного из уравнений. Теперь принцип дискретности многих величин и понятий (энергии, момента импульса, поля) лежит в основе современного подхода к изучению микромира. У Ψ тоже есть такой парадокс. Согласно одному из решений уравнения Шредингера, возможно, что при измерении квантовое состояние системы изменяется мгновенно. Это явление обычно обозначается как редукция или коллапс волновой функции. Если такое возможно в реальности, квантовые системы способны перемещаться с бесконечной скоростью. Но ограничение скоростей для вещественных объектов нашей Вселенной непреложно: ничто не может двигаться быстрее света. Явление это зафиксировано ни разу не было, но и опровергнуть его теоретически пока не удалось. Со временем, возможно, этот парадокс разрешится: либо у человечества появится инструмент, который зафиксирует такое явление, либо найдется математическое ухищрение, которое докажет несостоятельность этого предположения. Есть и третий вариант: люди создадут такой феномен, но при этом Солнечная система свалится в искусственную черную дыру.

Волновая функция многочастичной системы (атома водорода)

Как мы утверждали на протяжении всей статьи, пси-функция описывает одну элементарную частицу. Но при ближайшем рассмотрении атом водорода похож на систему из всего лишь двух частиц (одного отрицательного электрона и одного положительного протона). Волновые функции атома водорода могут быть описаны как двухчастичные или оператором типа матрицы плотности. Эти матрицы не совсем точно являются продолжением пси-функции. Они скорее показывают соответствие вероятностей найти частицу в одном и другом состоянии. При этом важно помнить, что задача решена только для двух тел одновременно. Матрицы плотности применимы к парам частиц, но невозможны для более сложных систем, например при взаимодействии трех и более тел. В этом факте прослеживается невероятное подобие между наиболее «грубой» механикой и очень «тонкой» квантовой физикой. Поэтому не стоит думать, что раз существует квантовая механика, в обычной физике новых идей не может возникнуть. Интересное скрывается за любым поворотом математических манипуляций.

Волновая функция

Вы будете перенаправлены на Автор24

В соответствии с корпускулярно — волновым дуализмом в квантовой физике состояние частицы описывается при помощи волновой функции ($\psi (\overrightarrow,t)$- пси-функция).

Волновая функция — это функция, которая используется в квантовой механике. Она описывает состояние системы, которая имеет размеры в пространстве. Она является вектором состояния.

Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами. Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны. То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.

Набор аргументов волновой функции определяет ее представление. Так, возможно координатное представление: $\psi(\overrightarrow,t)$, импульсное представление: $\psi'(\overrightarrow

,t)$ и т.д.

В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.

Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:

где $\psi^*$- комплексно сопряженная функция к функции $\psi.$ Плотность вероятности (вероятность в единице объёма) равна:

Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).

Условие нормировки $\psi$- функции

Волновая функция определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Данный факт не оказывает влияния на состояние частицы, которую $\psi$- функция описывает. Однако волновую функцию выбирают таким образом, что она удовлетворяет условию нормировки:

Готовые работы на аналогичную тему

где интеграл берут по всему пространству или по области, в которой волновая функция не равна нулю. Условие нормировки (2) значит то, что во всей области, где $\psi\ne 0$ частица достоверно присутствует. Волновую функцию, которая подчинятся условию нормировки, называют нормированной. Если $<\left|\psi\right|>^2=0$, то данное условие означает, что частицы в исследуемой области наверняка нет.

Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.

Условие нормировки может оказаться не осуществимым. Так, если $\psi$ — функция является плоской волной де-Бройля и вероятность нахождения частицы является одинаковой для всех точек пространства. Данные случаи рассматривают как идеальную модель, в которой частица присутствует в большой, но имеющей ограничения области пространства.

Принцип суперпозиции волновой функции

Данный принцип является одним их основных постулатов квантовой теории. Его смысл в следующем: если для некоторой системы возможны состояния, описываемые волновыми функциями $\psi_1\ <\rm и>\ $ $\psi_2$, то для этой системы существует состояние:

где $C_<1\ >и\ C_2$ — постоянные коэффициенты. Принцип суперпозиции подтверждается эмпирически.

Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:

где $<\left|C_n\right|>^2$ — вероятность того, что система обнаруживается в состоянии, которое описывается волновой функцией $\psi_n.$ Для волновых функций, подчиненных условию нормировки (2) выполняется условие:

Стационарные состояния

В квантовой теории особую роль имеют стационарные состояния (состояния в которых все наблюдаемые физические параметры не изменяются во времени). (Сама волновая функция принципиально не наблюдаема). В стационарном состоянии $\psi$- функция имеет вид:

где $\omega =\frac<\hbar >$, $\psi\left(\overrightarrow\right)$ не зависит от времени, $E$- энергия частицы. При виде (3) волновой функции плотность вероятности ($P$) является постоянной времени:

Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции $\psi\left(\overrightarrow\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Математические требования к волновой функции для стационарных состояний

$\psi\left(\overrightarrow\right)$- функция должна быть во всех точках:

Если потенциальная энергия имеет поверхность разрыва, то на подобных поверхностях функция $\psi\left(\overrightarrow\right)$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где потенциальная энергия становится бесконечной, $\psi\left(\overrightarrow\right)$ должна быть равна нулю. Непрерывность функции $\psi\left(\overrightarrow\right)$ требует, чтобы на любой границе этой области $\psi\left(\overrightarrow\right)=0$. Условие непрерывности накладывается на частные производные от волновой функции ($\frac<\partial \psi><\partial x>,\ \frac<\partial \psi><\partial y>,\frac<\partial \psi><\partial z>$).

Решение:

Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:

где $dV=4\pi r^2dr$ (см.рис.1 Из условий понятно, что задача обладает сферической симметрией). Из условий задачи имеем:

Подставим $dV$ и волновые функции (1.2) в условие нормировки:

Проведем интегрирование в левой части:

Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:

Задание: Каково наиболее вероятное расстояние ($r_B$) электрона от ядра, если волновая функция, которая описывает основное состояние электрона в атоме водорода может быть определена как: $\psi=Ae^<-/>$, где $r$- расстояние от электрона до ядра, $a$ — первый Боровский радиус?

Решение:

Используем формулу, которая определяет вероятность присутствия микрочастицы в объеме $dV$ в момент времени $t$:

где $dV=4\pi r^2dr.\ $Следователно, имеем:

В таком случае, $p=\frac$ запишем как:

Для определения наиболее вероятного расстояния производную $\frac$ приравняетм к нулю:

Ответ: $r_B=a.$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 05 2021