Уравнения пограничного слоя Л. Прандтля
На тот факт, что влияние вязкости должно сказываться лишь вблизи обтекаемой стенки, было указано еще Д. М. Менделеевым (1880 г.) в его исследованиях по сопротивлению жидкостей движущимся телам. Математическая теория пограничного слоя была дана Л. Прандтлем.
При выводе уравнений пограничного слоя продольную (вообще говоря, криволинейную) координату х выбирают вдоль обтекаемой поверхности, а ось у — перпендикулярно к ней. Начало координат обычно удобно выбрать в передней критической точке, где набегающий поток раздваивается. Из — за малой толщины d пограничного слоя по сравнению с размерами обтекаемого тела можно пренебречь кривизной поверхности и рассмотреть выбранную систему координат как декартовую [x; y], рисунок 2.2.
Рисунок 2.2 — Ортогональная сетка координат [x, y]
Для установившегося движения вязкой жидкости уравнения Навье — Стокса (1.2) и уравнение непрерывности в случае плоского (двухмерного) потока принимают вид:
wx 
+ wy 
= — 
+ n( 
+ 
),
wx 
+ wy 
= — 
+ n( 
+ 
),
+ = 0.
Учитывая, что внутри пограничного слоя значительные градиенты только продольной составляющей скорости wx, второе из написанных уравнений упрощается:
=0.
Из этого следует важная особенность пограничного слоя: давление внешнего потока передается через пограничный слой без изменений. Можно показать также, что в первом уравнении член весьма мал по сравнению . В итоге получим систему уравнений для пограничного слоя Л. Прандтля:
wx + wy = —  + n , + = 0. | > | (2.1) |
Результаты интегрирования этих гораздо более простых уравнений хорошо совпадают с экспериментальными данными.
Кроме того, следуя идее Л. Прандтля, продольное изменение давления (член — ) можно найти, рассматривая потенциальное течение в области 111 (рисунок 2.1), где справедливо уравнение Бернулли для идеальной жидкости
U 2 / 2 + p/r = const. (2.2)
Здесь U — скорость вне пограничного слоя в области 111 у данной точки обтекаемого тела. Дифференцируя последнее равенство по х, получим
U 
+ = 0,
— = U .
Учитывая это, перепишем систему уравнений Прандтля (2.1) в виде:
| wx + wy = U + n , + = 0. | > | (2.3) |
В этих уравнениях распределение скоростей U(x) во внешнем потенциальном потоке на границе пограничного слоя можно получить. решая задачу обтекания тела потоком идеальной жидкости. а затем осуществить «стыковку» этого решения с течением вязкой жидкости в пограничном слое.
Граничные условия для системы уравнений пограничного слоя предполагают, во — первых, равенство нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела, т. е.
из условий непроницаемости стенки и «прилипания» к ней вязкой жидкости.
Во — вторых, «стыковка» на внешней границе пограничного слоя предполагает равенство скорости частиц вязкой жидкости и скорости U(x) внешнего (потенциального) потока идеальной жидкости. Хотя, формально влияние пристеночного торможения жидкости сказывается на любом расстоянии от стенки, так что, строго говоря, это условие записывается в виде
и предполагает асимптотический переход к скорости внешнего потока. Однако, с целью упрощения, более часто второе граничное условие задается для пограничного слоя «конечной толщины d», под которым подразумевают слой жидкости, в котором на расстоянии d от стенки происходит изменение скорости от нуля (на стенке) до wx = U(x) (на расстоянии d от стенки), при условии плавности такого перехода
wxôy = d = U(x), ôy = d = 0. (2.5 1 )
В качестве d можно, например, принять расстояние от стенки, на котором скорость отличается от скорости внешнего потока на 1%, когда wx(x) ïy=d= 0,99U(x).
Расплывчатость такой оценки очевидна. Поэтому используются интегральные, менее наглядные, но более строгие оценки.
Толщина вытеснения (рисунок 2.3)
Рисунок 2.3 — Поле скоростей в пограничном слое:
d — толщина пограничного слоя; d* — толщина вытеснения
Интеграл ò(U — wx)dy представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое d, если бы скорость по всему его течению не уменьшалась из — за вязкости, а оставалась бы равной U, и действительным расходом (заштрихованная часть эпюры скоростей справа), т. е. представляет собой уменьшение расхода жидкости в пограничном слое из — за вязкости. Разделив этот интеграл на величину U, получим некоторую величину d*, через которую и протекал бы недостающий расход (перекрестная штриховка). На d* оттесняются от поверхности тела линии тока невозмущенного течения из — за вязкого торможения.
Аналогичные характеристики можно ввести для импульса и энергии потока: