Уравнение предельного продукта из производственной функции

Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для анализа производственной функции Кобба-Дугласа:

• нахождение средней фондоотдачи и средней производительности труда, вычисление предельной фондоотдачи и предельной производительности труда;
• расчет эластичности продукта и эластичности масштаба производства;
• определение предельной нормы замещения факторов производства, построение изоклины.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства производственной функции

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x₁, x₂, . ,x_n.
   Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dx_i.
4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Пример . Производственные функции, обладающие свойствами 2 – 5, называются неоклассическими.
Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ 1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY_K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:


Средняя производительность труда AY_L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:


Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:


Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MY_L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:


Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε_K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε_L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :

AY_λ = λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY_λ = 0.207 λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором M_ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RST_K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RST_L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M_LK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M_LK = 5 и M_LK = 2.

Предельный продукт капитала: понятие, формулы, пример и график

Предельный продукт капитала (MP_K) — это прирост общего объема производства, возникающее в результате увеличения капитала на одну единицу при сохранении неизменности всех остальных факторов производства.

Фирмы принимают инвестиционные решения, сравнивая свой предельный продукт капитала с его стоимостью.

Когда предельный продукт капитала выше стоимости капитала, имеет смысл увеличить производство путем увеличения капитала, но как только предельный продукт капитала падает ниже стоимости капитала, добавление еще большего капитала приводит к уменьшению прибыли фирмы.

Совокупное производство экономики в большинстве случаев лучше всего представлено производственной функцией Кобба-Дугласа с постоянным эффектом масштаба.

Согласно модели Кобба-Дугласа, общее производство экономики (Y) зависит от ее общей факторной производительности (A), запаса рабочей силы (L) и капитала (K), а также от способности Y реагировать на каждый входной сигнал:

Y = A × K α × L 1-α , где

α представляет собой долю капитала, а 1-α представляет собой долю труда, необходимого для производства.

Когда экономика имеет постоянную отдачу от масштаба, любое увеличение капитала при сохранении постоянной рабочей силы приводит к уменьшению предельного продукта капитала, как показано в приведенном ниже примере.

Расчет

Предельный продукт капитала экономики, представленный производственной функцией Кобба-Дугласа, можно рассчитать по следующей формуле:

MP_K = α × A × K α -1 × L 1- α = α × (Y / K)

Приведенные выше уравнения выводятся путем дифференцирования функции Кобба-Дугласа относительно K, сохраняя L постоянным.

MP_K = ∂Y/∂K = ∂AK α L 1-α /∂K

MP_K = α × AK α -1 L 1- α

Перемещение К а-1 к знаменателю дает нам следующее выражение:

MP_K = α × A × (L 1-α / K 1-α )

Умножив и разделив правую часть приведенного выше уравнения на K a , получим:

MP_K = α × A × (L 1- α / K 1- α ) × (K α / K α )

MP_K = α × [(A × K α × L 1- α ) / K 1- α + α )]

Числитель точно равен Y, а знаменатель сводится к K:

MP_K = α × (Y / K)

Пример и график

Давайте рассмотрим экономику, которая производит только детские коляски и чье производство представлено следующим уравнением:

Y = 2,000 × K 0,5 × L 0,5

В следующей таблице показано общее количество детских колясок, произведенных при увеличении числа производственных предприятий, но при этом количество обученных работников, способных управлять ими, остается постоянным.

На следующей диаграмме показано общее производство (L) по оси Y и капитал (K) по оси X.

Общая кривая производства становится более плоской по мере того, как прибавляется все больше и больше капитала при сохранении постоянной рабочей силы.

Это происходит потому, что когда капитал увеличивается без связанного с ним увеличения рабочей силы, не хватает людей, чтобы управлять машинами, и поэтому рост производства ниже.

3.6 Производственная функция

Производственная функция показывает налучшую технологическую зависимость между количеством используемых ресурсов и объемом выпуска.

Из производственной функции можно вывести функцию издержек.

Пример 1
Дано: $Q= L \cdot K$, $w=4$, $r=1$, найти функцию общих издержек.

В данном случае можно или минимизировать издержки при выбранном уровне $Q$, или максимизировать объем выпуска при данном уровне издержек.

Воспользуемся методом 2:

Как уже не раз случалось, мы опять встречаем функцию, зависящую от двух переменных. Зафиксируем $TC$, выразим $L$ через $K$:

Что касается производственной функции — зафиксируем $Q$, выразим $L$ через $K$:

Имеем схожую ситуацию с задачей максимизации полезности, только в данном случае у нас цель — максимизировать объем выпускаемой продукции:

Возьмем производную обеих функций по $L$, найдем точку, в которой они равны, найдем точку касания графиков

(Почему именно касания? Если бы мы выбрали более низкий уровень $Q^*$, то мы получили бы более низкую производственную функцию, произвели бы меньше продукции с теми же издержками:

Если мы бы выбрали слишком высокий уровень $Q$, то данный объем производства был бы недостижим при данном уровне издержек:

Подставим в производственную функцию, выразим $K$:

Теперь подставим $L$ и $K$ в функцию издержек, $Q$ снова является переменной:

Пример 2
Производственная функция является линейной: $Q=2L+K$, $w=4$, $r=1$, $TC(Q)-?$

Действовать будем в целом аналогично предыдущему варианту, но в этот раз попробуем использовать метод 1: будем минимизировать издержки при выбранном уровне $Q$:

Имеем 2 линейные функции, будем двигать функцию издержек вниз, пока она не достигнет оптимального положения:

(Если мы выберем более высокий уровень издержек, то вступим нерационально — такой же объем выпуска при больших издержках. Зачем? Если выбрать более низкий уровень издержек, то невозможно будет произвести нужный объем продукции) .

Оптимальное положение будет достигнуто в точке, где количество капитала максимально, а труда равно нулю. Тогда:

Эффект масштаба показывает во сколько раз изменится $Q$ после увеличения всех используемых ресурсов в одинаковое число раз $t$ по сравнению с первоначальным $Q$, увеличенным в $t$ раз.

Если $Q_<новое>(tL;tK) > tQ(L;K)$, то эффект масштаба положительный, если $Q_<новое>(tL;tK)=tQ(L;K)$, то постоянный, если $Q_<новое>(tL;tK) 1$, следовательно эффект масштаба положительный

TP — total product (он же Q), общий продукт труда — показывает зависимость объема выпуска продукции от количества переменного ресурса при прочих равных условиях.

i участок — функция растет ускоряющимся темпом, при найме каждого последующего работника объем выпуска увеличивается на все большую и большую величину;
ii участок — функция растет замедляющимся темпом, при найме каждого дополнительного работника объем выпуска увеличивается на все меньшую величину;
iii участок — $TP$ убывает. При производстве товара может наступить такой момент, когда дополнительная единица переменного ресурса (труда обычно) уже не способствует увеличению производимой продукции. Дополнительно нанятый работник может только мешать. Например, если у нас имеется всего один станок, и мы наняли 50 рабочих, то они будут только мешать друг другу, стопившись у этого единственного механизма.

$AP_(L)$ average product, средний продукт (труда) — показывает, сколько в среднем единиц продукции приходится на одну единицу переменного ресурса:

Геометрический смысл среднего среднего продукта труда такой же как и у других средних величин — тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат (секущей) к точке на графике общего продукта труда.

$MP_(L)$ — marginal product, предельный продукт (труда) — показывает прирост общего продукта при увеличении переменного ресурса на единицу.

В дискретном случае $MP_L=\dfrac$.

Геометрический смысл предельного продукта в данном случае — тангенс угла наклона секущей, соединяющей точки $(L_1;TP_1)$ и $(L_2;TP_2)$.

Если ресурс бесконечно делим, то $MP_L=TP'(L)$

Геометрический смысл предельного продукта в этой ситуации — тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику $TP$ в интересующей нас нас точке.

Пример 4
$Q(L)=30L-L^2$, найти $AP_L$, $MP_L$