Уравнение предельного продукта капитала имеет вид

Предельный продукт капитала: понятие, формулы, пример и график

Предельный продукт капитала (MP_K) — это прирост общего объема производства, возникающее в результате увеличения капитала на одну единицу при сохранении неизменности всех остальных факторов производства.

Фирмы принимают инвестиционные решения, сравнивая свой предельный продукт капитала с его стоимостью.

Когда предельный продукт капитала выше стоимости капитала, имеет смысл увеличить производство путем увеличения капитала, но как только предельный продукт капитала падает ниже стоимости капитала, добавление еще большего капитала приводит к уменьшению прибыли фирмы.

Совокупное производство экономики в большинстве случаев лучше всего представлено производственной функцией Кобба-Дугласа с постоянным эффектом масштаба.

Согласно модели Кобба-Дугласа, общее производство экономики (Y) зависит от ее общей факторной производительности (A), запаса рабочей силы (L) и капитала (K), а также от способности Y реагировать на каждый входной сигнал:

Y = A × K α × L 1-α , где

α представляет собой долю капитала, а 1-α представляет собой долю труда, необходимого для производства.

Когда экономика имеет постоянную отдачу от масштаба, любое увеличение капитала при сохранении постоянной рабочей силы приводит к уменьшению предельного продукта капитала, как показано в приведенном ниже примере.

Расчет

Предельный продукт капитала экономики, представленный производственной функцией Кобба-Дугласа, можно рассчитать по следующей формуле:

MP_K = α × A × K α -1 × L 1- α = α × (Y / K)

Приведенные выше уравнения выводятся путем дифференцирования функции Кобба-Дугласа относительно K, сохраняя L постоянным.

MP_K = ∂Y/∂K = ∂AK α L 1-α /∂K

MP_K = α × AK α -1 L 1- α

Перемещение К а-1 к знаменателю дает нам следующее выражение:

MP_K = α × A × (L 1-α / K 1-α )

Умножив и разделив правую часть приведенного выше уравнения на K a , получим:

MP_K = α × A × (L 1- α / K 1- α ) × (K α / K α )

MP_K = α × [(A × K α × L 1- α ) / K 1- α + α )]

Числитель точно равен Y, а знаменатель сводится к K:

MP_K = α × (Y / K)

Пример и график

Давайте рассмотрим экономику, которая производит только детские коляски и чье производство представлено следующим уравнением:

Y = 2,000 × K 0,5 × L 0,5

В следующей таблице показано общее количество детских колясок, произведенных при увеличении числа производственных предприятий, но при этом количество обученных работников, способных управлять ими, остается постоянным.

На следующей диаграмме показано общее производство (L) по оси Y и капитал (K) по оси X.

Общая кривая производства становится более плоской по мере того, как прибавляется все больше и больше капитала при сохранении постоянной рабочей силы.

Это происходит потому, что когда капитал увеличивается без связанного с ним увеличения рабочей силы, не хватает людей, чтобы управлять машинами, и поэтому рост производства ниже.

Экономика

Динамика производства в краткосрочном периоде и закон убывающей отдачи

• Часть 1
• | 2
• | 3

Средний продукт капитала называют также капиталоотдачей.

Предельный продукт труда , МР _L ( marginal product of labour ) показывает, на сколько изменится общий продукт при изменении труда на одну единицу, если объем используемого капитала не изменится:

Предельный продукт капитала , МР _K ( marginal product of capital ) показывает, на сколько изменится общий продукт при изменении капитала на одну единицу, если объем используемого труда не изменится:

Как уже было отмечено в предыдущих темах краткосрочный период ( SR ) предполагает тот факт, что, по крайней мере, один из факторов производства остается фиксированным. Используя двухфакторную модель производства, предположим, что капитал ( К ) является постоянным фактором, а труд ( L ) — переменным. Изменение общего, среднего и предельного продукта труда можно рассмотреть на следующем графике.

На графике видно, что динамику производства в краткосрочном периоде можно представить в виде трех стадий.

Производственная функция. Теория предельного продукта

Теория производства имеет своей целью помочь фирме минимизировать количество ресурсов для достижения желаемого выпуска или максимизировать объем производства при заданной величине ресурсов.

Экономическая деятельность фирмы может быть описана производственной функцией

где Q — объем производимой продукции;

L — затраты труда;

К — потребленный капитал.

На основе производственной функции фирма определяет техно­логически эффективные способы производства. Из различных тех­нологических возможностей она делает выбор наиболее экономичес­ки эффективного способа, руководствуясь ценами на ресурсы, про­дажной ценой продукта и той целью, которую преследует. Так как и технические и экономические факторы постоянно изменяются, фир­ма не может выбрать раз и навсегда эффективный способ производ­ства. Возможности изменения фирмой способа производства в тече­ние небольшого и продолжительного отрезков времени различны. В зависимости от того, сможет ли фирма изменить величину всех сво­их ресурсов или только некоторых из них, различают долго- и крат­косрочный периоды.

Долгосрочный период — это период времени, достаточно продол­жительный для того, чтобы фирма была способна изменить все фак­торы производства.

Краткосрочный период — период времени, в течение которого какая-то часть затрачиваемых фирмой ресурсов не может быть изме­нена.

Продолжительность этих периодов в различных отраслях разная.

Факторы, затраты которых могут быть изменены по желанию фирмы в краткосрочном периоде, называют переменными; факторы, затраты которых могут быть изменены только в долгосрочном пери­оде, называют постоянными.

Сделать выбор экономически эффективного способа производ­ства в краткосрочном периоде фирме помогает концепция предель­ного продукта. Согласно этой концепции измерить влияние измене­ния величины переменного фактора на объем производства можно с помощью таких показателей, как общий, средний и предельный продукты переменного фактора.

Общий (совокупный) продукт (от англ. total product — ТР) пере­менного фактора — это количество продукции, произведенной при определенном количестве переменного фактора, когда прочие фак­торы неизменны.

Средний продукт (от англ. average product — АР) переменного фак­тора — это отношение общего продукта к используемому количе­ству данного фактора.

Средний продукт определяется по формуле:

АР = ТР / Затраты переменного фактора.

Предельный продукт (от англ. marginal product — МР) переменного фактора — добавочный продукт, полученный в результате увеличе­ния данного фактора на одну дополнительную единицу при неиз­менной величине остальных факторов.

Предельный продукт переменного фактора можно определить как

МР = ТР / затрат переменного фактора.

Когда затраты какого-либо фактора растут и при этом превыша­ется их оптимальный размер для данного объема производства, пре­дельный продукт данного фактора снижается. Эта тенденция имеет устойчивый характер, поэтому она называется законом убывающего предельного продукта. Суть данного закона в том, что, начиная с определенного момента, увеличение одного фактора при неизмен­ной величине других приводит к уменьшению добавочного продук­та на каждую последующую единицу переменного ресурса.

Для точного определения оптимального объема выпуска фирма использует графический метод анализа производственной функции через изокванты и изокосты.

Изокванта

Для простоты анализа, как и прежде, будем полагать, что:

исследуемая функция производства зависит от двух факторов: труда и капитала и является частным случаем функции Кобба-Дугласа и имеет вид ;

факторы производства в определенных пределах будут взаимозаменяемыми;

технология производства в течение всего рассматриваемого периода не меняется.

Представим в виде таблицы данную функцию для значений и от 1 до 4.

Как видно из таблицы, существует несколько комбинаций труда и капитала, обеспечивающих в определенных пределах заданный объем выпуска. Например, можно получить, используя комбинацию (1,4), (4,1) и (2,2).

Если отложить по горизонтальной оси количество единиц труда, а по вертикальной — количество единиц капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится кривая, представленная на рисунке 4 и называемая изоквантой.

Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов, при которой фирма выпускает заданный объем продукции.

Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант.

Рисунок 4. Карта изоквант

Свойства стандартных изоквант аналогичны характеристикам кривых безразличия:

1) Изокванта, так же как и кривая безразличия, является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

2) Для любого заданного объема выпуска может быть проведена своя изокванта, отражающая различные комбинации экономических ресурсов, обеспечивающих производителю одинаковый объем производства (изокванты, описывающие данную производственную функцию, никогда не пересекаются).

3) Изокванты не имеют участков возрастания (Если бы участок возрастания существовал, то при движении вдоль него увеличивалось бы количество как первого, так и второго ресурса).

Предельная норма технологического замещения одного ресурса на другой (например, труда на капитал) показывает степень замещения труда капиталом, при котором объем выпуска остается неизменным.

Алгебраическое выражение, показывающее степень, в которой производитель готов сократить количество капитала в обмен на увеличение труда, достаточную для сохранения прежнего объема выпуска имеет вид:

,

где — предельная норма технологического замещения трудом капитала;

К – величина сокращения капитала;

— величина прироста труда.

Аналогично можно найти предельную норму технологического замещения труда капиталом:

.

Предельная норма технологического замещения непосредственно связана с предельными продуктами факторов:

.

Изокоста

Изокоста – это линия, отражающая различные сочетания затрат двух ресурсов, при которых совокупные издержки производства не изменяются.

Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства:

,

где P_k, P_l — цена капитала и труда;

K, L — количество капитала и труда;

— совокупные расходы (издержки) фирмы на приобретение ресурсов.

Если производитель полностью расходует свои средства на приобретение данных ресурсов, то мы получаем равенство:

.

Полученное уравнение называют уравнением изокосты.

Стремление фирмы к эффективному производству побуждает ее к достижению максимально возможной выработки при заданных затратах на ресурсы, или, что же самое, к минимизации издержек при производстве заданного объема выпуска.

Комбинация ресурсов, обеспечивающая минимальный уровень совокупных издержек фирмы, называется оптимальной и лежит в точке касания линий изокосты и изокванты (рис. 5).

Рисунок 5. Оптимальная комбинация ресурсов

Американские экономисты Дуглас и Солоу выявили, что увеличение затрат труда на 1% обеспечивает 3/4 прироста выпущенной продукции, а увеличение затрат капитала на 1% дает возможность увеличить на 1/4 количество выпущенной продукции.

Эти индексы (3/4 и 1/4) были названы агрегатными, а зависимость между выпуском продукции и факторами производства вошла в жизнь под названием агрегатной функции производства, которая позволяет утверждать, что вложения в человеческий капитал, дают больший эффект в увеличении производства, чем рост средств производства.

Вопросы для самоконтроля:

1. Понятие производственной функции.

2. Общий, средний, предельный продукты.

3. Изокванта: понятие, график. Свойства стандартный изоквант.