Уравнение предельного равновесия для сыпучих

Уравнения предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М для любой пло­щадки тп, проведенной через эту точку под углом а (рис. 64, а), возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности, суммарно оцениваемые [см. формулу (11.23′)] давлением связности рг. Тогда на площадку тп (рис. 64, а) будут действовать нормальное напряжение оа+ре и каса­тельное Та .

При изменении угла а величина составляющих напряжений так­же будет меняться и, если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по дру­гой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в дан­ной точке будет

Это отношение равно тангенсу угла отклонения 9, т. е. угла, на ко­торый отклоняется полное напряжение для площадки о от нормали к этой площадке.

Рис. 64. Круги предельных напряжений:

а — схема напряжений в данной точке; б— диаграмма сдвига для сыпучих грунтов; в — то же, для грунтов связных

Так как через заданную точку можно провести множество пло­щадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную пло­щадку, для которой будет существовать максимальный угол откло­нения бтах- Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (см. рис. 64, б) максимальное значение угла от­клонения бтах будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Как было показано ранее (см. гл. II, § 4) и что вытекает из гео­метрических соотношений, поставленному условию удовлетворяет

120 равенство (11.24):

где 01 и 02 — главные напряжения;

Ф — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грун­тов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

1 — 51П ф 1 + 51Пф

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак «минус» (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак «плюс» — пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения 01 и 02 через со­ставляющие напряжения о2, ау и хуг (для плоской задачи). Тогда будем иметь следующее выражение, тождественное зависимости (11.24):

(0у + ог) У> 1уг составляющие напряжении;

у — объемный вес грунта.

В этих двух дифференциальных уравнениях три неизвестных (ог, оу и хуг); таким образом, задача является (без добавочных усло­вий) статически неопределимой. Если же добавить к этим двум уравнениям третье, например, (П.251У), то получим замкнутую систему трех уравнений с тремя неизвестными, но для предельного на­пряженного состояния, так как уравнение (П.251У) является усло­вием предельного равновесия:

Таким образом, задача в общей постановке статически опреде­лима.

Решение дифференциаль­ных уравнений равновесия (а1) и (аг) совместно с усло­вием предельного равнове­сия (аз) в дальнейшем полу­чено (проф. В. В. Соколов­ским, 1942 г.) как системы уравнений гиперболического типа.

Пространственная задача имеет замкнутую систему уравнений (статиче­ски определимую) только для случая осевой симмет­рии.

Для осесимметричной за­дачи, воспользовавшись ци­линдрической системой ко­ординат (г, т>) и приняв обо­значения составляющих на­пряжений по рис. 65, имеем следующую систему уравне­ний равновесия:

Рис. 65. Схема пространственной

напряжении в случае осесимметричной за­дачи

Занятие 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧИХ ТЕЛ

Скачать:

Сыпучее тело, как правило, подчиняется нелинейному закону упругости и испытывает структурные деформации. Изучение поведения сыпучего тела представляет собой сложную задачу, которую обычно заменяют более простой: в которой деформации не рассматриваются совсем, а напряженное состояние принимается таким, какое бывает в начальный момент движения сыпучего тела, когда в каждой точке сыпучего тела возникает сдвиг. Такое напряженное состояние называется предельным.

Решение задачи основывается на приближенном численном решении исходных уравнений предельного равновесия:
для плоской задачи: ΣX = 0; ΣZ = 0; ΣМ = 0; после преобразований:

Однако, так же, как и в механике твердых тел, в механике сыпучих должен быть установлен критерий для характеристики напряженного состояния, при котором происходит разрушение или наступает текучесть. Этот критерий должен дать возможность составить дополнительные уравнения, которые в сочетании с дифференциальными уравнениями равновесия позволят определить неизвестные величины нормальных и касательных напряжений в сыпучем теле.

Этот критерий заключается в следующем: предполагается, что сыпучее тело целиком находится в предельном напряженном состоянии и в любой его точке выполняется условие предельного напряженного состояния Кулона-Мора:

Мы видим, что условия равновесия рассматриваются в совокупности с условием, характеризующим предел прочности сыпучего тела. Построенную на этой основе теорию называют теорией предельного равновесия.

Вспомним, что через каждую точку напряженного тела можно провести три (для плоской задачи – две) взаимно перпендикулярные плоскости, по которым касательные напряжения отсутствуют, а нормальные имеют экстремальные значения. Такие плоскости называются главными площадками, а действующие по ним нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями σ1 ;σ3

Максимальные касательные напряжения действуют под углом 45 к главным площадкам (рис. 1), и для твёрдых тел по этим площадкам может произойти сдвиг, если касательные напряжения превзойдут определенный предел. Для сыпучих же тел (где сопротивление сдвигу определяется не только величиной скрепления между частицами, но и величиной действующего сжимающего нормального напряжения), опасными в отношении сдвига будут не те площадки, по которым действуют наибольшие τ, а те, для которых отношение τ/σ (являющееся тангенсом угла θ отклонения напряжения от нормали) окажется наибольшим.

Здесь θ – угол отклонения равнодействующей полного напряжения от нормали к площадке.

Решение этой сложной задачи приведено во многих источниках [ 5, 6, 13 ] и сводится к тому, что сдвиг произойдет в том случае, если указанный угол θ достигнет величины угла внутреннего трения φ. При этом площадки скольжения будут иметь определенные углы α наклона к линиям действия главных напряжений.

Здесь α – угол наклона площадки скольжения к главной площадке.

Площадки скольжения расположены симметрично по отношению к направлению действия главных напряжений и составляют с направлением действия большего главного напряжения угол 45 – φ/2 (рис. 2).

Если во всех точках сыпучего тела, образующих некоторую поверхность, наступает состояние предельного равновесия, то эта поверхность называется поверхностью скольжения. При этом весь объём, ограниченный этой поверхностью, и отделенный ею от остальной части сыпучего тела, будет находиться в состоянии предельного равновесия (решение Кулона).

Если же состояние предельного равновесия наступает во всех точках какого-либо объёма сыпучего тела, то такое состояние называется предельным напряженным состоянием (решение Соколовского). При этом в данном объеме сыпучего тела возникает бесчисленное множество поверхностей скольжения.

Иллюстрация приведенных рассуждений – графическое изображение напряжённого состояния сыпучего тела.

Круговой график напряжений (круг Мора)

В механике сыпучих сред наряду с аналитическими методами решения задач очень часто применяют графические – остроумные и замечательные.

Вычисление напряжений, действующих по наклонным площадкам в какой-либо точке, может быть заменено следующим графическим построением (рис. 3).

1. В системе прямоугольных координат σ и τ на оси σ в избранном масштабе напряжений откладываются отрезки ОА и ОВ, изображающие величины главных напряжений;

2. На отрезке АВ, равном разности σ1 и σ3, как на диаметре, строят окружность;

3. Для нахождения нормального и касательного напряжений, действующих по площадке, отклоняющейся от главной площадки на угол α*, нужно построить угол α* при точке В. Координаты точки D соответствуют нормальным и касательным напряжениям. Угол отклонения θ равнодействующей полного напряжения по площадке от нормали к ней выражается на чертеже углом, образуемым с осью σ секущей OD;

4. Для предельного равновесия сыпучего тела этот угол соответствует углу внутреннего трения φ. Из чертежа следует, что α1 = 45° — φ/2, а α2 = 45° + φ/2. Таким образом, эти углы определяют направление площадок скольжения.

Так как предельное равновесие в какой-либо точке сыпучего тела наступает в том случае, если для двух площадок, проходящих через эту точку, будет выполняться условие α = 45° ± φ/2, то прямая OD’, проведенная под углом φ к оси σ, должна быть касательной к окружности в тех её точках, которые соответствуют данным площадкам (рис. 3).

Уравнение предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М (рис. 4.4, а) для любой площадки mn, проведенной через эту точку пол углом α, возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности; суммарно оцениваемые давлением связности ре. Тогда на площадку mn (рис. 4.4, а) будут действовать нормальное напряжение σ_α + р_е и касательное τ_α.

Рис. 4.4. Круги предельных напряжений: а – схема напряжений в данной точке; кривые сдвига для сыпучих (б) и связных (в) грунтов

При изменении угла α величины составляющих напряжений также будут меняться, и если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по другой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в данной точке будет

Если f — величина постоянная, то в предельном состоянии она представляет собой тангенс угла наклона прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений (рис. 4.4, б,в).

С другой стороны, согласно рис. 4.4, а

Это отношение равно тангенсу угла отклонения Θ, т. е. угла, на который отклоняется полное напряжение для площадки σ от нормали к этой площадке.

Так как через заданную точку можно провести множество площадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную площадку, для которой будет существовать максимальный угол отклонения Θ_max. Тогда

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (рис. 4.4, б) максимальное значение угла отклонения Θ_max будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Из геометрических соотношений вытекает, что поставленному условию удовлетворяет равенство:

где σ₁ и σ₂ —главные напряжения; φ — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грунтов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак минус (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак плюс – пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения σ₁ и σ₂ через составляющие напряжения σ_z, σ_y и τ_zy (для плоской задачи). Тогда будем иметь выражение:

Для связных грунтов, подобно предыдущему, пользуясь кривой предельных напряжений (рис. 4.4,в), получим условие предельного равновесия в виде

(2.25)

где с—сцепление грунта, определяемое как начальный параметр огибающей кругов предельных напряжений, то уравнение (2.25) может быть представлено в виде

Последняя формула широко используется в задачах теории предельного равновесия.

Условие предельного равновесия в составляющих напряжениях σ_z, σ_y и τ_zy для связных грунтов имеет следующий вид:

Отметим, что круг предельных напряжений дает возможность определить направления площадок скольжения для любой заданной точки.

Если соединить точку касания предельной прямой ОЕ (рис. 4.4, в) с концом отрезка, изображающего в масштабе σ₂ (точка А), то направление ЕА определит направление площадки скольжения. По рис. 4.4, в

Таким образом, в условиях предельного равновесия площадки скольжения будут наклонены под углом ±( 45°+ φ/2)к направлению площадки наибольшего главного напряжения, или, что то же самое, под углом ±(45°—φ/2) к направлению главного напряжения σ₁.

Дата добавления: 2015-01-29 ; просмотров: 276 ; Нарушение авторских прав