Уравнение при движении с постоянным ускорением

Движение тела с постоянным ускорением

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 60.

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 60.

Одним из частых видов неравномерного движения является движение тела с постоянным ускорением. Рассмотрим особенности такого движения, выведем его кинематическую формулу.

Ускорение

Самым простым видом движения является равномерное и прямолинейное. Однако, большинство движений являются равномерными и прямолинейными лишь на некотором участке пути. Трение и взаимодействия с другими телами приводят к тому, что большая часть движений происходят с изменением скорости, то есть неравномерно. Покоящееся тело имеет нулевую скорость, потом начинает движение, и его скорость увеличивается, а после равномерного участка происходит замедление и остановка, скорость тела опять изменяется.

При этом, поскольку скорость – это векторная величина, то даже при постоянном модуле она может меняться, изменяя направление.

Изменение скорости может происходить с разной быстротой. Одна и та же скорость может быть достигнута с нулевой за различное время. Для оценки этой быстроты используется специальный параметр – ускорение.

Ускорение равно отношению изменения скорости движения ко времени этого изменения:

Ускорение – это векторная величина, если движение с ускорением происходит не по прямой, а на плоскости или в пространстве, ее направление и модуль находятся по правилам действий с векторами.

Из формулы ускорения следует, что единицей ускорения является метр в секунду за секунду или метр в секунду в квадрате.

Рис. 1. Ускорение в физике.

Скорость движения при постоянном ускорении

Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным, независимо от того, увеличивает ли тело скорость или уменьшает. Хорошим примером равноускоренного движения является свободное падение тел в первые секунды, когда сопротивление воздуха не играет роли. Еще Галилей установил, что все тела при падении увеличивают скорость одинаково, то есть движутся с равным ускорением.

Используя приведенную формулу, можно найти скорость падающего тела (и вообще любого тела, движущегося с постоянным ускорением) в любой момент времени. Если в принятой Системе Отсчета тело в момент времени $t_1=0$ двигалось со скоростью $\overrightarrow v_0$, и после этого двигалось с ускорением $\overrightarrow a$ его скорость в момент $t$ составит:

$$\overrightarrow v = \overrightarrow v_0 + \overrightarrow at$$

Это основная формула скорости при равноускоренном движении.

Графиком скорости при постоянном ускорении является прямая, пересекающая ординату в точке с координатой $v_0$, и направленная вверх, если ускорение положительно, или вниз, если ускорение отрицательно.

Рис. 2. Пример графика скорости равноускоренного движения.

Перемещение при равноускоренном движении

Из графика скорости можно определить перемещение, учитывая, что величина перемещения равна площади фигуры под графиком.

В общем случае эта фигура представляет собой трапецию, высота которой равна $t$, а основания – $v_0$ и $v=at$. Используя формулу, уже известную в 10 классе из геометрии, получим:

Учитывая векторный характер величин, а также то, что в начальный момент перемещение равно $x_0$, окончательно имеем:

$$\overrightarrow x =\overrightarrow x_0+\overrightarrow v_0t+<\overrightarrow at^2\over 2>$$

Это основная формула перемещения при равноускоренном движении. Отметим, что она представляет собой уравнение второй степени, то есть график перемещения при равноускоренном движении будет параболой.

Рис. 3. Пример графика перемещения равноускоренного движения.

Обе приведенных формулы связывают скорость и перемещение материальной токи с моментом времени. Но, при решении задач иногда требуется, чтобы формула напрямую связывала скорость и перемещение. Выразив время из формулы скорости, и подставив его в формулу расстояния, получим:

Заметим, что данное соотношение имеет скалярный вид. Так происходит из-за присутствия действий умножения и деления, которые не применимы к векторным величинам, поэтому последнюю формулу можно использовать лишь только после проецирования векторов на оси координат.

Что мы узнали?

Ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости движения. Если при движении ускорение не меняется, такое движение называется равноускоренным. График скорости при равноускоренном движении представляет собой наклонную прямую, график перемещения – параболу.

Понятие об ускорении. Движение с постоянным ускорением по прямой линии. Формулы и решение задачи

Изучением классического механического движения в физике занимается кинематика. В отличие от динамики, наука изучает, почему движутся тела. Она отвечает на вопрос, как они это делают. В данной статье рассмотрим, что такое ускорение и движение с постоянным ускорением.

Понятие об ускорении

Когда тело движется в пространстве, за некоторое время оно преодолевает определенный путь, который является длиной траектории. Чтобы рассчитать этот путь, пользуются понятиями скорости и ускорения.

Скорость как физическая величина характеризует быстроту во времени изменения пройденного пути. Скорость направлена по касательной к траектории в сторону перемещения тела.

Вам будет интересно: Что такое «пис», где возникло, как употребляется?

Ускорение — это несколько более сложная величина. Говоря кратко, она описывает изменение скорости в рассматриваемый момент времени. Математическое определение ускорения выглядит так:

Чтобы яснее понять эту формулу, приведем простой пример: предположим, что за 1 секунду движения скорость тела увеличилась на 1 м/с. Эти цифры, подставленные в выражение выше, приводят к результату: ускорение тела в течение этой секунды было равно 1 м/с2.

Направление ускорения совершенно не зависит от направления скорости. Его вектор совпадает с вектором результирующей силы, которая вызывает это ускорение.

Следует отметить важный момент в приведенном определении ускорения. Эта величина характеризует не только изменение скорости по модулю, но и по направлению. Последний факт следует учитывать в случае криволинейного движения. Далее в статье будет рассматриваться только прямолинейное движение.

Скорость при движении с постоянным ускорением

Ускорение является постоянным, если оно в процессе движения сохраняет свой модуль и направление. Такое движение называют равноускоренным или равнозамедленным — все зависит от того, приводит ли ускорение к увеличению скорости или к ее уменьшению.

В случае движения тела с постоянным ускорением определить скорость можно по одной из следующих формул:

Первые два уравнения характеризуют равноускоренное перемещение. Отличие между ними заключается в том, что второе выражение применимо для случая ненулевой начальной скорости.

Третье уравнение — это выражение для скорости при равнозамедленном движении с постоянным ускорением. Ускорение при этом направлено против скорости.

Графиками всех трех функций v(t) являются прямые. В первых двух случаях прямые имеют положительный наклон относительно оси абсцисс, в третьем случае этот наклон является отрицательным.

Формулы пройденного пути

Для пути в случае движения с ускорением постоянным (ускорение a = const) получить формулы несложно, если вычислить интеграл от скорости по времени. Проделав эту математическую операцию для записанных выше трех уравнений, мы получим следующие выражения для пути L:

Графиками всех трех функций пути от времени являются параболы. В первых двух случаях правая ветвь параболы возрастает, а для третьей функции она постепенно выходит на некоторую константу, которая соответствует пройденному пути до полной остановки тела.

Решение задачи

Двигаясь со скоростью 30 км/ч, автомобиль начал ускоряться. За 30 секунд он прошел расстояние 600 метров. Чему было равно ускорение автомобиля?

В первую очередь переведем начальную скорость из км/ч в м/с:

v0 = 30 км/ч = 30000/3600 = 8,333 м/с.

Теперь запишем уравнение движения:

Из этого равенства выразим ускорение, получим:

Все физические величины в этом уравнении известны из условия задачи. Подставляем их в формулу и получаем ответ: a ≈ 0,78 м/с2. Таким образом, двигаясь с ускорением постоянным, автомобиль за каждую секунду увеличивал свою скорость на 0,78 м/с.

Рассчитаем также (для интереса), какую скорость он приобрел через 30 секунд ускоренного движения, получаем:

v = v0 + a*t = 8,333 + 0,78*30 = 31,733 м/с.

Уравнение при движении с постоянным ускорением

Равноускоренное прямолинейное движение – движение по прямой с постоянным ускорением (а = const ).

Ускорение – векторная физическая величина, показывающая, на сколько изменяется скорость тела за 1 с.

В векторном виде:

В проекции на ось ОХ формула аналогичная

Знаки проекции ускорения зависят от направления вектора ускорения и оси – сонаправлены они или направлены противоположно.

Измерительный прибор – акселерометр. (В ЕГЭ по физике есть вопросы, каким прибором что измеряют.)

График ускорения – зависимость проекции ускорения от времени:

График ускорения при равноускоренном прямолинейном движении – прямая, параллельная оси времени (1, 2).
Чем дальше график от оси времени (2), тем больше модуль ускорения.

Мгновенная скорость – скорость в данный момент времени или в данном месте пространства .

Скорость при равноускоренном прямолинейном движении.

В векторном виде,

в проекции на ось OX,

с учетом знака ускорения («+» разгон, «-» торможение):