Уравнение приращения механической энергии системы

4.5. Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему из N материальных точек с массами m₁, m₂, . m_N. Предположим, что на точку с номером i действуют: 1) суммарная внутренняя консервативная сила , 2) суммарная внутренняя неконсервативные сила , 3) суммарная внешняя консервативная сила и 4) суммарная внешняя неконсервативная сила . Тогда уравнение движения i-ой точки имеет вид (4.5.1)

Умножим обе части уравнения (4.5.1) на элементарное перемещение

и сложим все уравнения для точек с номерами i = 1, . N. При этом учтем, что

Рассмотрим по отдельности каждый член в этом уравнении. В левой части стоит величина

которая с очевидностью является приращением полной кинетической энергии К частиц системы.

Первое слагаемое в правой части (4.5.2) есть суммарная работа всех внутренних консервативных сил. Второе слагаемое есть суммарная работа всех внешних консервативных сил. В силу консервативности сил и то и другое слагаемые можно представить в виде убыли соответствующей потенциальной энергии. В первом случае — внутренние — консервативные силы, в виде убыли потенциальной энергии взаимодействия тел системы:

Во втором случае — внешние — консервативные силы, в виде убыли потенциальной энергии системы во внешнем консервативном силовом поле

Третье и четвертое слагаемые представляют суммарную работу внутренних и внешних неконсервативных сил и потому не могут быть представлены в виде убыли некоторой скалярной функции только координат по той простой причине, что таковая не существует. Введем для этих слагаемых следующие обозначения: элементарная работа всех внутренних неконсервативных сил

и элементарная работа всех внешних неконсервативных сил

Перенесем (4.5.4) и (4.5.5) налево и используем обозначения (4.5.6) и (4.5.7), тогда уравнение (4.5.2) приобретет вид.

Стоящая в левой части под знаком дифференциала сумма, по определению есть полная механическая энергия системы.

Таким образом, окончательно мы получаем соотношение, которое можно назвать теоремой о приращении полной механической энергии:

которая гласит: приращение механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных сил, как внутренних, так и внешних.

Как следует из (4.5.10), если система замкнута, то приращение её механической энергии равно работе внутренних неконсервативных сил. То есть одного только факта замкнутости системы (отсутствия внешних сил) недостаточно для того, чтобы механическая энергия сохранялась. Достаточным является полное отсутствие — как среди внешних, так и среди внутренних — неконсервативных сил.

Таким образом, закон сохранения механической энергии гласит:

В отсутствие неконсервативных сил полная механическая энергия системы сохраняется:

Рис.4.11. Ускорение материальной точки равно нулю в точках экстремумов потенциальной энергии.

Отсюда и название: консервативные (to conserve — беречь, охранять, сберегать, сохранять) силы это такие силы, при действии которых механическая энергия сохраняется/

Закон сохранения механической энергии замкнутой системы можно сформулировать так:

В отсутствие внутри замкнутой системы неконсервативных сил полная механическая энергия замкнутой системы сохраняется:

Налицо явное отличие закона сохранения механической энергии замкнутой системы от закона сохранения импульса замкнутой системы: импульс замкнутой системы сохраняется вне зависимости от характера сил, действующих внутри системы, а механическая энергия замкнутой системы сохраняется только тогда, когда внутри замкнутой системы отсутствуют неконсервативные силы. Это легко понять. Механический импульс системы

это весь импульс, какой только может быть — другого импульса не существует. А механическая энергия системы () это не вся её энергия — не учтена внутренняя (тепловая, химическая и т. п.) энергия тел, входящих в состав системы. Неконсервативные силы тем и занимаются, что переводят механическую энергию во внутреннюю, или наоборот, внутреннюю энергию в механическую. Подчеркнем, что механическая энергия замкнутой системы, в результате действия внутри неё неконсервативных сил, может не только убывать, но и возрастать. Например, при взрыве летящего снаряда, суммарная кинетическая энергия его осколков и образовавшихся при взрыве пороховых газов больше, чем кинетическая энергия снаряда (вместе с порохом внутри) непосредственно перед взрывом. Для того, чтобы это было вполне очевидным, перейдем в ту систему отсчета, в которой снаряд непосредственно перед взрывом покоится (в систему его центра масс). Все части снаряда неподвижны, значит полная кинетическая энергия равна нулю. После взрыва осколки снаряда и пороховые газы движутся — кинетическая энергия больше нуля и равна энергии, выделившейся при сгорании пороха.

Видео 4.3. Тепловой взрыв. Работа силы трения увеличивает внутреннюю энергию газа, в определенный момент она высвобождается, превращаясь в кинетическую энергию «снаряда».

Закон сохранения энергии является всеобъемлющим постольку, поскольку всеобщим является постулат об однородности времени для замкнутой системы, а общее определение энергии таково: энергия это сохраняющаяся характеристика замкнутой системы, сохранение которой обусловлено однородностью времени. Пока мы — в этом учебнике — имеем дело только с механической энергией, но есть и другие ее формы, в том числе, без сомнения, нам (человечеству) пока неизвестные. Например, совсем недавно астрофизики обнаружили наличие некоторого вида материи, которую назвали «темной материей». На сегодняшний день (начало 2010 года) про неё известно только то, что она подвержена гравитационному притяжению. Если обнаруживается, что в каком-либо физическом процессе энергия не сохраняется, мы ищем новую форму энергии, чтобы обеспечить ее точный баланс. Поступая так, мы вовсе не «жульничаем» и не делаем нечестной попытки скрыть недостаток наших знаний о природе. Так ученые «придумали» тепловую, электромагнитную, ядерную и др. формы энергии. Один из основоположников теории относительности Анри Пуанкаре писал: «Поскольку мы не в состоянии дать общее определение энергии, закон сохранения энергии следует рассматривать просто, как указание на то, что существует «нечто», остающееся постоянным (в любом физическом процессе). К каким бы открытиям ни привели нас будущие эксперименты, мы заранее знаем, что и тогда будет «нечто», обладающее способностью сохраняться, и это нечто мы, скорее всего, сможем называть энергией».

Видео 4.4. Цепочка переходов энергии из одного вида в другой: химической в механическую, механической в электромагнитную.

Сохранение энергии и переход ее из одной формы в другую демонстрируется в опыте с маятником Максвелла (Видео 4.5.).

Видео 4.5. Маятник Максвелла. При рассмотрении баланса энергий необходимо учитывать кинетическую энергию не только поступательного, но и вращательного движения.

Закон сохранения и превращения энергии в механических процессах

п.1. Понятие физической системы

Часто воздействие на систему задается в виде внешних полей: поля тяготения, электрического или магнитного полей и т.п.

Примеры физических систем в механике

Груз на нити	Груз на пружине	Сообщающиеся сосуды

По характеру взаимодействия с окружением различают замкнутые и открытые физические системы.

Замкнутые системы очень важны в механике, т.к. в них действуют фундаментальные законы сохранения.

п.2. Полная механическая энергия системы

Если держать мяч в руках неподвижно над землей, то его кинетическая энергия \(E_k=0\), а потенциальная \(E_p=mgh\). Если мяч отпустить, в момент падения его кинетическая энергия $$ E_k=\frac<2>, $$ а потенциальная \(E_p=0\).

В полете мяч обладает некоторой ненулевой кинетической, и некоторой ненулевой потенциальной энергией. Можно говорить о сумме энергий – полной механической энергии.

Большинство тел большую часть времени обладают и той и другой энергией.

Например: вода, падающая с плотины; ракета, взлетающая над стартовым столом.

п.3. Закон сохранения полной механической энергии и однородность времени

Если тело обладает энергией, то оно способно совершить работу.

Совершённая работа равна изменению энергии.

В §37 данного справочника мы вывели следующие соотношения для работы и изменения двух видов энергии: \begin A=\Delta E_k=E_-E_\\[7pt] A=-\Delta E_p=-(E_-E_) \end

По определению, слева в равенстве \(E_2=E_+E_\) – полная механическая энергия в момент времени \(t_2\); справа в равенстве \(E_1=E_+E_\) – полная механическая энергия в момент времени \(t_1\). Получаем замечательный результат: $$ E_2=E_1=const $$

«Постоянство» означает, что в какой бы момент времени мы не заглянули в замкнутую систему, сумма кинетической и потенциальной энергии в ней всегда будет одинакова.

В этом смысле закон сохранения энергии связан с фундаментальным свойством однородности времени.

п.4. Превращения энергии при движении тела в поле силы тяжести

Полная механическая энергия замкнутой системы остается постоянной.

При этом в какие-то моменты времени кинетическая энергия может быть равной нулю, а потенциальная – будет максимальной; в другие моменты времени – наоборот.

Большую часть времени оба слагаемых полной энергии будут ненулевыми – одно постепенно уменьшаясь, второе – увеличиваясь.

Таким образом, можем сделать вывод о постоянном превращении кинетической и потенциальной энергии друг в друга.

Рассмотрим превращения энергии при падении и отскоке резинового шарика от твердой плиты.

В начальной точке траектории (1) шарик имеет в поле тяготения Земли потенциальную энергию \(E_=mgH\) и кинетическую энергию, равную 0.

При падении (2) высота над плитой уменьшается, скорость растёт; потенциальная энергия переходит в кинетическую.

В момент касания плиты (3) потенциальная энергия равна 0, а кинетическая максимальна: $$ E_=\frac> <2>$$ Вся потенциальная энергия перешла в кинетическую.

За счет сил упругости сжатой плиты и шарика, шарик отталкивается от плиты и начинает движение вверх.

Если пренебречь потерями энергии при ударе, то движение из положения (4) начинается с той же скоростью \(v_\), направленной вверх. И тогда в положении (6) шарик поднимется на ту же высоту \(H\). Вся кинетическая энергия перейдёт в потенциальную.

В реальности, часть энергии теряется на нагрев шарика и плиты при ударе. Поэтому скорость в положении (4) в момент отскока меньше \(v_\), и шарик в положении (6) поднимается на высоту, меньшую \(H\).

п.5. Диссипативные силы и уточнение закона сохранения энергии

Нагрев плиты и шарика возникает за счет сил трения, возникающих между частицами тел при деформации. Это приводит убыванию (диссипации) полной механической энергии системы. В результате шарик при каждом отскоке все ниже поднимается над плитой.

Наряду с консервативными силами, определенными в §37 данного справочника, введем понятие диссипативных сил.

Таким образом, закон сохранения полной механической энергии выполняется при отсутствии диссипативных сил. Получаем следующую уточненную формулировку:

п.6. Задачи

Задача 1. Мальчик на санях спускается с горки высотой 20 м. Чему равна скорость саней в конце спуска? Трением можно пренебречь. Выразите ответ в м/с и км/ч.

Если пренебречь трением, в системе сохраняется полная механическая энергия, и потенциальная энергия на вершине полностью переходит в кинетическую энергию внизу: \begin E_p=E_k\\[6pt] mgh=\frac<2>\Rightarrow v^2=2gh\\[6pt] v=\sqrt <2gh>\end Получаем \begin v=\sqrt<2\cdot 10\cdot 20>=20\ (\text<м/с>)=72\ (\text<км/чс>) \end Ответ: 20 м/с = 72 км/ч

Задача 2. Камень падает с высоты 10 м. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной, если взять поверхность земли за нулевой уровень? Чему равна скорость камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

На высоте \(H\) камень имеет максимальную потенциальную энергию \(E_=mgH\) и нулевую кинетическую энергию \(E_=0\). Полная энергия \begin E=E_+E_=mgh+0=mgh \end При падении вниз полная энергия сохраняется.
На высоте \(h\) обе составляющие полной энергии равны: $$ E_p=E_k=\frac 12E. $$ Получаем: \begin E_p=\frac 12E\Rightarrow mgh=\frac 12 mgH\\[6pt] \frac 12H\\[6pt] E_k=\frac 12E\Rightarrow \frac<2>=\frac 12 mgH\Rightarrow v^2=gH\\[6pt] v=\sqrt \end Подставляем \begin h=\frac 12\cdot 10=5,\ \text<м>\\[6pt] v=\sqrt<10\cdot 10>=10\ (\text<м/с>) \end Ответ: 5 м; 10 м/с

Задача 3. Какую работу совершают при подъеме камня массой 400 г на высоту 1 м, прикладывая силу 4 Н? Чему равна работа, если приложенная сила равна 10 Н? Какую энергию приобретает камень в каждом из этих случаев?

Работа силы \(F\) при подъеме камня на высоту \(h\) равна \(A=Fh\).
Соответственно: \begin A_1=F_1h=4\cdot 1=4\ (\text<Дж>)\\[7pt] A_2=F_2h=10\cdot 1=10\ (\text<Дж>) \end На высоте \(h\) камень в любом случае приобретает потенциальную энергию \begin E_p=mgh\\[7pt] E_p=0,4\cdot 10\cdot 1=4\ (\text<Дж>) \end В первом случае \(A_1=E_p\), причем в каждой точке подъема. Работа полностью уходит на изменение потенциальной энергии. Камень на высоте \(h=1\ \text<м>\) не имеет кинетической энергии, \(E_=0\). Если его отпустить, он не будет двигаться.
Во втором случае \(A_2\gt E_p\), причем в каждой точке подъема. Работа уходит на изменение как потенциальной, так и кинетической энергии. Камень на высоте \(h=1\ \text<м>\) имеет кинетическую энергию \(E_=A-E_p=10-4=6\ (\text<Дж>)\). Если его отпустить, он продолжит движение вверх самостоятельно.
Ответ: \(A_1=4\ \text<Дж>,\ A_2=10\ \text<Дж>;\ E_p=4\ \text<Дж>;\ E_=0,\ E_=6\ \text<Дж>\)

Задача 4*. Шар и куб одинаковой массы, сделанные из стали, лежат на полу. Их подняли до соприкосновения с потолком. Одинаково ли изменилась при этом их потенциальная энергия?

Пусть ребро куба равно \(a\), а диаметр шара равен \(D\). Выясним, какая из этих длин больше.
Объем шара через диаметр \begin V_1=\frac 43\pi R^3=\frac 43\pi\left(\frac D2\right)^3=\frac<\pi><6>D^3 \end Куб и шар одинаковой массы и одинаковой плотности (сделаны из одного материала).
Следовательно, у них одинаковый объем. \begin V_1=V_2\Rightarrow \frac<\pi><6>D^3=a^3\Rightarrow \frac=\frac<\pi><6>\lt 1\Rightarrow a\lt D \end Сторона куба меньше диаметра шара.
Потенциальная энергия в поле тяготения Земли определяется силой тяжести, приложенной к центру тяжести тела, и высотой центра тяжести над нулевым уровнем.
Изменение потенциальной энергии в общем случае \begin \Delta E_p=mgH_2-mgH_1=mg\cdot \Delta H \end определяется изменением высоты (вертикальным перемещением) центра тяжести.
Т.к. диаметр шара больше ребра куба, \(D\gt a\), в исходном положении – на полу – центр тяжести шара выше центра тяжести куба. В конечном положении – при касании с потолком – центр тяжести шара ниже центра тяжести куба.
Значит, изменение высоты центров тяжести \(h_1\lt h_2\), и изменение потенциальных энергий \begin \Delta E_\lt \Delta E_ \end Потенциальная энергия шара изменилась меньше.
Ответ: потенциальная энергия шара изменилась меньше

Задача 5*. Подбрасывая вверх камень весом 10 Н, мальчик приложил силу 40 Н на пути 0,5 м. На какую высоту поднялся камень после отрыва от ладони?

В замахе, на пути s мальчик совершил работу \(A=Fs\). Эта работа ушла на изменение энергии камня. Путь \(s\) вертикальный, и потенциальная энергия увеличилась на \begin \Delta E_p=mgs=Ps. \end Кинетическая энергия увеличилась на \begin \Delta E_k=a-\Delta E_p=Fs-Ps=(F-P)s. \end В начальный момент времени кинетическая энергия \begin E_=0. \end В момент отрыва кинетическая энергия $$ E_k=E_+\Delta E_k=0+(F-P)s=(F-P)s. $$ При самостоятельном подъеме камня вся эта энергия переходит в потенциальную: \begin E_k=E_p\\[7pt] (F-P)s=Ph \end Высота подъема \begin h=\frac

s \end Получаем \begin h=\frac<40-10><10>\cdot 0,5=1,5\ (\text<м>) \end Ответ: 1,5 м

Задача 6*. Мальчик погрузил в воду плотностью \(\rho\) мячик массой \(m\) и объемом \(V\) на глубину \(H\) и отпустил его. На какую высоту над поверхностью воды выскочит мячик? Сопротивлением воды и воздуха можно пренебречь. Пусть нулевой уровень \(h_0=0\) проходит по поверхности воды.
На мячик действует сила тяжести \(P=mg\), направленная вниз, и выталкивающая сила \begin F_A=\rho Vg, \end направленная вверх. Равнодействующая этих сил \begin R=F_A-P=(\rho V-m)g \end направлена вверх.
Тогда на глубине \(H\) потенциальная энергия мячика \begin E_=RH. \end Потенциальная энергия положительна и растет с глубиной. Кинетическая энергия \begin E_=0. \end Полная энергия \begin E=E_+0=E_ \end Из закона сохранения полной энергии получаем \begin E=E_=E_\Rightarrow (\rho V-m)gH=mgh\Rightarrow h=\frac<(\rho V-m)H>\\[6pt] h=\left(\frac<\rho V>-1\right)H \end Ответ: \(h=\left(\frac<\rho V>-1\right)H\)

Механическая энергия. Закон изменения (сохранения) механической энергии

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В начале этого раздела мы с вами отмечали то, что энергия, подобно импульсу, – величина сохраняющаяся. Однако на предыдущих уроках мы с вами убедились, что работа всех сил, действующих на тело, приводит к изменению кинетической и потенциальной энергии тела, однако не получили закон сохранения энергии. На этом уроке мы выведем закон сохранения полной механической энергии, а также поговорим о том, при каких условиях он справедлив.