Уравнение приводящиеся к квадратным уравнениям

Уравнения, приводимые к квадратным

Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. При решении уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же прием – введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на новую переменную.

Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение: \((x^2+2x)^2-7(x^2+2x)-8=0\) .

Подстановка \(x^2+2x=t\) приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t: \(t^2-7t-8=0\) .

По теореме Виета: \(\begin t_1+t_2=7 \\ t_1\cdot t_2=-8\\ \end \Rightarrow t_1=-1; \ t_2=8\)

Обратная замена: \(\begin x^2+2x=-1\\ x^2+2x=8\\ \end \Rightarrow \begin x^2+2x+1=0\\ x^2+2x-8=0\\ \end \Rightarrow \)

\(1) \ x^2+2x+1=0 \\(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1 \\2) \ x^2+2x-8=0 \\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot (-8)=36 \\x_1=\frac<-2+6>2=2 \\x_2=\frac<-2-6>2=-4 \)

Один вид уравнений, приводимых к квадратным – биквадратные уравнения.

Биквадратные уравнения – это уравнения вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0, где\ a≠0\) .

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки \(x^2 =t\) . После такой подстановки получим квадратное уравнение относительно t: \(at^2+bt+c=0\) .

Биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней. Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

Пример 2. Решить уравнение: \(4x^4-5x^2+1=0\) .

Решение: Пусть \(x^2=t, \ t \ge0\) ,

Получили квадратное уравнение.

Оба корня удовлетворяют условию \(t≥0\) .

Возвращаемся к исходной переменной: \(x^2=1; \ x^2=\frac14\) .

Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни:

\(x_1=1; \ x_2=-1; \ x_3=\frac12; \ x_4=-\frac12\) .

Урок на тему: «Уравнения приводимые к квадратным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение

«Невинномысский энергетический техникум»

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»

Уравнения, приводящиеся к квадратным

Скрыльникова Валентина Евгеньевна

Невинномысск 2016 год.

Цели урока: Слайд №2

Обучающие: способствовать организации деятельности учащихся по восприятию,

осмыслению и первичному запоминанию новых знаний (метод введения новой переменной, определение биквадратного уравнения) и способов

действий (научить решать уравнения методом введения новой

переменной), помочь учащимся осознать социальную и личностную

значимость учебного материала;

Развивающие: способствовать повышению вычислительной способности учащихся;

развитию устной математической речи; создать условия для

формирования навыков самоконтроля и взаимоконтроля,

алгоритмической культуры учащихся;

Воспитательные: способствовать воспитанию доброжелательного отношения

Тип урока: изучение нового материала,.

Методы: словесный, наглядный, практический, поисковый

Формы работы : индивидуальная, парная, коллективная

Оборудование: интерактивная доска, презентация

I. Организационный момент.

— отметить отсутствующих, проверить готовность класса к уроку.

Преподаватель: Ребята, мы начинаем изучение новой темы. Тему урока пока не записываем, вы ее сформулируете сами чуть попозже. Скажу лишь, что речь пойдет об уравнениях.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем.

И засуху предсказал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Вы, ребята, уже решили не один десяток уравнений, Задачи с помощью уравнений можете решать. С помощью уравнений можно описать различные явления в природе, физические, химические явления, даже рост населения в стране описывается уравнением. Сегодня на уроке мы с вами познаем еще одну истину, истину, касающуюся метода решения уравнений.

II. Актуализация знаний.

Но для начала, давайте вспомним:

Какие уравнения называются квадратными? ( Уравнение вида , где х – переменная, — некоторые числа, причем а≠0.)

Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?

4) 2х 3 – х 2 – 4 = 8

5) 4х 2 – 1х + 7 = 0 Ответ:(2,3,5)

Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? (Уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.)

Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями.(3)

1) Выпишите номера полных квадратных уравнений.

2) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 8.

3) Выпишите номер неполного квадратного уравнения , имеющего один корень.

4) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 6.

5) Найдите Д в уравнении 4 и сделайте вывод о количестве корней.

1)Выпишите номера неполных квадратных уравнений.

2)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 1.

3)Выпишите номер неполного квадратного уравнения , имеющего один корень 0.

4)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 3.

5)Найдите Д в уравнении 3и сделайте вывод о количестве корней.

Учащиеся меняются тетрадями, выполняют взаимопроверку и выставляют оценки.

Игра «Угадай слово».

А теперь вы должны угадать слово, которое записано на доске. Для этого вам необходимо решить уравнения и найти для них правильные ответы. Каждому ответу соответствует буква, а каждой букве соответствует номер карточки и номер в таблице которому соответствует данная буква. На доске изображены таблица №1 полностью и таблица, №2 в которой, записаны только цифры, буквы по мере решения примеров вписывает преподаватель. Преподаватель раздает карточки с квадратными уравнениями каждому студенту. Каждая карточка пронумерована. Студент решает квадратное уравнение и получает ответ -21. В таблице находит свой ответ и узнает, какая буква соответствует его ответу. Это буква А. Затем говорит преподавателю, какая у него буква и называет номер карточки. Номер карточки соответствует месту буквы в таблице №2. Например ответ -21 буква А номер карточки 5. Преподаватель в таблице №2 под цифрой 5 записывает букву А и т.д. пока выражение не будет полностью записано.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,

где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

то получится x 2 + px + q = 0.

Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

является приведённым, а уравнение:

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0	или если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Приведём уравнение к общему виду:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом: