Уравнение продольного пьезоэффекта в кристалле

Пьезоэлектрический эффект

Пьезоэлектрический эффект (сокращенно пьезоэффект) наблюдается в анизотропных диэлектриках, преимущественно в кристаллах некоторых веществ, обладающих определенной, достаточно низкой симметрией. Пьезоэффектом могут обладать кристаллы, не имеющие центра симметрии, а имеющие так называемые полярные направления (оси). Пьезоэффектом могут обладать также некоторые поликристаллические диэлектрики с упорядоченной структурой (текстурой), например керамические материалы и полимеры. Диэлектрики, обладающие пьезоэффектом, называют пьезоэлектриками .

Внешние механические силы, воздействуя в определенных направлениях на пьезоэлектрический кристалл, вызывают в нем не только механические напряжения и деформации (как во всяком твердом теле), но и электрическую поляризацию и, следовательно, появление на его поверхностях связанных электрических зарядов разных знаков. При изменении направления механических сил на противоположное становятся противоположными направление поляризации и знаки зарядов. Это явление называют прямым пьезоэффектом . Пьезоэффект обратим. При воздействии на пьезоэлектрик, например кристалл, электрического поля соответствующего направления в нем возникают механические напряжения и деформации. При изменении направления электрического поля на противоположное соответственно изменяются на противоположное направления напряжений и деформаций. Это явление получило название обратного пьезоэффекта .

Схематичные изображения прямого (а, б) и обратного (в, г) пьезоэффектов. Стрелками Р и Е изображены внешние воздействия — механическая сила и напряженность электрического поля. Штриховыми линиями показаны контуры пьезоэлектрика до внешнего воздействия, сплошными линиями — контуры деформации пьезоэлектрика (для наглядности во много раз увеличены); Р — вектор поляризации.

В некоторых источниках для обратного пьезоэффекта неуместно используют термин электрострикция , относящийся к сходному, но другому физическому явлению, характерному для всех диэлектриков, деформации их под действием электрического поля. Электрострикция — четный эффект, означающий, что деформация не зависит от направления электрического поля, а ее величина пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Порядок деформаций при электрострикции намного меньше, чем при пьезоэффекте (примерно на два порядка). Электрострикция всегда возникает и при пьезоэффекте, но вследствие малости в расчет не принимается. Электрострикция — эффект необратимый.

Прямой и обратный пьезоэффект линейны и описываются линейными зависимостями, связывающими электрическую поляризацию Р с механическим напряжением t: P = dt

Данную зависимость называют уравнением прямого пьезоэффекта. Коэффициент пропорциональности d называется пьезоэлектрическим модулем (пьезомодулем), и он служит мерой пьезоэффекта. Обратный пьезоэффект описывается зависимостью: r = dE
где r — деформация; Е — напряженность электрического поля. Пьезомодуль d для прямого и обратного эффектов имеет одно и то же значение.

Приведенные выражения даны в элементарной форме только для уяснения качественной стороны пьезоэлектрических явлений. В действительности пьезоэлектрические явления в кристаллах более сложны, что обусловлено анизотропией их упругих и электрических свойств. Пьезоэффект зависит не только от величины механического или электрического воздействия, но и их характера и направления сил относительно кристаллофических осей кристалла. Пьезоэффект может возникать в результате действия как нормальных, так и касательных напряжений. Существуют направления, для которых пьезоэффект равен нулю. Пьезоэффект описывается несколькими пьезомодулями, число которых зависит от симметрии кристалла. Направления поляризации может совпадать с направлением механического напряжения или составлять с ним некоторый угол. При совпадении направлений поляризации и механического напряжения пьезоэффект называют продольным , а при их взаимно перпендикулярном расположении — поперечным . За направление касательных напряжений принимают нормаль к плоскости, в которой действуют напряжения.

Схематичные изображения, поясняющие продольный (а) и поперечный (б) пьезоэффекты

Деформации пьезоэлектрика, возникающие вследствие пьезоэффекта, весьма незначительны по абсолютной величине. Например, кварцевая пластина толщиной 1 мм под действием напряжения 100 В изменяет свою толщину всего на 2,3 х 10 -7 мм. Незначительность величин деформаций пьезоэлектриков объясняется их очень высокой жесткостью.

Пьезоэлемент

Конструктивно пьезоэлемент представляет из себя пьезокерамику с нанесенными электродами. Пьезоэлементы могут быть разнообразной формы: в виде дисков, колец, трубок, пластин, сфер и др. Для вибраторов и генераторов пьезоэлементы объединяют в пьезостек, чтобы достичь лучших характеристик.

Пьезоэлектрический эффект

Пьезоэлектрические вещества (пьезоэлектрики ), в частности пьезокерамика, имеет то свойство, что при деформации под действием внешнего механического давления на их поверхности возникают электрические заряды. Этот эффект называется прямым пьезоэлектрическим эффектом и был открыт в 1880 г. братьями Кюри.

Вскоре после этого (в 1881 г.) был подтвержден и обратный пьезоэффект, а именно что такое вещество, расположенное между двумя электродами, реагирует на приложенное к нему электрическое напряжение изменением своей формы. Первый эффект в настоящее время используется для измерений, а второй – для возбуждения механических давлений, деформаций и колебаний.

Более детальные исследования пьезоэффекта показали, что он объясняется свойством элементарной ячейки структуры материала. При этом элементарная ячейка является наименьшей симметричной единицей материала, из которой путем ее многократного повторения можно получить микроскопический кристалл. Было показано, что необходимой предпосылкой для появления пьезоэффекта является отсутствие центра симметрии в элементарной ячейки.

Вам нужны устройства сбора и обработки данных с ультразвуковых датчиков? Обращайтесь к нам, мы поможем Вам выбрать!

Здесь можно кратко пояснить пьезоэлектрический эффект на примере титаната бария, часто применяемой пьезоэлектрической керамики со сравнительно простой конструкцией элементарной ячейки. Титанат бария ВаТiO₃, как и многие другие пьезокерамические вещества, аналогичен по структуре перовскиту (СаТiО₃), по которому и назван этот класс материалов. Элементарная ячейка при температурах выше, критической, которая называется также точкой Кюри, является кубической. Если температура ниже этой критической, то элементарная ячейка тетрагонально искажается по направлению к одной из кромок. В результате изменяются и расстояния между положительно и отрицательно заряженными ионами (рисунок 1, для ВаТiO₃ вместо Pb — Ba). Смещение ионов из их первоначального положения очень мало: оно составляет несколько процентов параметра элементарной ячейки. Однако такое смещение приводит к разделению центров тяжести зарядов внутри ячейки, так что образуется электрический дипольный момент. По энергетическим условиям диполи соседних элементарных ячеек кристалла упорядочиваются по областям в одинаковом направлении, образуя так называемые домены.

Направления поляризации доменов распределяются в поликристаллической структуре по статическому закону. Таким образом, неупорядоченные скопления отдельных микрокристаллов в структуре вещества, образующиеся только в спеченной керамики, в макроскопическом смысле вообще не могут давать никакого пьезоэлектрического эффекта. Только после так называемого процесса поляризации, в котором при наложении сильного электрического поля на керамику происходит выравнивание возможно большего числа доменов параллельно друг другу, удается использовать пьезоэлектрические свойства элементарных ячеек. Поляризация обычно проводится при температуре немного ниже температуры Кюри, чтобы облегчить ориентацию доменов. После охлаждения это упорядоченное состояние остается стабильным.

Современные средства проектирования позволяют рассчитать / промоделировать отдельно пьезоэлемент или пьезоэлектрический преобразователь целиком. По согласованию с Инженерными решениями Вы можете заказать расчет парметров пьезоэлектрического преобразователя

Механическое сжатие или растяжение, действующее на пьезоэлектрическую пластину параллельно направлению поляризации, приводит к деформации всех элементарных ячеек. При этом центры тяжести зарядов взаимно смещаются внутри элементарных ячеек, которые расположены теперь преимущественно параллельно, и в результате получается заряд на поверхности [2].

Пьезоэлектрические материальные уравнения

Поляризованные пьезоэлектрические материалы характеризуются несколькими коэффициентами и соотношениями. Четыре возможные формы для пьезоэлектрических материальных уравнений показаны ниже [13]:

Свойства пьезокерамики

Связь между приложенной силой и результирующим ответом пьезоэлемента зависит от: пьезоэлектрических свойств пьезокерамики, размера и форм образца, направления электрического и механического возбуждения.

По своей природе пьезоэлектрические материалы являются анизотропными кристаллами. Рисунок 3 показывает различные направления и оси ориентации пьезоэлектрического материала. Оси 1, 2 и 3 являются соответственными аналогами осей X, Y, Z классической ортогональной системы координат, в то время как оси 4, 5, и 6 определяют оси вращения. Направление оси 3 является направлением поляризации [1]. Это направление устанавливается во время производства посредством высокого постоянного напряжения, которое создается между электродами.

и ,

Верхний индекс показывает граничные условия действующие на материал в процессе определения значения относительной диэлектрической постоянной. В частности индекс T (в этом случае) говорит о том, что диэлектрическая постоянная измеряется на свободном (не зажатом) образце [3]. А индекс S показывает, что измерения происходят при постоянной деформации пьезокерамики (в зажатом состоянии). Первый нижний индекс показывает направление диэлектрического смещения, а второй – электрического поля [1]. Формула расчета относительной диэлектрической постоянной следующая:

,

• где — диэлектрическая проницаемость (одна из двух или ), Ф/м
• t – расстояние между электродами, м,
• S – площадь электрода, м 2 ,
• C – емкость, Ф

,

где с – скорость звука в материале, м/с [2]

Этот коэффициент может быть вычислен через резонансную и антирезонансную частоту по формуле.

,

Чтобы измерить эти частоты обычно используется анализатор импеданса, с помощью которого можно получить зависимость сопротивления от частоты пьезокерамики (рисунок 6).

По своей природе, резонансная частота возникает, когда система имеет очень маленькое сопротивление, в то время как антирезонанс происходит, когда система имеет очень большое сопротивление. На рисунке 6 частота которая имеет минимальное сопротивление считается резонансной ( f_r), а частота с максимальным сопротивлением – антирезонансной ( f_a).

Рисунок 5 – Виды колебаний образцов пьезокерамики разной формы

Рисунок 6 – Зависимость сопротивления от частоты у пьезокерамики [6]

Существует четыре пьезоэлектрические постоянные [10]:
• d [C/N] or [m/V] — пьезомодуль заряда (относительной деформации);
• e [C/m 2 ] or [N/Vm] — пьезомодуль механического напряжения;
• g [m 2 /C] or [Vm/N] — пьезомодуль электрического напряжения (давления);
• h [N/C] or [V/m] — пьезомодуль деформации.

• где D — электрическая индукция (электрическое смещение), Кл/м 2 ,
• E — напряженность электрического поля, В/м,
• T — механическое напряжение, Па,
• S — относительная механическая деформация (упругая деформация), м/м,
• i (нижний индекс) означает, что электроды перпендикулярны оси «i»,
• j (нижний индекс) означает, что приложенное механическое напряжение, или деформация, вызванная пьезоэлектрическим эфектом, находится в направлении «j».

Пьезомодуль d_ij (пьезоэлектрический коэффициент заряда или относительной деформации) – отношение механической деформации к приложенному электрическому полю или индуцированный электрический заряд на механическое напряжение (Кл/Н) [2]

,

• где Δx_s – изменение толщины пластины, м,
• U_s – приложенное напряжение, В

Полезно помнить, что большие значения d_ij приводят к большим механическим смещениям (деформациям), что обычно добивается при проектировании ультразвуковых преобразователей. d₃₃ применяют, когда сила направлена в направлении оси поляризации (рисунок 5г). d₃₁ используют, когда сила прикладывается под прямым углом к оси поляризации, при этом заряд возникает на электродах, так же как и в предыдущем случае (рисунок 5б). d₁₅ показывает, что заряд накапливается на электродах, которые находятся под прямым углом к изначальным поляризующим электродам и что получаемые механические колебания являются сдвиговыми (рисунок 5д).

Пьезомодуль e_ij (пьезоэлектрический коэффициент механического напряжения) — отношение развиваемого механического напряжения к приложенному электрическому полю.

, [10]

• где c_ii — постоянная упругой жесткости материала в условиях постоянного электрического поля, Па

Пьезомодуль g_ij (пьезоэлектрическая постоянная давления) – отношение полученного электрического напряжения к приложенному давлению.

,

Индекс “33” показывает, что электрическое поле и механическое напряжение направлены по оси поляризации. Индекс “31” означает, что давление прикладывается под прямым углом к оси поляризации, при этом напряжение снимается с тех же самых электродов, что и в случае “33”. Индекс “15” подразумевает, что приложенное напряжение является сдвиговым и результирующее электрическое поле перпендикулярно к оси поляризации. Высокое значение g_ij ведет к большим выходным электрическим напряжениям, что является желательным для сенсоров.

Пьезомодуль h_ij (пьезоэлектрическая постоянная деформации) — отношение полученного электрического напряжения к внешнему изменению толщины (создаваемой деформации).

, [11]

• где U_e — результирующее электрическое напряжение на пьезоэлектрическом элементе, в,
• Δx_e — внешнее изменение толщины, м.

,

• где µ – коэффициент Пуассона,
• Δa – абсолютное приращение толщины, м,
• a – толщина после деформации, м,
• Δl – абсолютное приращение длины, м,
• l – длина после деформации, м

,

• где α_f – температурный коэффициент резонансной частоты, ppm/˚С,
• f(t₁) – резонансная частота при температуре t₁, Гц,
• f(t₂) – резонансная частота при температуре t₂, Гц,
• f₂₀ – резонансная частота при температуре 20˚С, Гц,
• Δt – разница температур Δt = t₂ — t₁, ˚С

,

,

• где α_l – температурный коэффициент линейного расширения, ppm/˚С,
• l(t₁) – длина при температуре t₁, м,
• l(t₂) – длина при температуре t₂, м,
• l₂₀ – длина при температуре 20˚С, м

,

• где AR – скорость старения для резонансной частоты или емкости,
• t₁, t₂ – число дней после поляризации,
• , – резонансная частота или емкость через t₁ и t₂ дней после поляризации

,

• где Q_m – механическая добротность,
• f_r – резонансная частота, Гц,
• f_a – антирезонансная частота, Гц,
• Z_r – сопротивление при резонансе, Ом,
• С – емкость, Ф

Изделия, основанные на пьезоэлектрическом резонансе, требуют высокой механической добротности.

Производство пьезоэлементов

Большинство составов пьезокерамики основано на химических соединениях с формулой АВО₃ (напр., BaTiO₃, РbТiO₃) с кристаллической структурой типа перовскита и различных твёрдых растворов на их основе (например, системы BaTiO₃ — CaTiO₃, BaTiO₃ — CaTiO₃ — CoCO₃, NaNbO₃ — KNbO₃). Особенно широко используются в качестве пьезоэлектрических материалов составы системы РbТiO₃ — PbZrO₃ (т. н. система PZT, или ЦТС). Практический интерес представляет также ряд соединений с формулой АВ₂О₆, напр. PbNb₂O₆, имеющих весьма высокую Кюри точку (

570 °С), что позволяет создавать пьезоэлементы для работы при высоких температурах.

Процесс изготовления пьезокерамики разделяется на несколько этапов. При осуществлении синтеза заданного сегнетоэлектрического соединения исходное сырье (окислы или соли, например, двуокись титана и окись бария) измельчается и смешивается в количествах, соответствующих стехиометрическому составу соединения, а затем подвергается термической обработке при температурах 900 – 1300 °С, в процессе которой происходит химический синтез. Используется также так называемый метод осаждения из водных растворов, при котором температура синтеза благодаря идеальному перемешиванию компонентов снижается до 750 – 1000 °С. Из порошкообразного синтезированного материала прессованием (а также литьём под давлением) получаются заготовки необходимой конфигурации и размеров для будущих пьезоэлементов, которые затем подвергаются обжигу по строго определенному температурному режиму, в большой степени определяющему свойства пьезокерамики. Механическая обработка детали после обжига обеспечивает ей точно заданную форму и размеры. На деталь наносятся электроды из серебра, никеля, платины и др., причем наибольшее распространение получил метод вжигания серебра. Для поляризации керамики к электродам подводится электрическое напряжение (напряжённость поля Е составляет от 0,5 до 3 кВ/мм в зависимости от химического состава и метода поляризации). С целью уменьшения напряженности поля Е при поляризации образец нагревают до температур, близких к точке Кюри (т. к. при этом домены обладают большей подвижностью), а затем медленно охлаждают в присутствии поля. Пьезокерамике свойственно т. н. старение, т. е. изменение её параметров (диэлектрической проницаемости, пьезомодулей) со временем, особенно заметное в первые несколько суток после изготовления и поляризации образцов, которое обусловлено изменением как механических напряжений на границах между зёрнами, так и величины остаточной поляризации [8].

Применение пьезокерамики

Пьезоэлектрические материалы нашли применение в широком ряде областей, таких как медицинские инструменты, контроль промышленных процессов, системах производства полупроводников, бытовых электрических приборах, системах контроля связи, различных измерительных приборах и в других областях. Коммерческие системы, которые используют пьезоэлектрические материалы – помпы, швейные машины, датчики (давления, обледенения, угловых скоростей и т.д.), оптические инструменты, лазерные принтеры, моторы для автофокусировки камер и многие другие. При этом область применения данных материалов постоянно растет. Применение пьезоэлемента обычно сводится к четырем категориям: сенсоры, генераторы, силовые приводы, и преобразователи.

В генераторах, пьезоэлектрические материалы могут генерировать напряжение, которого достаточно для возникновения искры между электродами, и таким образом могут быть использованы как электроды для воспламенения топлива, для газовых плит и для сварочного оборудования. Альтернативно, электрическая энергия, генерируемая пьезоэлектрическими элементами, может накапливаться. Такие генераторы являются превосходными твердыми аккумуляторными батареями для электронных схем.

Вам нужны устройства сбора и обработки данных с ультразвуковых датчиков? Обращайтесь к нам, мы поможем Вам выбрать!

В сенсорах, пьезоэлектрические материалы преобразуют физические параметры, такие как ускорение, давление и вибрации в электрический сигнал.

В силовых приводах, пьезоэлектрические материалы преобразуют электрический сигнал в точно контролируемое физическое смещение, четко устанавливая точность механических инструментов, линз и зеркал.

В преобразователях, пьезоэлектрические преобразователи могут, как генерировать ультразвуковой сигнал из электрической энергии, так и конвертировать приходящие механические колебания в электрические. Пьезоэлектрические приборы проектируются для измерения расстояний, скорости потока, и уровня жидкости. Преобразователи так же используются, чтобы генерировать ультразвуковые вибрации для очистки, сверления, сварки, размельчения керамики и для медицинской диагностики [1].

Пьезоэлектрический эффект

Под воздействием механического напряжения или деформации в кристалле может возникнуть электрическая поляризация, величина и знак которой зависят от направления и значения приложенного напряжения. Это явление, называемое пьезоэлектрическим эффектом, положено в основу пьезоэлектрических преобразователей.

В качестве материалов для пьезоэлементов используют ионные кристаллы, в структуре которых расположены разноименные ионы (катионы и анионы). При определенных типах симметрии кристаллической решетки ионных кристаллов их деформация приводит к пространственному перераспределению электрических зарядов. Иначе говоря, природа пьезоэлектрического эффекта связана с изменением положения ионов в кристаллической решетке вещества. Под влиянием деформации ионы перемещаются таким образом, что образуются электрические диполи и кристалл оказывается поляризованным (рис. 1.1).

Если к поверхностям пьезоэлемента приложить переменное электрическое напряжение, то преобразователь вследствие пьезоэффекта будет генерировать механические колебания (сжиматься и растягиваться) с частотой приложенного электрического напряжения. Таким образом, пьезоэлектрический преобразователь позволяет трансформировать электрические колебания в ультразвуковые (режим излучения), и наоборот, ультразвуковые в электрические (режим приема).

В преобразователях УЗ-дефектоскопов пьезоэлементы обычно имеют форму плоскопараллельных пластин. На рис. 1.2 показаны различные типы деформаций, которые может испытывать пластина. Для генерации или приема продольных колебаний используют деформацию растяжения-сжатия, сдвиговую деформацию – для генерации или приема поперечных колебаний.

С математической точки зрения пьезоэффект можно определить как совокупность уравнений, линейно связывающих механические и электрические величины. Коэффициенты пропорциональности между этими величинами называют пьезоэлектрическими коэффициентами (пьезомодулями), которые в общем случае представляют собой тензоры третьего ранга. Это обусловлено тем, что вследствие низкой симметрии кристаллической структуры любой пьезоматериал является анизотропным веществом.

Уравнения прямого пьезоэффекта:

, (1.1)

, (1.2)

, (1.3)

. (1.4)

Уравнения обратного пьезоэффекта :

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

, (1.8)

где – вектор поляризации; – тензор механического напряжения; – тензор относительной деформации; – вектор напряженности электрического поля; , , , – пьезомодули.

Благодаря симметрии по индексам i, k пьезомодули имеют 18 независимых компонентов. Уравнения (1.1–1.8) показывают, в каком состоянии находится образец, обладающий пьезосвойствами:

1) механический зажатый образец – деформация постоянна и равна нулю.

2) механически свободный образец – напряжения равны нулю.

3) электрически свободное (закороченное) состояние – вся поверхность находится под одним и тем же потенциалом.

4) электрически зажатое (разомкнутое) состояние соответствует полной электрической изоляции образца, т. е. отсутствию на его поверхности свободных зарядов.

Рис. 1.1. Расположение ионов в кристалле:

а – деформация отсутствует, кристалл электрически нейтрален;

б – смещение зарядов в результате деформации

Рис. 1.2. Типы деформации пьезоэлектрических пластин:

а – растяжение-сжатие по толщине; б – растяжение-сжатие по ширине;

в – сдвиг по толщине; г – сдвиг по ширине

На практике чаще реализуются коэффициенты и . Коэффициент характеризует электрическую поляризацию. Материалы с большим значением используют в режиме приема и излучения, если необходима сильная деформация. Материалы с большим значением пьезокоэффициента используют в режимах приема и излучения для создания большого напряжения. Следует особо подчеркнуть, что пьезомодули прямого и обратного пьезоэффекта не равны между собой. Симметричность тензора пьезомодулей позволяет в практических расчетах использовать матричную форму записи уравнений. При этом вводят следующую систему обозначений:

.

И учитывают равенства:

.

Матрица пьезомодулей d для кристаллов a-кварца имеет вид

.

Строки матрицы характеризуют поляризацию вдоль кристаллографических осей X, Y и Z (строки 1, 2 и 3 соответственно). Из приведенной выше матрицы следует, что вдоль направления Z кварц пьезоэлектрически нейтрален. Модуль d₁₁ характеризует деформацию пьезопластин типа растяжение-сжатие, d₁₄ – сдвиговую деформацию.

Наибольший практический интерес представляет собой обратный пьезоэффект, возбуждаемый в пьезоэлектрике приложенным к нему переменным напряжением. В этом случае кварцевая пластина будет совершать вынужденные механические колебания в такт изменения внешнего поля. Амплитуда этих колебаний достигает максимума, когда частота электрического поля окажется равной частоте собственных колебаний пластины.

Благодаря обратному пьезоэффекту возможно возникновение колебаний по длине и по толщине пластины. Если пренебречь колебаниями по длине, то собственная частота основных продольных колебаний будет равна

, (1.9)

где ρ – плотность кристалла, С₁₁ – соответствующий данному типу и ориентации колебаний модуль упругости. Однако эта формула верна лишь в приближении отсутствия поперечного сжатия.

Пьезокристалл представляет собой электромеханический преобразователь. При подаче напряжения в нем запасается определенное количество электрической энергии, часть которой в силу пьезоэлектрических свойств кристалла переходит в механическую энергию упругих деформаций. Соотношение этих энергий есть мера эффективности электромеханического преобразователя и называется коэффициентом электромеханической связи k.

При колебаниях по толщине механическая энергия на единицу объема кристалла определяется как

, (1.10)

электрическая энергия на единицу объема:

. (1.11)

Квадрат коэффициента электромеханической связи k 2 определяется как отношение генерируемой в кристалле механической энергии к запасаемой в нем электрической, следовательно

. (1.12)

Указанный коэффициент связывает пьезоэлектрический модуль с упругими и диэлектрическими параметрами кристалла, то есть наилучшим образом характеризует кристалл как электромеханический преобразователь.

Наряду с пьезопреобразователями для целей УЗ-контроля используются другие физические явления, например, электрострикцию. Главная отличительная особенность эффекта электрострикции состоит в нелинейной взаимосвязи между электрическими и механическими величинами. Упрощенно уравнение электрострикции можно записать в следующем виде:

, (1.13)

где – коэффициент электрострикции (обычно это тензор четвертого ранга, имеет 81 независимую компоненту).