Уравнение проекции прямой на плоскость в пространстве онлайн

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

(4)

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

(5)

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1. Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

(6)

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

(7)

Из выражений (7) находим:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.

Условие

Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0

Решение

Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector=(1;4;-3)

Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости
Решаем систему:
<(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)

Обозначим отношение
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1

подставим в уравнение плоскости

Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости.

Обозначим отношение
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1

подставим в уравнение плоскости

Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки

Точка, прямая, плоскость: онлайн-калькуляторы

Если вам требуется произвести расчеты, связанные со значением либо координатами точки, прямой и плоскости, воспользуйтесь нашим сервисом. Набор калькуляторов поможет справиться с распространенными геометрическими задачами по теме, свериться с ответом и изучить порядок вычислений. Процесс обучения с внедрением автоматических расчетов сэкономит время и позволит применять изученные способы в других заданиях.

Расчет плоскости в пространстве онлайн-калькулятором исключает погрешности и неточности, избавляет от необходимости проводить промежуточные вычисления. Наш сервис включает:

• удобный интерфейс;
• моментальный ответ;
• подробное решение;
• бесплатный неограниченный доступ.

Уравнение прямой c онлайн-калькулятором от Zaochnik

Использование автоматических калькуляторов с данными точки, прямой и плоскости понадобится старшеклассникам при подготовке домашних заданий по геометрии, студентам для решения задач. С помощью формул, которые заложены в систему расчета, вы получите пошаговые вычисления и готовый ответ. Благодаря подробному объяснению сервис можно использовать в качестве подготовки к урокам:

• посчитать самостоятельно;
• вычислить ответ с помощью калькулятора;
• свериться с ответом;
• в случае несовпадения ответов обратиться к решению от Zaochnik.

Вы сможете рассчитать положение точки онлайн-калькулятором, найти необходимые значения координат, исходя из условий задачи.

Если у вас возникли трудности с задачами по геометрии, напишите об этом нашему консультанту. В штате компании есть преподаватели математики, которые за необходимый срок выполняют контрольные, самостоятельные и другие виды школьных и студенческих работ любого уровня сложности.