Уравнение произведение 6 класс дроби

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Тема дроби 6 класс, правильные, неправильные, смешанные. Примеры решения дроби 6 класс. Действия с дробями 6 класс, деление, умножение, сокращение

С дробями ученики знакомятся еще в 5 классе. Раньше людей, которые умели производить действия с дробями, считали очень умными. Первой дробью была 1/2, то есть половина, дальше появились 1/3 и т.д. Несколько веков примеры считались слишком сложными. Сейчас же разработаны подробные правила по преобразованию дробей, сложению, умножению и другим действиям. Достаточно немного разобраться в материале, и решение будет даваться легко.

Повторение обычные дроби 6 класс

Обыкновенная дробь, которую называют простой дробью, записывается как деление двух чисел: m и n.

m — это делимое, то есть числитель дроби, а делитель n называют знаменателем.

Выделяют правильные дроби (m n).

Правильная дробь меньше единицы (к примеру 5/6 — это значит, что от единицы взято 5 частей; 2/8 — от единицы взято 2 части). Неправильная дробь равна или больше 1 (8/7 — единицей будет 7/7 и плюсом взята еще одна часть).

Так, единица, это когда числитель и знаменатель совпали (3/3, 12/12, 100/100 и другие).

Действия с обыкновенными дробями 6 класс

С простыми дробями можно производить следующие действия:

• Расширять дробь. Если умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число (только не на ноль), то значение дроби не поменяется (3/5 = 6/10 (просто умножили на 2).
• Сокращение дробей — схоже расширению, но тут делят на какое-либо число.
• Сравнивать. Если у двух дробей числители одинаковыми, то большей окажется дробь с меньшим знаменателем. Если одинаковые знаменатели, то больше будет дробь с наибольшим числителем.
• Выполнять сложение и вычитание. При одинаковых знаменателях это сделать просто (суммируем верхние части, а нижняя не меняется). При разных придется найти общий знаменатель и дополнительные множители.
• Умножить и разделить дроби.

Примеры действий с дробями рассмотрим ниже.

Сокращенные дроби 6 класс

Сократить — значит поделить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число.

На рисунке представлены просты примеры сокращения. В первом варианте можно сразу догадаться, что числитель и знаменатель делятся на 2.

На заметку! Если число четное, то оно по-любому делится на 2. Четные числа — это 2, 4, 6…328 (заканчивается на четное) и т. д.

Во втором случае при делении 6 на 18 сразу видно, что числа делятся на 2. Разделив, получаем 3/9. Эта дробь делится еще на 3. Тогда в ответе получается 1/3. Если перемножить оба делителя: 2 на 3, то выйдет 6. Получается, что дробь была разделена на шестерку. Такое постепенное деление называется последовательным сокращением дроби на общие делители.

Кто-то сразу поделит на 6, кому-то понадобится деление частями. Главное, чтобы в конце осталась дробь, которую уже никак не сократить.

Отметим, что если число состоит из цифр, при сложении которых получится число, делящееся на 3, то и первоначальное также можно сократить на 3. Пример: число 341. Складываем цифры: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не делится, значит, число 341 нельзя сократить на 3 без остатка). Другой пример: 264. Складываем: 2 + 6 + 4 = 12 (делится на 3). Получаем: 264 : 3 = 88. Это упростит сокращение больших чисел.

Помимо метода последовательного сокращения дроби на общие делители есть и другие способы.

НОД — это самый большой делитель для числа. Найдя НОД для знаменателя и числителя, можно сразу сократить дробь на нужное число. Поиск осуществляется путем постепенного деления каждого числа. Далее смотрят, какие делители совпадают, если их несколько (как на картинке ниже), то нужно перемножить.

Смешанные дроби 6 класс

Все неправильные дроби можно превратить в смешанные, выделив в них целую часть. Целое число пишется слева.

Часто приходится из неправильной дроби делать смешанное число. Процесс преобразования на примере ниже: 22/4 = 22 делим на 4, получаем 5 целых (5 * 4 = 20). 22 — 20 = 2. Получаем 5 целых и 2/4 (знаменатель не меняется). Поскольку дробь можно сократить, то делим верхнюю и нижнюю часть на 2.

Смешанное число легко превратить в неправильную дробь (это необходимо при делении и умножении дробей). Для этого: целое число умножим на нижнюю часть дроби и прибавим к этому числитель. Готово. Знаменатель не меняется.

Вычисления с дробями 6 класс

Смешанные числа можно складывать. Если знаменатели одинаковые, то сделать это просто: складываем целые части и числители, знаменатель остается на месте.

При сложении чисел с разными знаменателями процесс сложнее. Сначала приводим числа к одному самому маленькому знаменателю (НОЗ).

В примере ниже для чисел 9 и 6 знаменателем будет 18. После этого нужны дополнительные множители. Чтобы их найти, следует 18 разделить на 9, так находится дополнительное число — 2. Его умножаем на числитель 4 получилась дробь 8/18). То же самое делают и со второй дробью. Преобразованные дроби уже складываем (целые числа и числители отдельно, знаменатель не меняем). В примере ответ пришлось преобразовать в правильную дробь (изначально числитель оказался больше знаменателя).

Обратите внимание, что при разности дробей алгоритм действий такой же.

При умножении дробей важно поместить обе под одну черту. Если число смешанное, то превращаем его в простую дробь. Далее умножаем верхнюю и нижнюю части и записываем ответ. Если видно, что дроби можно сократить, то сокращаем сразу.

В указанном примере сокращать ничего не пришлось, просто записали ответ и выделили целую часть.

В этом примере пришлось сократить числа под одной чертой. Хотя сокращать можно и готовый ответ.

При делении алгоритм почти такой же. Сначала превращаем смешанную дробь в неправильную, затем записываем числа под одной чертой, заменив деление умножением. Не забываем верхнюю и нижнюю часть второй дроби поменять местами (это правило деления дробей).

При необходимости сокращаем числа (в примере ниже сократили на пятерку и двойку). Неправильную дробь преобразуем, выделив целую часть.

Основные задачи на дроби 6 класс

На видео показано еще несколько задач. Для наглядности использованы графические изображения решений, которые помогут наглядно представить дроби.

Примеры умножения дроби 6 класс с пояснениями

Перемножающиеся дроби записываются под одной линией. После этого их сокращают путем деления на одни и те же числа (например, 15 в знаменателе и 5 в числителе можно разделить на пятерку).

Сравнение дробей 6 класс

Чтобы сравнить дроби, нужно запомнить два простых правила.

Правило 1. Если знаменатели разные

Правило 2. Когда знаменатели одинаковые

Например, сравним дроби 7/12 и 2/3.

1. Смотрим на знаменатели, они не совпадают. Значит нужно найти общий.
2. Для дробей общим знаменателем будет 12.
3. Делим 12 сначала на нижнюю часть первой дроби: 12 : 12 = 1 (это доп. множитель для 1-й дроби).
4. Теперь 12 делим на 3, получаем 4 — доп. множитель 2-й дроби.
5. Умножаем полученные цифры на числители, чтобы преобразовать дроби: 1 х 7 = 7 (первая дробь: 7/12); 4 х 2 = 8 (вторая дробь: 8/12).
6. Теперь можем сравнивать: 7/12 и 8/12. Получилось: 7/12 Примеры с дробями 6 класс для тренировки

В качестве тренировки можно выполнить следующие задания.

Сложение дробей 6 класс с разными знаменателями

Совет: если сложно найти наименьший общий знаменатель у дробей (особенно, если значения их небольшие), то можно перемножить знаменатель первой и второй дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Найти их знаменатель просто: 8 умножаем на 9, получится 72.

Решение уравнений с дробями 6 класс

В решении уравнений требуется вспомнить действия с дробями: умножение, деление, вычитание и сложение. Если неизвестен один из множителей, то произведение (итог) делится на известный множитель, то есть дроби перемножаются (вторая переворачивается).

Если неизвестно делимое, то знаменатель умножается на делитель, а для поиска делителя нужно делимое разделить на частное.

Представим простые примеры решения уравнений:

Здесь требуется лишь произвести разность дробей, не приводя к общему знаменателю.

На видео представлено решение более сложных уравнений.

Многоэтажные дроби 6 класс примеры с пояснениями

Многоэтажной дробью называют дробь, записанную в несколько строк. Пример решения многоэтажной дроби:

Как решали пример способом 1:

1. Убрали двухэтажную дробь, чтобы пример выглядел проще. Деление записали в виде двоеточия.
2. Деление на 1/2 заменили умножением на 2 (перевернули дробь).
3. Складывая 1/2 и 3/4, пришли к общему знаменателю 4. При этом для первой дроби понадобился дополнительный множитель 2, из 1/2 вышло 2/4.
4. Сложили 2/4 и 3/4 — получили 5/4.
5. Не забыли про умножение 5/4 на 2. Путем сокращения 2 и 4 получили 5/2 или 2 целых и 1/2

Ответ получился в виде неправильной дроби. Ее можно преобразовать в 2 целых и 1/2.

Во втором способе числитель и знаменатель умножили на 4, чтобы сократить нижнюю часть, а не переворачивать знаменатель.

Об Авторе

Смотрите также

Красивый подарок маме своими руками, 8 марта короткие пожелания, открытка 8 марта своими руками для детей: открытки на 8 марта своими руками шаблоны, цветные шаблоны открыток

Явления живой и неживой природы 2 класс: биология живая неживая природа, признаки живой и неживой природы

Подарок маме на 8 марта своими руками, какую сделать поделку для мамы: в детском саду, в школе, лучшие поделки своими руками. Рисунок маме 8 марта: рисование простые рисунки

4 комментария

Отличная статья, ставлю пятерку.
Имея высшее техническое образование и помогая внучке в шестом классе я с удовольствием узнал, что внучка и без меня хорошо в дробях разбирается, а я уже и подзабыл НОК. Спасибо.

Спасибо за оценку!

Как у вас в последнем примере из 5/2 получилось 1 целая 3/5? Будет же 2 целых 1/2

большое спасибо, примите наши извинения за досадную ошибку

Урок математики по теме: «Умножение дробей». 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели урока:

• Обучающие:
  • сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, правило умножения обыкновенных дробей;
  • вырабатывать у учащихся навыки применения правил при выполнении действий.
• Развивающиея:
  • развитие аналитического мышления учащихся;
  • формирование умения выделять главное и обобщать.
• Воспитывающие:
  • формирование умения организовать свою деятельность.

Тип урока: изучение нового материала.

Задачи урока:

• настроить детей на рабочий лад;
• повторить правила сложения, вычитания дробей; сложения и вычитания смешанных чисел;
• проверить умение детей выполнять сложение и вычитание дробей;
• сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число; правило умножения обыкновенных дробей;
• отрабатывать навыки умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь;
• проверить уровень усвоения материала.

По завершении урока учащийся должен:

• Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь.
• Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Методы организации учебной деятельности: проблемный, объяснительно-иллюстративный, использование ИКТ.

Оборудование: учебник математики 6-й класс, автор Н. Л. Виленкин; сборник математических диктантов; мультимедийный проектор.

1. Организационный момент (2 мин.) (Приложение. Слайд 2)

Учитель. Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности истекших дней
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины
Всё время схватывая нить
Судеб, событий,
Жить, думать, чувствовать, любить
Свершать открытья.

– На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

2. Вводный контроль (3 мин.)

Учитель. Начнём урок с повторения. (Приложение. Слайд 3)

1) = п 1) = л
2) = л 2) = о
3) = а 3) = м
4) = н 4) = а
5) = у 5) = т
6) = д 6) = ь

Сначала на слайде видны примеры и таблицы ответов, затем ответы и слова.
Рассказывает учащийся, подготовленный дома.

Первое понятие дроби появилось в древнем Египте много веков назад. У многих народов дроби называли ломаными числами. Этим названием пользуется и автор первого русского учебника по математике Л.Ф.Магницкий. В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке.
Происходит слово “дробь” от слова “дробить, разбивать, ломать на части”. Современное обозначение дробей берет своё начало в древней Индии; дробная черта появилась в записи дробей лишь около 300 лет назад. Название “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Плануд. Для запоминания: “Человек стоит на земле”. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка “попасть в дроби”, что означает попасть в трудное положение.
Задача сегодняшнего урока – доказать, что дроби не смогут поставить вас в трудное положение.

1. Какие правила вы применяли?
2. Как читается правило сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями?
3. Как выполнить сложение смешанных чисел?
4. Как выполнить вычитание смешанных чисел?

Повторяем правила сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями. Учащиеся формулируют правила.

3. Сообщение темы урока (4 мин.)

Учитель. Какие действия вы умеете выполнять и знаете правило, как это сделать? Какие действия с обыкновенными дробями нам предстоит научиться выполнять?
Дети. Действия с дробями. Мы умеем сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями и эти же действия со смешанными числами.
Учитель. Сегодня на уроке будем работать над темой:
«Умножение дробей». Сформулируем правило умножения дробей, научимся его применять.

Замените сумму произведением:

5 + 5 + 5 = 5 • 3
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 7
а + а + а + а + а + а = а•6

3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
8 • 2 = 8 + 8
b • 3 = b + b + b

4. Изучение нового материала (10 мин.)

Задача. (Приложение. Слайд 6)
Скорость улитки см /мин. Какое расстояние проползёт улитка за 4 минуты?
– Что неизвестно в задаче?
– Как найти расстояние, зная скорость и время? (Скорость умножить на время)
– Мы умножать не умеем, а только складывать и вычитать.
– Как быть?
– Как быстрее получить? (Заменить произведение суммой одинаковых слагаемых).
• 4 = + + + = = 2см.
Что значит умножить на 4? (Найти сумму четырёх слагаемых каждое из которых равно ).
Сравните • 4 и , что интересного заметили? (Числитель дроби равен произведению числителя дроби и числа 4, а знаменатель остался без изменения.)
Попробуем сформулировать правило умножения дроби на натуральное число.

Дети выдвигают версии правила умножения дроби на натуральное число. (Приложение. Слайд 7)

– Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Записывают в буклет правило умножения дроби на число (начало правила уже вписано, нужно только закончить).

5. Закрепление новых знаний (10 мин.)

Задача: отработать навыки умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. (Приложение. Слайд 8)

№ 413 б, в – на доске, г – с комментированием на месте, ж, з – самостоятельно.

б)
, .

Физкультминутка (3 мин.)

Сокращение дробей. Если верно – поднимаем руки вверх, неверно – делаем круговые движения головой. (Приложение. Слайд 9)

6/8 = 1/3; 21/49 = 3/8; 15/20 = 3/4; 16/32 = 1/3.

6. Работа с учебником (5 мин.)

Цель: научиться умножать дробь на дробь.

– Самостоятельно рассмотрите по учебнику задачу 2 на стр 71. Попробуйте сформулировать правило умножения дроби на дробь.

Дети формулируют правило, оно появляется на слайде. (Приложение. Слайд 10)

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;
2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

– Выполните умножение дробей (учащиеся проговаривают правило): № 419 (в; е – на доске; з; и – с комментированием с места; к; л – сам-но, 2 человека за доской).

– Нужно ли в данном случае находить отдельно произведение числителей и произведение знаменателей? (Нет, нужно сначала сократить дробь, а затем умножить оставшиеся множители.)
– Прочитайте текст в учебнике на стр74 под рубрикой «Говори правильно».
– Выполните умножение дробей (на доске):

а)
б)
– Составьте алгоритм умножения трёх и более дробей (Приложение. Слайд 11)

При умножении и трёх и более дробей:

1. Удобнее сначала в числителе записать произведение всех числителей, в знаменателе – произведение всех знаменателей.
2. Сократить получившуюся дробь.
3. Выполнить умножение оставшихся множителей.
4. Если надо, выделить целую часть.

Я хорошо понял, как умножать дроби (приклеить на круг зелёную полоску).
Я не всё понял, у меня были ошибки (приклеить на круг жёлтую полоску).
Я не понял, как умножать дроби (приклеить на круг красную полоску).

Приклеивают полоски на круг и показывают.

8. Домашнее задание (1 мин.) (Приложение. Слайд 13)

п.13 (1, 2), № 457 (а, б, ж, з), № 463 (а, б), дополнительное задание в буклете.

9. Итог урока (2 мин.)

Учитель. Какое открытие вы сделали для себя сегодня на уроке? Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь?

Дети. Научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Учащиеся отвечают правило.