Уравнение простейших геометрических мест точек

Уравнение простейших геометрических мест точек

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.
Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление не полно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим её в мыльную пену. Если мы осторожно извлечем её из пены, то увидим, что просвет в проволочном «кольце» затянут тончайшей мыльной пленкой. Правильно представлять себе поверхность именно как тонкую пленку (но лишенную всякой толщины).

Важнейшая и простейшая поверхность — плоскость. Прямая m, лежащая в плоскости, разбивает её на две части — полуплоскости; точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А — точка одной полуплоскости, а В — другой, то отрезок АВ пересекает границу m полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя точками и обозначаются часто так: плоскость АВС или PQR и т.д. Иногда бывает проще обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита: a, b, g, d.

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус — тело, ограниченное канонической поверхностью с боков и плоским круглым основанием снизу. Куб — тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т.д. Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в плоскости. В стереометрии изучаются свойства пространственных фигур и тел.

Один из основных способов задания фигур на плоскости заключается в указании свойства, которому удовлетворяют точки этой фигуры.

Вспомним определение окружности. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние. Свойством здесь является удаленность от данной точки на данное расстояние.

Фигуры, состоящие из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству, получили особое название «геометрические места точек». Таким образом, геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.

Поясним смысл слов “всех точек, удовлетворяющих заданному свойству” в этом определении. Они означают, что все точки, принадлежащие фигуре, удовлетворяют заданному свойству, и наоборот, все точки, удовлетворяющие заданному свойству, принадлежат фигуре. Другими словами, точка принадлежит фигуре в том и только том случае, когда для нее выполняется заданное свойство.

Рассмотрим еще несколько геометрических мест точек.

Серединным перпендикуляром к заданному отрезку на­зывается прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Выясним, каким геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр.

Теоретическая часть.

Файл:T.gif Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является геометричес­ким местом точек, одинаково удаленных от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Покажем, что геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек А и В является серединный перпендикуляр к отрезку АВ (рис. 1). Действительно, очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадле­жит серединному перпендикуляру. Если точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О, то треугольник АВС равнобед­ренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника меди­ана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному пер­пендикуляру. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.

Файл:T.gif Теорема. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, лежащих внутри данного угла и одинаково удаленных от его сторон.

Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b (рис. 2). Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Сле­довательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

Определение геометрического места точек.

Геометрическое место точек

Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d. Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Пример 2. Окружность — это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек – А).

Окружность

Тогда отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности AmB, называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и N окружности, называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности — хордой. Хорда, проходящая через центр круга например, BC называется диаметром и обозначается d или D.

Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2r). Предположим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезки АХА’ = 3 ед. и АХА» = 5 ед. Получаем проекции А’ и А». Для построения достаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, отрезок ОАХ — выражает абсциссу точки А, отрезок АХА’ — ее ординату, отрезок АХА» — аппликату. Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z.

Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине. Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси.

Сущность метода геометрических мест.

Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.

Ломаной А₁А₂А₃…A_n называется фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, …, A_n и соединяющих их отрезков А₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1, A_n. Точки А₁, А₂, …, А_n называются вершинами ломаной, а отрезки A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1, A_n – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

А₁A₂A₃A₄ – простая ломаная из трёх звеньев.

Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.
Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону.

Основные геометрические места точек на плоскости.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла. АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке. Точка О равноудалена от точек окружности.

Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон. А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.
АМ = МВ и АК = КС.

Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. В ⊿ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии h от данной прямой а , есть пара прямых m1 и m2, параллельных а и находящихся от нее на расстоянии h.
Файл:09022011 9.gif

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых m1 и m2, есть прямая а , параллельная m1 и m2, проходящая через С середину отрезка секущей С.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых d1 и d2, представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые m1 и m2, являюшиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

Примеры задач на геометрические места точек.

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Решение: Пусть окружность с центром O проходит через данные точки A и B. Поскольку OA = OB (как радиусы одной окружности), точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Обратно, каждая точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от точек A и B. Значит, точка O — центр окружности, проходящей через точки A и B.

Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX + BX = CX + DX.

Решение: Пусть l — прямая, проходящая через середины сторон BC и AD. Предположим, что точка X не лежит на прямой l, например что точки A и X лежат по одну сторону от прямой l. Тогда AX

Интересный факт:

«Как вы думаете, что общего между египетскими пирамидами, картиной Л. да Винчи «Мона Лиза», строением тела человека, подсолнухом, улиткой, строением галактик, микробов и вирусов, молекулы ДНК, законами физики, снежинками или растениями?

Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах и пропорции, которые были обнаружены математиком средневековья Леонардо Фибоначчи.

Оказывается, все мироздание, все живое на планете и даже человек наделены физическими пропорциями Божественного сечения. Эта вездесущность Золотого числа указывает нам ясную связь всего живого сущего на планете. Всевышний Господь сотворил и избрал эту Золотую меру как строительные шифр для создания нашего прекрасного мира. Ученые и люди искусства лишь изучают этот закон и стараются подражать ему.»

1. Сформулируйте определение окружности?
2. Что такое фигура?
3. Какая разница между диаметром и радиусом?
4. Какая пропорция метода золотого сечения?

Список использованных источников:

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.
2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, с. 74.
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, с. 76.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

Сущность метода состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т.е. является их точкой пересечения.

При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:

1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.

3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.

4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.

6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Некоторые геометрические места точек, часто используемые

Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих

2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии

oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.

3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт

данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая

параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.

А выбираем произвольно.

4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом

расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).

5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,

является биссектриса этого угла. (См. построение 4).

6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под

данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.

I случай:

— данный угол,

АВ – данный отрезок.

Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется

половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то

При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по

одну сторону от данного отрезка

II случай:

1. О – середина АВ.

Полуокружность

(Любой угол, опирающийся на диаметр –

прямой).

III случай:

Действительно, ∟АОВ = 2( 90 0 – (α — 90 0 )) = 2(180 0 — α). Тогда большая дуга

АВ равна 360 0 – 2(180 0 — α) = 2α и угол АМВ, опирающийся на большую дугу АВ, измеряется половиной этой дуги, т.е. равен α.

Геометрические места точек

Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.

Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.

Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .