Уравнение прямолинейного неравномерного движения тела

Неравномерное прямолинейное движение

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 121.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 121.

Наиболее простым видом движения является равномерное прямолинейное движение. Рассмотрим более сложный случай – неравномерное прямолинейное движение.

Неравномерное движение тела

При равномерном движении тело за равные промежутки времени проходит одинаковый путь. Однако в Природе такое движение встречается достаточно редко. В большинстве случаев за одинаковые интервалы времени тела проходят различный путь. Такое движение называется неравномерным.

Рис. 1. Примеры неравномерного движения.

Скорость при неравномерном движении

Если для прямолинейного равномерного движения скорость в любой точке траектории равна отношению пройденного пути ко времени его прохождения, то для неравномерного движения это не так. Скорость при неравномерном прямолинейном движении может меняться. Поэтому для такого движения поступают иначе. Используются два варианта.

Средняя скорость

Во-первых, мы можем пренебречь изменением скорости во время прохождения пути, и считать, что скорость все время была одной и той же. Такая скорость называется средней.

Для определения средней скорости необходимо найти отношение всего пути к полному времени его прохождения.

Формула средней скорости:

Рис. 2. Средняя скорость.

Допустим, автомобиль проехал первые 50 км за час, потом полтора часа стоял, а за следующие полчаса проехал 40км. Путь его состоял из двух участков. Для нахождения средней скорости найдем отношение полного значения пути к полному значению времени:

Мгновенная скорость

Среднюю скорость удобно использовать там, где внимание уделяется общему результату движения. Однако, если необходимо описание движения тела в пути, среднюю скорость использовать нельзя. В самом деле, в приведенном примере автомобиль ни разу не двигался со средней скоростью.

Можно поступить иначе. Не пренебрегать изменениями скорости в пути, а поделить путь на небольшие промежутки, и считать скорость постоянной на каждом. Для приведенного выше примера можно взять три промежутка – час, полтора часа и полчаса. Вычислив скорости на них, мы получим значения 50 км/ч, 0 км/ч, 80 км/ч.

В реальном неравномерном движении изменение скорости происходит не скачками, а плавно. Поэтому для точного описания такого движения берут как можно больше промежутков, время прохождения каждого из которых стремится к нулю.

Отношения длины малого промежутка $ΔS$ ко времени его прохождения $Δt$ дает значение, называемого мгновенной скоростью.

Формула мгновенной скорости:

$$v_<мгнов>= <ΔS\over <Δt>>, при ΔS \rightarrow 0,Δt\rightarrow 0$$

В высшей математике доказывается, что, несмотря на то, что и $ΔS$, и $Δt$ стремятся к нулю, их отношение (мгновенная скорость) имеет вполне реальное значение.

Мгновенная скорость – величина векторная, ее направление совпадает с направлением перемещения.

Рис. 3. Мгновенная скорость.

Что мы узнали?

Для описания неравномерного прямолинейного движения используются понятия средней и мгновенной скорости. Средняя скорость используется чаще там, где важен общий результат движения, мгновенная скорость – там, где важны мелкие изменения движения.

Уравнение прямолинейного неравномерного движения тела

Неравномерное движение — это движение, при котором за равные промежутки времени тело проходит разные пути.

Средняя путевая скорость — это физическая величина, равная отношению пути, пройденного телом за рассматриваемый промежуток времени, к длительности этого промежутка.

Средняя путевая скорость — скалярная неотрицательная величина.

Средняя скорость тела за промежуток времени t — это физическая величина, равная отношению перемещения , совершённого телом, к длительности этого промежутка времени.

Средняя скорость — вектор. Она направлена туда, куда направлено перемещение тела за рассматриваемый промежуток времени.

Если тело всё время движется в одном направлении, то модуль средней скорости равен средней путевой скорости. Если же в процессе своего движения тело меняет направление движения, то модуль средней скорости меньше средней путевой скорости.

Пример решения задач на среднюю скорость при неравномерном движении

Автомобиль проехал за первый час 50 км, а за следующие два часа он проехал 160 км. Какова его средняя скорость за все время движения?

Еще больше задач на движение (с решениями и ответами) в конспекте «Задачи на движение»

Это конспект по физике за 7 класс по теме «Неравномерное движение. Средняя скорость». Выберите дальнейшие действия:

Неравномерное прямолинейное движение. Средняя скорость

п.1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении

Прямолинейное и равномерное движение возможно лишь на участке пути.
Любое тело со временем меняет свою скорость, как по величине, так и по направлению.

Для описания неравномерного движения его можно разбить на участки, на которых скорость постоянна, и свести задачу к уже известному нам равномерному прямолинейному движению.

Например, пусть велосипедист добрался из города A в город B за 1 час. Первые полчаса он ехал со скоростью 9 км/ч, а потом проколол шину, и вторые полчаса шел пешком со скоростью 3 км/ч.
Направим ось ОХ также от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_=9\ \text<км/ч>,\ \ v_=3\ \text <км/ч>$$ Построим график скорости для этого случая:

п.2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Мы уже знаем, что путь равен площади прямоугольника, который образуется между отрезком графика скорости и отрезком \(\triangle t\) на оси \(t\) (см. §8 данного справочника).

В таком случае, путь велосипедиста в нашем примере:
\begin s=v_\cdot \triangle t_1+v_\cdot \triangle t_2\\ s=9\cdot 0,5+3\cdot 0,5=4,5+1,5=6\ \text <(км)>\end Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км.
Общий путь велосипедиста равен 6 км. Расстояние между городами 6 км.

Если принять город A за начало отсчета с \(x_0=0\), то координата велосипедиста в конце пути: $$ x_<к>=x_0+s=0+6=6\ \text <(км)>$$ Перемещение по оси ОХ: \(\triangle x=x_<к>-x_0=6\ \text<(км)>\).

Теперь рассмотрим другую ситуацию. Пусть велосипедист выехал из A в B и двигался со скоростью 9 км/ч в течение получаса. Но, после того как проколол шину, он развернулся и пошел пешком назад в A. Где будет находиться велосипедист через полчаса после разворота?
Снова направим ось ОХ от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_=9\ \text<км/ч>,\ \ v_=-3\ \text <км/ч>$$ Построим график скорости для этого случая:

Путь велосипедиста по-прежнему будет равен сумме площадей прямоугольников, которые образует ломаная \(v_x(t)\) с осью \(t\): \begin x=v_\cdot \triangle t_1+|v_|\cdot\triangle t_2\\ s=9\cdot 0,5+3\cdot 0,5=4,5+1,5=6\ \text <(км)>\end
Если мы учтем знак \(v_\) и уберем модуль, то получим величину перемещения по оси ОХ: \begin \triangle x=v_\cdot \triangle t_1+v_\cdot \triangle t_2\\ \triangle x=9\cdot 0,5-3\cdot 0,5=4,5-1,5=3\ \text <(км)>\end Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км в обратном направлении.
Конечная координата: $$ x_<к>=x_0+\triangle x=0+3=3\ \text <(км)>$$
Ответ на вопрос задачи найден. Через полчаса после разворота велосипедист будет находиться в точке D в 3 км от города A.

п.3. Средняя скорость и средняя путевая скорость

В нашем примере с велосипедистом, который все время двигался в одну сторону и дошел до города B, получаем: \begin |\overrightarrow>|=\frac<|\overrightarrow|>=\frac<\triangle x>=\frac 61=6\ \text<(км/ч)>\\ v_=\frac st=\frac 61=6\ \text <(км/ч)>\end Величина средней скорости равна средней путевой скорости.

А вот для случая, когда велосипедист развернулся и пошел обратно: \begin |\overrightarrow>|=\frac<|\overrightarrow|>=\frac<\triangle x>=\frac 31=3\ \text<(км/ч)>\\ v_=\frac st=\frac 61=6\ \text <(км/ч)>\end Величина средней скорости меньше средней путевой скорости.

п.4. Задачи

Задача 1. По графику скоростей найдите среднюю скорость и среднюю путевую скорость движения.

a)

Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
\begin \triangle t_1=3-0=3\ c,\ \ v_=5\ \text<м/с>\\ \triangle t_2=5-3=2\ c,\ \ v_=1\ \text<м/с>\\ \triangle t_3=7-5=2\ c,\ \ v_=2\ \text<м/с>\\ \end Общий путь: \begin s=|v_|\cdot \triangle t_1+|v_|\cdot \triangle t_2+|v_|\cdot \triangle t_3\\ s=5\cdot 3+1\cdot 2+2\cdot 2=21\ \text <(м)>\end Все проекции скоростей положительны, тело двигалось в одном направлении, общее перемещение равно общему пути: \(\triangle x=s=21\) (м)
Общее время: \(t=\triangle t_1+\triangle t_2+\triangle t_3=3+2+2=7\) (с)
Величина средней скорости равна средней путевой скорости: $$ |\overrightarrow>|=v_=\frac st=\frac<21><7>=3\ \text <(м/с)>$$ Ответ: \(|\overrightarrow>|=v_=3\ \text<(м/с)>\)

б)

Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
\begin \triangle t_1=3-0=3\ c,\ \ v_=5\ \text<м/с>\\ \triangle t_2=5-3=2\ c,\ \ v_=-2\ \text<м/с>\\ \triangle t_3=7-5=2\ c,\ \ v_=1\ \text<м/с>\\ \end Общий путь: \begin s=|v_|\cdot \triangle t_1+|v_|\cdot \triangle t_2+|v_|\cdot \triangle t_3\\ s=5\cdot 3+2\cdot 2+1\cdot 2=21\ \text <(м)>\end Проекции скоростей имеют разные знаки, тело двигалось вперед и назад.
Общее перемещение будет меньше общего пути: \begin \triangle x=v_\cdot \triangle t_1+v_\cdot \triangle t_2+v_\cdot \triangle t_3\\ \triangle x=5\cdot 3-2\cdot 2+1\cdot 2=13\ \text <(м)>\end Общее время: \(t=\triangle t_1+\triangle t_2+\triangle t_3=3+2+2=7\) (c)
Величина средней скорости: $$ |\overrightarrow>|=\frac<\triangle x>=\frac<13><7>\approx 1,86\ \text <(м/с)>$$ Средняя путевая скорость: $$ v_=\frac st=\frac<21><7>=3\ \text <(м/с)>$$ Ответ: \(|\overrightarrow>|\approx 1,86\ \text<(м/с)>;\ \ v_=3\ \text<(м/с)>\)

Задача 2. Мотоциклист проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 40 км/ч. Потом увеличил скорость до 80 км/ч и проехал расстояние в два раза меньше. Найдите среднюю скорость мотоциклиста за все время движения.

Мотоциклист двигался все время в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости: \(v_=\frac st\), где \(s\) — весь путь, \(t\) — все время.
Заполним таблицу:

Упростим сумму дробей: $$ t=\frac<20>+\frac<80>=\frac<4d+d><80>=\frac<5d><80>=\frac <16>$$ Получаем: $$ v_=\frac st=\frac<3d>=3\cdot 16=48\ \text <(км/ч)>$$
Ответ: 48 км/ч

Задача 3. Автомобиль проехал первую половину пути по шоссе со скоростью 90 км/ч, а вторую половину – по грунтовой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.

Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
\(v_=\frac st\), где \(s\) — весь путь, \(t\) — все время.
Заполним таблицу:

Задача 4*. Туристы прошли по маршруту со средней скоростью 32 км/ч. Маршрут был разделен на три участка, первый участок преодолевался пешком, второй – на автобусе, третий – на катере. Найдите скорость на каждом участке, если длины этих участков относятся как 1:4:45, а соответствующие интервалы времени как 4:1:20.

Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
\(v_=\frac st\), где \(s\) — весь путь, \(t\) — все время.
Заполним таблицу:

По условию средняя скорость: $$ v_=\frac st=\frac<50d><25t>=2\cdot \frac dt=32\Rightarrow \frac dt=16 $$ Получаем: \begin v_1=\frac<4t>=\frac<16><4>=4\ \text<(км/ч)>\\ v_2=\frac<4d>=4\cdot 16=64\ \text<(км/ч)>\\ v_3=\frac<9d><4t>=\frac<9><4>\cdot 16=36\ \text <(км/ч)>\end
Ответ: 4 км/ч, 64 км/ч и 36 км/ч

Задача 5*. Первую половину маршрута турист проехал на попутном автомобиле в 10 раз быстрее по сравнению с ходьбой пешком, а вторую половину – на попутном возу в 2 раза медленней. Сэкономил ли турист время на всем маршруте по сравнению с ходьбой пешком?

Пусть \(v\) — скорость туриста при ходьбе пешком.
Найдем среднюю путевую скорость \(v_\) и сравним ее со скоростью \(v\).
Если \(v_\gt v\), то турист выиграл время.
Заполним таблицу:

Упростим сумму дробей: $$ t=\frac<20v>+\frac sv=\frac sv\left(\frac<1><20>+1\right)=\frac<21><20>\cdot \frac sv $$ Средняя скорость: $$ v_=\frac<\frac<21><20>\cdot\frac sv>=\frac<20><21>v\gt v $$Средняя скорость поездки оказалась меньше пешей скорости туриста.
Значит, он не выиграл по времени.
Ответ: нет

п.5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела

Цель работы
Научиться определять среднюю скорость движения тела по данным измерений на разных участках. Научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности при подстановке данных измерений в формулы.

Теоретические сведения
В лабораторной работе изучается движение тела (шарика) по двум участкам (желобам) с различной скоростью.

Длина участков измеряется с помощью мерной ленты с ценой деления \(\triangle=1\) см,
инструментальная погрешность равна: \(d=\frac<\triangle><2>=0,5\) см
Абсолютная погрешность измерений при работе с мерной лентой равна инструментальной погрешности, поэтому: \(\triangle s_1=\triangle s_2=d=0,5\) см
Погрешность суммы двух длин: \(\triangle(s_1+s_2)= \triangle s_1+\triangle s_2=2d=1\) см

Измерение времени на каждом участке проводится в сериях их 5 измерений по методике, описанной в Лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
Погрешность суммы двух измерений: \(\triangle(t_1+t_2)=\triangle t_1+\triangle t_2\)

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $$ \delta_>=\delta_+\delta_ $$ Абсолютная погрешность определения средней скорости: $$ \triangle v_=v_\cdot \delta_> $$

Приборы и материалы
Два желоба (не менее 1 м каждый), шарик, мерная лента, секундомер.

Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Соберите установку, как показано на рисунке. Установите один желоб под углом, другой – горизонтально, закрепите, поставьте в конце горизонтального участка упор. Подберите длину желобов и наклон так, чтобы движение по каждому участку было не менее 1 с.

3. Измерьте фактическую длину каждого участка движения в готовой установке с помощью мерной ленты.
4. Найдите относительную погрешность суммы двух длин \(\delta_=\frac<\triangle(s_1+s_2)>\)
5. Проведите серии по 5 экспериментов для определения \(t_1\) и \(t_2\) с помощью секундомера.
6. Найдите \(\triangle t_1,\ \triangle t_2, \ \triangle(t_1+t_2),\ \delta_\)
7. По результатам измерений и вычислений найдите \(v_,\ \delta_>\) и \(\triangle v_\).
8. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

1) Измерение длин
Цена деления мерной ленты \(\triangle =1\) см
Инструментальная погрешность мерной ленты \(d=\frac<\triangle><2>=0,5\) см
Результаты измерений:
\(s_1=112\) cм
\(s_2=208\) cм
Сумма длин участков: \(s_1+s_2=112+208=320\) (см)
Абсолютная погрешность суммы: \(\triangle (s_1+s_2)=\triangle s_1+\triangle s_2=2d=1\) см
Относительная погрешность суммы: $$ \delta_=\frac<\triangle (s_1+s_2)>=\frac<1><320>=0,3125% $$

2) Измерение времени
Цена деления секундомера \(\triangle =0,2\) с
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\) с

Время движения по наклонному желобу

Найдем среднее время спуска с наклонного желоба: $$ t_1=\frac<1,5+1,6+1,5+1,4+1,4><5>=\frac<7,4><5>=1,48\ (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от \(t_1\): $$ \triangle_1=|1,5-1,48|=0,02;\ \triangle_2=|1,6-1,48|=1,02\ \text <и т.д.>$$ Среднее абсолютное отклонение: $$ \triangle_=\frac<0,02+0,12+0,02+0,08+0,08><5>=\frac<0,32><5>=0,064\ \text $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t_1=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,064\right\>=0,1\ \text $$ Округляем полученное значение времени до десятых. \begin t_1=(1,5\pm 0,1)\ \text\\ \delta_=\frac<0,1><1,5>=\frac<1><15>\approx 6,7\text <%>\end Время движения по горизонтальному желобу

Найдем среднее время движения по горизонтали: $$ t_2=\frac<2,3+2,4+2,2+2,2+2,4><5>=\frac<11,5><5>=2,3\ (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от \(t_2\): $$ \triangle_1=|2,3-2,3|=0;\ \triangle_2=|2,4-2,3|=0,1\ \text <и т.д.>$$ Среднее абсолютное отклонение: $$ \triangle_=\frac<0+0,1+0,1+0,1+0,1><5>=\frac<0,4><5>=0,08\ \text $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t_2=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,08\right\>=0,1\ \text $$ Получаем: \begin t_2=(2,3\pm 0,1)\ \text\\ \delta_=\frac<0,1><2,3>=\frac<1><23>\approx 4,4\text <%>\end

3) Расчет погрешности суммы интервалов времени
Сумма интервалов времени: $$ t_1+t_2=1,5+2,3=3,8\ \text <(c)>$$ Абсолютная погрешность суммы: $$ \triangle(t_1+t_2)=\triangle t_1+\triangle t_2=0,1+0,1=0,2\ \text <(c)>$$ Относительная погрешность суммы: $$ \delta_=\frac<\triangle (t_1+t_2)>=\frac<0,2><3,8>=\frac<1><19>\approx 5,3\text <%>$$

4) Расчет средней скорости $$ v_=\frac=\frac<320><3,8>\approx 84,2\ \left(\frac<\text<см>><\text>\right) $$ Относительная ошибка частного: $$ \delta_>=\delta_+\delta_=\frac<1><320>+\frac<1><19>\approx 0,003125+0,0526\approx 0,0557\approx 0,056=5,6\text <%>$$ (оставляем две значащие цифры).
Абсолютная ошибка: $$ v_=v_\cdot\delta_>=84,2\cdot 0,056\approx 4,7\ \left(\frac<\text<см>><\text>\right) $$ Получаем: \begin v_=(84,2\pm 4,7)\ \text<см/с>\\ \delta_>=5,6\text <%>\end

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Измерения длин проводились с помощью мерной ленты. Ошибка измерений равна инструментальной ошибке 0,5 см.
Измерения времени проводились с помощью секундомера. По результатам серий экспериментов ошибка была принята равной инструментальной 0,1 с.
Получена величина средней скорости: \begin v_=(84,2\pm 4,7)\ \text<см/с>\\ \delta_>=5,6\text <%>\end