Уравнения прямой, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна к заданной плоскости.
В этой статье мы разберемся с нахождением уравнений прямой, которая в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве проходит через заданную точку и перпендикулярна к заданной плоскости. Сначала разберем принцип составления уравнений такой прямой, после чего перейдем к решению задач.
Навигация по странице.
Принцип составления уравнений прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости.
Прежде чем приступить к составлению уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости, освежим в памяти один момент.
В 10 классе на уроках геометрии доказывается теорема: через любую точку трехмерного пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная к заданной плоскости. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую, указав точку, через которую она проходит, и плоскость, к которой она перпендикулярна.
Сформулируем условие задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка , плоскость и требуется написать уравнения прямой a , проходящей через точку М1 перпендикулярно к заданной плоскости .
Решим эту задачу.
Нам известны координаты точки M1 , через которую проходит прямая a , уравнения которой нам требуется найти. Но этого мало, чтобы записать уравнения прямой a . Если мы будем знать еще координаты направляющего вектора прямой a , то сможем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве.
Как же определить координаты направляющего вектора прямой a ? Да очень просто. Так как по условию прямая a перпендикулярна к плоскости , то нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой a . Таким образом, нам остается отыскать координаты нормального вектора плоскости , принять их за соответствующие координаты направляющего вектора прямой a и записать требуемые уравнения прямой a .
В свою очередь координаты нормального вектора плоскости находятся в зависимости от способа задания плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz . Если плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz отвечает общее уравнение плоскости вида , то нормальным вектором плоскости является вектор . Если плоскость задается уравнением плоскости в отрезках , то от него следует перейти к общему уравнению плоскости , откуда станут видны координаты нормального вектора плоскости : . Если плоскость задана каким-либо другим способом (например, с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой, или с помощью уравнений двух пересекающихся прямых, или с помощью уравнений двух параллельных прямых), то на основании этих данных следует определить общее уравнение плоскости , откуда получить координаты ее нормального вектора.
Итак, задача нахождения уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к заданной плоскости, решена. Осталось лишь рассмотреть несколько решенных примеров.
Примеры нахождения уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к заданной плоскости.
В этом пункте статьи мы приведем подробные решения наиболее характерных задач, в которых находятся уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.
Начнем с самого простого случая, когда требуется написать уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к одной из координатных плоскостей.
Напишите канонические уравнения прямой a , которая проходит через точку и перпендикулярна координатной плоскости Oyz .
Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор . Так как прямая a перпендикулярна плоскости Oyz , то является ее направляющим вектором. Итак, мы знаем координаты точки, лежащей на прямой a , и координаты ее направляющего вектора, то есть, можем написать ее канонические уравнения: .
.
Аналогично решается задача, в условии которой даны координаты точки, через которую проходит прямая, и задана плоскость с помощью общего уравнения плоскости.
Составьте параметрические уравнения прямой a , проходящей через точку перпендикулярно к плоскости .
Направляющим вектором прямой a является нормальный вектор плоскости , то есть, . Теперь мы можем записать требуемые уравнения прямой a . Они имеют вид .
.
В заключении рассмотрим пример составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к плоскости, заданной тремя не лежащими на одной прямой точками.
В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы три точки . Напишите уравнения прямой a , проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости ABC .
Направляющим вектором прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости АВС , является нормальный вектор плоскости АВС . Нормальным вектором плоскости АВС является векторное произведение векторов и . Найти указанное векторное произведение мы сможем, если будем знать координаты векторов и . Вычислим координаты векторов и по координатам точек А , В и С (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала): .
Тогда, , а в координатной форме (при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора).
Теперь мы можем записать требуемые уравнения прямой a , которая проходит через точку и перпендикулярна к плоскости ABC : .
Приведем второй способ решения этой задачи.
Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А , В и С , , откуда виден нормальный вектор этой плоскости . Далее принимаем этот вектор за направляющий вектор прямой a и записываем ее уравнения.
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости
Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M0 и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
(1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:
(3) |
Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M0(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :
(4) |
Подставляя координаты точки M0(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:
Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости |
Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости |
Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Определение . Прямой, перпендикулярной к плоскости , называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости . Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство . Рассмотрим сначала следующий случай.
Предположим, что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α и проходящим через точку O . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей на плоскости α и проходящей через точку O .
С этой целью отметим на прямой a произвольную точку A , а на прямой b произвольную точку B (рис. 1).
Проведем прямую AB и обозначим буквой C точку пересечения прямых AB и c. Отметим на прямой p произвольную точку P и обозначим символом P’ точку, расположенную на прямой p так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка PP’ . Поскольку прямые OA и OB являются серединными перпендикулярами к отрезку PP’ , то справедливы равенства
Из этих равенств, а также поскольку отрезок AB является общей стороной треугольников APB и AP’B , заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники APB и AP’B равны. Следовательно,
Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник PBС равен треугольнику P’BС ( BP = BP’ , , сторона BС — общая). Следовательно,
Таким образом, прямые PO и c перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
Теперь перейдем к общему случаю.
Предположим, что что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей плоскости α (рис. 2).
С этой целью проведем через точку O прямые a’ , b’ и c’ соответственно параллельные прямым параллельные прямым a , b и c .
По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым a’ и b’ , проходящим через точку O, и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.
Замечание . Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.
Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α .
Свойства перпендикуляра к плоскости
Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.
Рисунок | Свойство |
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α. | |
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны | |
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны. | |
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. | |
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β. |
Свойство:
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α.
Свойство:
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны
Свойство:
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
Свойство:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство:
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β.
http://matworld.ru/analytic-geometry/prjamaja-ploskost-online.php
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolvesh.htm