Уравнение прямой через перпендикулярный вектор

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть дана некоторая точка М₀ и вектор n. Проведем через точку М₀ прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M — произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор \(\overrightarrowM>\) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и \(\overrightarrowM>\) равнялось нулю:

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M₀ и M имеют координаты (x₀ ; у₀ ) и (x; у).

Тогда \(\overrightarrowM>\) = (x — x₀; у — у₀). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М₀ (x₀; у₀) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

— 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x — 5у — 17 = 0.

Задача 2. Даны точки M₁(2; -1) и M₂(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору \(\overrightarrowM_<2>>\).

Нормальный вектор искомой прямой n = \(\overrightarrowM_<2>>\) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M₁(-5; 2), M₂(5; 6) и M₃(1; -2) проведена медиана M₁А₁. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А₁ перпендикулярно медиане M₁A₁ (рис. 85).

За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = \(\overrightarrowA_<1>>\). Определим его координаты. Точка A₁ — середина отрезка M₂M₃, поэтому, если (x₁; y₁) — ее координаты, то \( x_1 = \frac<5+1><2>=3, \;\;а \;\; y_1=\frac<6-2><2>=2 \).

Тогда нормальный вектор n = \(\overrightarrowA_<1>>\) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).

За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = \(\overrightarrow\).

Так как n = (2-(-3); 7 — (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим

или, окончательно, 5х + 8у — 57 = 0.

Уравнение перпендикулярной прямой

Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /₉x – 1 /₃ (a = 4 /₉). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С Что-то не нашли? Ошибка? Предложения? Сообщите нам