Уравнение прямой в отрезках
В данной статье мы рассмотрим уравнение прямой в отрезках. Представим методы преобразования уравнения прямой в отрезках в уравнение прямой в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.
Уравнение прямой в отрезках представляется следующей формулой:
(1) |
где a и b числа, отличные от нуля.
Отметим, что числа a и b в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy (Рис.1).
Действительно. Подставляя в (1) y=0, получим x=a, если же подставить в (1) x=0, то получим y=b. Таким образом прямая L проходит через точки M1(a, 0) и M2(0, b).
Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox и Oy в точках −1 и 3, соответственно.
Решение. Подставляя значения a=−1 и b=3 в (1), получим:
. |
. |
Приведение уравнения прямой в отрезках к общему виду
Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:
. |
Далее, умножив обе части уравнения на ab, получим:
Пример 2. Уравнение прямой в отрезках представлено следующим уравнением:
Перевести уравнение к общему виду.
Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
. |
Умножив обе части уравнения на −20, получим:
Приведение общего уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой в отрезках
где A, B, C − отличные от нуля числа.
Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член C на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −C:
(2) |
Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:
(3) |
Сделаем следующие обозначения:
Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).
Пример 3. Привести общее уравнение прямой
к уравнению прямой в отрезках.
Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение прямой в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=5, B=8, C=−3. Подставив эти значения в формулу (3), получим:
Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки
Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.
Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости
Исходные данные: задана прямоугольная система координат O x y и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) . А также задана точка С , делящая отрезок А В в отношении λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки С : x C и y C .
Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С , делящая отрезок А В в отношении λ ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке А В (т.е. между точками А и В ). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков А С и С В равно λ . Т.е. верно равенство:
В этом случае точка А – начало отрезка, точка В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С делит в заданном отношении отрезок В А , тогда верным было бы равенство: .
Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1 , то точка С является серединой отрезка А В .
Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А , В и точку С на отрезке А В . Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы A C → и C B → . Согласно условиям задачи, точка С делит отрезок А В в отношении λ .
Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) и O B → = ( x B , y B ) .
Определим координаты вектора : они будут равны координатам точки С , которые и требуется найти по условию задачи.
Используя операцию сложения векторов, запишем равенства: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → — O C →
По условию задачи точка С делит отрезок А В в отношении λ , т.е. верно равенство A C = λ · C B .
Векторы A C → и C B → лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим: A C → = λ · C B → .
Преобразуем выражение, подставив в него : C B → = O B → — O C → .
A C → = λ · ( O B → — O C → ) .
Равенство O C → = O A → + A C → перепишем как O C → = O A → + λ · ( O B → — O C → ) .
Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует: O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) .
Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .
Выполним необходимые действия над векторами O A → и O B → .
O A → = ( x A , y A ) и O B → = ( x B , y B ) , тогда O A → + λ · O B → = ( x A + λ · x B , y A + λ · y B ) .
Таким образом, O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) = ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ ) .
Резюмируя: координаты точки С , делящей отрезок А В в заданном отношении λ определяются по формулам : x C = x A + λ · x B 1 + λ и y C = у A + λ · y B 1 + λ .
Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве
Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z , точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) .
Точка С делит отрезок А В в отношении λ . Необходимо определить координаты точки С .
Используем ту же схему рассуждений, что и в случае выше на плоскости, придем к равенству:
O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → )
Векторы и являются радиус-векторами точек А и В , а значит:
O A → = ( x A , y A , z A ) и O B → = ( x B , y B , z B ) , следовательно
O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) = ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ )
Таким образом, точка С , делящая отрезок А В в пространстве в заданном отношении λ , имеет координаты: ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ )
Рассмотрим теорию на конкретных примерах.
Исходные данные: точка С делит отрезок А В в отношении пять к трем. Координаты точек А и В заданы A ( 11 , 1 , 0 ) , B ( — 9 , 2 , — 4 ) .
Решение
По условию задачи λ = 5 3 . Применим полученные выше формулы и получим:
x A + λ · x B 1 + λ = 11 + 5 3 · ( — 9 ) 1 + 5 3 = — 3 2
y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ · z B 1 + λ = 0 + 5 3 · ( — 4 ) 1 + 5 3 = — 5 2
Ответ: C ( — 3 2 , 13 8 , — 5 2 )
Исходные данные: необходимо определить координаты центра тяжести треугольника А В С .
Заданы координаты его вершин: A ( 2 , 3 , 1 ) , B ( 4 , 1 , — 2 ) , C ( — 5 , — 4 , 8 )
Решение
Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М ). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1 , считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.
Допустим, что А D – медиана треугольника А В С . Точка М – точка пересечения медиан, имеет координаты M ( x M , y M , z M ) и является центром тяжести треугольника. М , как точка пересечения медиан, делит отрезок А D в отношении 2 к 1 , т.е. λ = 2 .
Найдем координаты точки D . Так как A D – медиана, то точка D – середина отрезка В С . Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:
x D = x B + x C 2 = 4 + ( — 5 ) 2 = — 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + ( — 4 ) 2 = — 3 2 z D = z B + z C 2 = — 2 + 8 2 = 3
Вычислим координаты точки М :
x M = x A + λ · x D 1 + λ = 2 + 2 · ( — 1 2 ) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · ( — 3 2 ) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/delenie-otrezka-v-zadannom-sootnoshenii/