Уравнение прямой и окружности в комплексной плоскости

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Глава 3. Конформные отображения

Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного

Пусть дана аналитическая в области $D$ функция $f(z)$. Возьмем точку $z_0\in D$, пусть производная функции в этой точке не равна нулю $$f'(z_0)\ne0.$$

Функция $w=f(z)$ отображает область $D$ на плоскости z на множество $E$ в плоскости $w$.

Точке $z_0\in D$ соответствует точка $w_0=f(z_0)\in E$.

Аргумент $\arg f'(z_0)$ есть угол поворота касательной к любой кривой, проведенной через точку $z_0$ при ее отображении с помощью функции $w=f(z)$ на плоскость $w$.

Модуль $|f'(z_0)|$ можно рассматривать как величину масштаба в точке $z_0$ при отображении $w$. Если $|f'(z_0 )|>1$, то происходит растяжение бесконечно малого элемента, выходящего из точки $z_0$. Если $|f'(z_0 )| 0\rightarrow |w| 0) \rightarrow w_0=0. $$

Функция $w=z^n$ отображает расширенную комплексную плоскость $z$ на расширенную комплексную плоскость $w$.

Не является конформным при $z=0$, так как $$w’=n\,z^ =0 \,\, \mbox <при >z=0.$$

Не является однолистной, так как всякая точка $w$, отличная от $w=0$ и $w=\infty$, имеет $n$ различных прообразов. Для однолистности отображения следует брать на плоскости $z$ лишь сектор вида $$k\cdot\displaystyle\frac<2\pi>\leqslant \mbox\,z\leqslant(k+1)\cdot\displaystyle\frac<2\pi>,\,\, k\in \mathbb Z_<>.$$

Исследуем поведение функции около точки $z=0$. При помощи степенной функции $$ w=z^n $$ угол с вершиной в начале координат плоскости $z$ отображается в угол с вершиной в начале координат плоскости $w$ c раствором в $n$ раз большим: $$ z=\rho e^<\mathbf i \varphi>\,\, \rightarrow \,\, w = z^n=\rho^n e^<\mathbf i n\varphi>. $$ Отображение будет взаимно однозначным, если раствор угла на плоскости $w$ будет не более $2\pi$.

Найти в какую область преобразуется квадрат $$ 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1 $$ функцией $w=z^2+z-1$.

Решение. Выделим вещественную и мнимую части: $$ \begin u=x^2-y^2+x-1, v=2xy+y. \end $$

Определим образы участков границ данного квадрата: \begin OA:\quad\left\<\begin y=0, 0\le x\le1 \end\right.\quad\hbox<дает>\quad \left\<\begin u=x^2+x-1, v=0. \end\right. \end это отрезок вещественной оси $-1\le u\le 1$. \begin AB:\quad\left\<\begin x=1, 0\le y\le1 \end\right.\quad\hbox<дает>\quad \left\<\begin u=1-\dfrac9, 0\le v\le3 \end\right.\hskip17.5pt \end это часть параболы в первом квадранте.

Образы отрезков $BC$ и $CO$ также являются дугами парабол: \begin\label BC:\quad u=\frac14\big(v^2-9\big),\quad 1\le v\le 3, \end \begin\label CO:\quad u=-1-v^2,\quad 0\le v\le1. \end Так как точка $z=\displaystyle\frac12(1+i)$ переходит в точку $w=i-\displaystyle\frac12$, то внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Ответ: Внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Радикал

Рассмотрим функцию \begin w=\sqrt[n], \end обратную степенной функции $z=w^n$.

Примем, что $$w=\infty \mbox < при >z=\infty.$$

Во всех точках расширенной плоскости $z$, кроме точек $z=0$ и $z=\infty$ (где эта функция соответственно равна $w=0$ и $w=\infty)$, эта функция $n$-значна и все ее $n$ различных значений для каждого фиксированного $z=re^$ (не равные 0 и $\infty$) дает формула: $$ w=\sqrt[n]\cdot e^ <\scriptstyle n>> =\sqrt[n]\cdot e^ <\scriptstyle n>>\cdot e^<\scriptstyle n>>\quad\hbox <при>\quad k=0,1,\dots,n-1. $$

Через $w_k$ обозначим множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$. В результате получим $n$ функций $w_k$, $k=0,2,\dots,n-1$, называемых ветвями многозначной функции $w=\sqrt[n]$. $$ w_k= \sqrt[n]\cdot e^ <\scriptstyle n>>\cdot e^<\scriptstyle n>>\quad\hbox <при>\quad k=0,1,\dots,n-1. $$

Рассмотрим какую-нибудь ветвь $w_k$ функции и заставим точку $z$ описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кривую.

Если эта кривая не содержит внутри себя точку $z=0$ (сплошная кривая на рисунке), то непрерывно изменяющийся аргумент точки $z$ вернется к прежнему значению с возвращением точки $z$ в исходное положение. В силу этого и ветвь $w_k$ радикала останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корня в исходной точке).

Картина изменится, если кривая $l$ будет содержать внутри себя точку $z=0$ (пунктирная кривая на рисунке). В этом случае после полного обхода кривой $l$ аргумент точки $z$ в исходном положении увеличится на $\pm 2\pi k$ (в зависимости от того, совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в силу чего мы от значения $w_k$ корня в исходной точке перейдем либо к значению $$ w_k\cdot e^<\scriptstyle n>>=w_,$$ либо к значению $$ w_k\cdot e^<-i\tfrac<\scriptstyle2\pi><\scriptstyle n>>=w_. $$

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходной ветви $w_k$ радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после $n$ обходов начала координат в одном направлении мы возвращаемся к исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции. Таким образом, точка $z=0$ будет точкой разветвления функции $w=\sqrt[n]$.

Из сказанного следует, что мы можем выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$ функции $w=\sqrt[n]$ только в такой области $D$, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себя точку $z=0$.

Расширенная плоскость $z$ с любым разрезом от точки $z=0$ до точки $z=\infty$ и, в частности, с разрезом вдоль положительной части вещественной оси (левая часть рисунка) не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку $z=0$. На ней можно выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$, $k=0,1,\dots,n-1$, радикала, принимающих каждая одно из значений $\sqrt[n]$.

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси на секторы $$ k\frac<2\pi>n 0$.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконечнозначна, все ее значения вычисляются по формуле $$ w=\mboxz=\mbox|z|+i\mboxz=\mbox|z|+i(\mboxz+2\pi k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$ Дополнительно примем, что $w=\infty$ при $z=0$ и $z=\infty$.

Обозначив через $w_k$ множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$, получим бесконечное множество функций, которые называются ветвями многозначной функции $w=\mboxz$ $$ w_k= \mbox|z|+i\mboxz=\mbox|z|+i(\mboxz+2\pi k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$

Бесконечнозначность логарифма связана с бесконечнозначностью его мнимой части $\mboxz$. Поэтому область не должна допускать обхода начала координат по непрерывной кривой, так как при таком обходе значение $\mboxz$ изменяется на $2\pi$. Область указанного типа будет сектором концентрического кольца: $$ 0 0,\ 0 1$.

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемое отображение, положим $$ z=re^,\quad w=u+iv $$ и произведя соответствующие замены в функции Жуковског и отделив вещественные и мнимые части, получим два вещественных равенства, зависящие от двух параметров $$ u=\frac12\left(r+\frac1r\right)\cos\varphi,\quad v=\frac12\left(r-\frac1r\right)\sin\varphi. $$

Рассмотрим две упомянутые выше области $|z| 1$.

В области $|z| 0$ функция Жуковского отобразит на нижнюю полуплоскость $\mathfrak w 0$.

Рассмотрим теперь в области $|z|>1$ окружности $|z|=r$, где $1 1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость, а нижний полукруг — на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция $$ w=z+\sqrt $$ двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня. Каждую точку $z$ она отображает в две точки $w_1$ и $w_2$, связанные условием $w_1w_2=1$. Легко показать, что точки $z=-1$ и $z=1$ будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в любой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишь одну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви обратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет вся плоскость $z$ с разрезом вдоль отрезка $[-1,1]$ вещественной оси. Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость $z$ с указанным разрезом либо на круг $|w| 1$ и аналитичны.

Тригонометрические функции

Теорема Римана. Основные принципы конформных отображений

Теорема 1 (Римана).

Всякую односвязную область $D$ комплексной плоскости $z$, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга $|w| tfkp/chapter3.txt · Последние изменения: 2022/01/13 22:15 — nvr