Уравнение прямой и параллельной стороне вс

Задача 31020 [b]1.[/b] Треугольник задан вершинами .

Условие

[b]1.[/b] Треугольник задан вершинами :

Найти:
1. Уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС;

2. Уравнение медианы AD, ее длину;

3. Уравнение высоты BF;

4. Центр тяжести треугольника;

6. Площадь треугольника

[b]2.[/b] Найти расстояние между центрами окружностей и линию центров этих окружностей:

x^2+y^2-4x-2y-15 = 0
x^2+y^2+6x+18y-55 = 0

Все решения

2.
Выделим полные квадраты:
(x^2-4x)+(y^2-2y)-15=0
(x-2)^2+(y-1)^2=10
центр окружности O(2;1)

(x^2+6x)+y^2+18y)-55=0
(x+3)^2+(y+9)^2=155
центр окружности O_(1)(-3;-9)

1.
1)Уравнение прямой проходящей через точкy (x_(o);y_(o)) с направляющим вектором vector =(p;q) имеет вид
(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q

Уравнение прямой АМ как прямой проходящей через точкy А(-2;-2) с направляющим вектором vector =(1-7;2-(-6))=(-6;8)

2) Координаты точки D — середины BC
x_(D)=(x_(B)+x_(C))/2 = (7+1)/2=4
y_(D)=(y_(B)+y_(C))/2= (-6+2)/2)=-2
[b]D(4;-2)[/b]
По условию
[b]А(-2;-2)[/b]

Значит,
[b]уравнение медианы AD:
y=-2[/b]

3)
Высота BF перпендикулярна прямой AC.

Уравнение прямой АС как прямой, проходящей через две точки:
(x-(-2))/(1-(-2))=(y-(-2))/(2-(-2)) ⇒ (x+2)/(3)=(y+2)/4 ⇒
4х — 3у +2=0
y=(4/3)x+(2/3)
k_(AC)=4/3

Общий вид прямых, перпендикулярных АС:
у=(-3/4)х + m

Подставим координаты точки В
-6 = (-3/4)*7 + m
m=-3/4

4) Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан.
Составим уравнение медианы ВК.
К — середина АС
К((-2+1)/2;(-2+2)/2)=К(-1/2; 0)

Точка пересечения медианы АМ и медианы ВК:
y=-2
4x=8
x=2

Уравнение прямой и параллельной стороне вс

Задача 31020 [b]1.[/b] Треугольник задан вершинами .

Условие

[b]1.[/b] Треугольник задан вершинами :

Найти:
1. Уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС;

2. Уравнение медианы AD, ее длину;

3. Уравнение высоты BF;

4. Центр тяжести треугольника;

6. Площадь треугольника

[b]2.[/b] Найти расстояние между центрами окружностей и линию центров этих окружностей:

x^2+y^2-4x-2y-15 = 0
x^2+y^2+6x+18y-55 = 0

Все решения

2.
Выделим полные квадраты:
(x^2-4x)+(y^2-2y)-15=0
(x-2)^2+(y-1)^2=10
центр окружности O(2;1)

(x^2+6x)+y^2+18y)-55=0
(x+3)^2+(y+9)^2=155
центр окружности O_(1)(-3;-9)

1.
1)Уравнение прямой проходящей через точкy (x_(o);y_(o)) с направляющим вектором vector =(p;q) имеет вид
(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q

Уравнение прямой АМ как прямой проходящей через точкy А(-2;-2) с направляющим вектором vector =(1-7;2-(-6))=(-6;8)

2) Координаты точки D — середины BC
x_(D)=(x_(B)+x_(C))/2 = (7+1)/2=4
y_(D)=(y_(B)+y_(C))/2= (-6+2)/2)=-2
[b]D(4;-2)[/b]
По условию
[b]А(-2;-2)[/b]

Значит,
[b]уравнение медианы AD:
y=-2[/b]

3)
Высота BF перпендикулярна прямой AC.

Уравнение прямой АС как прямой, проходящей через две точки:
(x-(-2))/(1-(-2))=(y-(-2))/(2-(-2)) ⇒ (x+2)/(3)=(y+2)/4 ⇒
4х — 3у +2=0
y=(4/3)x+(2/3)
k_(AC)=4/3

Общий вид прямых, перпендикулярных АС:
у=(-3/4)х + m

Подставим координаты точки В
-6 = (-3/4)*7 + m
m=-3/4

4) Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан.
Составим уравнение медианы ВК.
К — середина АС
К((-2+1)/2;(-2+2)/2)=К(-1/2; 0)

Точка пересечения медианы АМ и медианы ВК:
y=-2
4x=8
x=2

Уравнение прямой и параллельной стороне вс

Даны точки А(1;2), В(6;2), С(3;0).

a) уравнение и длину BC;

Вектор ВС = (3-6; 0 -2) = (-3; -2). Модуль равен √((-3)² + (-2)²) = √13.

Уравнение ВС: (х — 6)/(-3) = (у — 2)/(-2).

или в общем виде 2х — 3у — 6 = 0.

б) уравнение высоты АД;

Высота АД перпендикулярна стороне ВС: 2х — 3у — 6 = 0.

Её уравнение имеет вид 3х + 2у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).

Для определения величины С подставим координаты точки А(1;2).

АД: 3*1 + 2*2 + С = 0, отсюда С = -3 — 4 = -7.

АД: 3х + 2у — 7 = 0.

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС;

Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны ВС.

2х — 3у + С = 0, для определения параметра С подставим координаты точки А(1;2): 2*1 – 3*2 + С = 0, отсюда С = -2 + 6 = 4.

Уравнение 2х — 3у + 4 = 0.

г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.

Это будет средняя линия треугольника, параллельная стороне АС.

Находим координаты точки Д, являющейся серединой стороны АВ.

Д = (А(1;2) + В(6;2))/2 = (3,5; 2).

Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны АС.

Точки А(1;2) и С(3;0).

Вектор АС = (3-1; 0-2) = (2; -2).

Уравнение АС: (х — 1)/2 = (у — 2)/(-2) или в общем виде

Тогда параллельная прямая имеет вид x + y + С = 0.

Для определения параметра С подставим координаты точки Д(3,5; 2):

1*3,5 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -3,5 — 2 = -5,5.

Уравнение х + у – 5,5 = 0 или в целых числах 2x + 2y – 11 = 0.

д) угол А треугольника АВС.

Вектор АВ = (6-1; 2-2) = (4; 0), модуль равен 4.

Вектор АС = (2; -2 ), модуль равен √8 = 2√2.

cos B = (4*2 + 0*(-2)) / (4*2√2) = 8 / (8*√2) = 1/√2 = √2/2.

B = arc cos(√2/2) = 45 градусов.

Уравнение параллельной прямой

Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y = k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k₁x+b₂.

Так как эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b:

1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.

Так как угловые коэффициенты у параллельных прямых равны, то k₂=k₁=3 и уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, имеет вид y=3x+b. Так как искомая прямая проходит через точку A(4;21), подставляем в уравнение прямой координаты A (x=4; y=21):

21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.

2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).

Так как прямая x=5 параллельна оси Oy, то и параллельная ей прямая также параллельна Oy, а значит, уравнение этой прямой имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.

3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).

Так как прямая y= -11 параллельна оси Ox, то и параллельная ей прямая также параллельна оси Ox. Поэтому уравнение прямой имеет вид y=b.

Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.

Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).