Уравнение прямой и плоскости в пространстве задачи

4.2.10. Примеры решения задач по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А=<5; -1; 3>,

Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты

Точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормали, то есть вектора, перпендикулярного плоскости.

Векторы АВ = (-3; 3; -3) и АС = (-6; 2; -2) параллельны данной плоскости, поэтому их векторное произведение или любой вектор, коллинеарный ему, является нормалью к плоскости.

Выберем в качестве нормали П = (0; 1; 1), а точкой <Х0; У0; Z0> будем считать точку В. Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Составить канонические уравнения прямой

Для того, чтобы составить канонические или параметрические уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты направляющего вектора, то есть вектора, коллинеарного прямой.

Прямая является линией пересечения двух плоскостей, поэтому ее направляющий вектор А параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям П1 и П2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [N1, N2].

Будем искать точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить единственным образом из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости. Выберем для удобства вычислений Z0 = 0, тогда для точки М=<Х0; У0; 0>

Теперь составим канонические уравнения данной прямой:

Ответ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую L:

Точка А= <-3,5,-1>принадлежит плоскости, соответственно вектор параллелен плоскости. Кроме того, поскольку данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Поскольку прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. При T = 0 из уравнений прямой получаем:

Координаты точки А, принадлежащей прямой и соОтВетственно плоскости.

Тогда вектор АМ = (5; -8; 2) параллелен Плоскости. Следовательно, нормаль

П к плоскости коллинеарна векторному произведению [A, AM] = (-6; -9; — 21).

Выберем N = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через

Найти кратчайшее расстояние между прямыми

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составьте уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости; если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A.

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составим уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости (рис.9); если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A (рис.10).

[A1, A2] = (10; -14; 1) = N, точка А= <5; 0; -25>лежит на прямой L1, следова-тельно, она лежит и в плоскости A. Тогда уравнение плоскости A имеет вид:

Точка В= <1; 2; 13>принадлежит прямой L2. Проверим, лежит ли эта точка в плоскости A:

Тогда искомой величиной будет расстояние от В до A. Его можно найти, составив нормальное уравнение плоскости A:

Ответ: .

Найти точку, симметричную точке А(5; -10; 4) относительно плоскости

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ.

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ. Составим уравнения прямой АВ. Эта прямая перпендикулярна A, поэтому ее направляющим вектором можно считать нормаль к плоскости A: A = N = (1; -3; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:

Точка О принадлежит и прямой АВ, и плоскости A, поэтому ее координаты должны удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Подставим в уравнение плоскости A параметрические выражения для X, Y, Z из уравнений прямой АВ:

T + 5 – 3(-3T – 10) + T + 4 – 6 = 0; 11T + 33 = 0; T = -3.

Итак, координаты точки О:

Поскольку точка О – середина отрезка АВ, то

Основные задачи о прямых и плоскостях

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки \(M_<1>\) и \(M_<2>\) с координатами \((x_<1>, y_<1>, z_<1>)\) и \((x_<2>, y_<2>, z_<2>)\). Чтобы написать уравнение прямой \(M_<1>M_<2>\), примем \(M_<1>\) за начальную точку, a \(\overrightarrowM_<2>>\) за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают. По формуле уравнения прямой в пространстве мы получаем
$$
\frac>-x_<1>>=\frac>-y_<1>>=\frac>-z_<1>>.\label
$$
Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.

В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь \((x_<1>, y_<1>)\) и \((x_<2>, y_<2>)\), и мы получаем по формуле для прямой на плоскости
$$
\begin
x-x_<1>& y-y_<1>\\
x_<2>-x_<1>& y_<2>-y_<1>
\end
= 0.\nonumber
$$

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть \(M_<1>\), \(M_<2>\) и \(M_<3>\) — не лежащие на одной прямой точки с координатами \((x_<1>, y_<1>, z_<1>)\), \((x_<2>, y_<2>, z_<2>)\) и \((x_<3>, y_<3>, z_<3>)\) в общей декартовой системе координат. Выберем \(M_<1>\) в качестве начальной точки, a \(\overrightarrowM_<2>>\) и \(\overrightarrowM_<3>>\) в качестве направляющих векторов. Тогда по формуле о компланарности прямой и плоскости и формуле для выражения смешанного произведения через координаты получаем уравнение плоскости
$$
\begin
x-x_<1>& y-y_<1>& z-z_<1>\\
x_<2>-x_<1>& y_<2>-y_<1>& z_<2>-z_<1>\\
x_<3>-x_<1>& y_<3>-y_<1>& z_<3>-z_<1>
\end
= 0.\label
$$

Параллельность прямой и плоскости.

Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

Из формулы \eqref следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию
$$
\begin
A& B& C\\
A_<1>& B_<1>& C_<1>\\
A_<2>& B_<2>& C_<2>
\end
\neq 0.\label
$$
Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пересекаются две плоскости, не параллельна третьей.

Полупространство.

Пусть даны плоскость \(P\) и определенный ее нормальный вектор \(\boldsymbol\). Полупространством, определяемым \(P\) и \(\boldsymbol\), называется множество точек \(M\) таких, что для некоторой точки \(M_<0>\) на плоскости вектор \(\overrightarrowM>\) составляет с \(\boldsymbol\) угол, не больший \(\pi/2\).

Если \(\boldsymbol\) — радиус-вектор точки \(M\), а \(\boldsymbol_<0>\) — точки \(M_<0>\), то определение полупространства, эквивалентно неравенству \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \geq 0\). Это неравенство и есть уравнение полупространства.

Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно утверждению 3 отсюда выражение \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) в координатах записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\). Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным неравенством
$$
Ax+By+Cz+D \geq 0.\nonumber
$$
Обратно, любое такое неравенство можно записать как \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \geq 0\), откуда сразу видно, что оно задает полупространство.

Плоскость \(P\) и вектор \(\boldsymbol_ <1>=-\boldsymbol\) задают другое полупространство с уравнением \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol_<1>) \geq 0\) или \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \leq 0\). Его назовем “отрицательным”, в отличие от “положительного” полупространства \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \geq 0\). Однако такое наименование условно — оно определяется выбором вектора \(\boldsymbol\). Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на (—1). При этом “положительное” полупространство становится “отрицательным”, и наоборот.

Вот, однако, факт, не зависящий от выбора направления нормального вектора: если \(M_<1>(x_<1>, y_<1>, z_<1>)\) и \(M_<2>(x_<2>, y_<2>, z_<2>)\) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстановки их координат в левую часть уравнения плоскости \(Ax_<1>+By_<1>+Cz_<1>+D\) и \(Ax_<2>+By_<2>+Cz_<2>+D\) имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве.

Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на плоскости, то точка с координатами \(x_<0>+A\), \(y_<0>+B\), \(z_<0>+C\) лежит в “положительном” полупространстве. Иначе говоря, вектор с координатами \(A, B, C\) направлен в “положительное” полупространство. Это легко проверяется подстановкой.

Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство \(Ax+By+Cz+D \geq 0\), связывающее декартовы координаты точки на плоскости, определяет полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная прямой \(Ax+By+C=0\), задается неравенством \(Ax+By+C \leq 0\).

Точки \(M_<1>(x_<1>, y_<1>)\) и \(M_<2>(x_<2>, y_<2>)\) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда, когда \((Ax_<1>+By_<1>+C)(Ax_<2>+By_<2>+C) > 0\).

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)=0\) и точка \(M\) с радиус-вектором \(R\). Рассмотрим вектор \(\overrightarrowM>=\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), соединяющий начальную точку плоскости с \(M\) (рис. 7.1). Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор \(\boldsymbol\), то есть
$$
h=\frac<|(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)|><|\boldsymbol|>.\label
$$

Если в декартовой прямоугольной системе координат точка \(M\) имеет координаты \((X, Y, Z)\), то равенство \eqref запишется согласно ранее доказанным утверждениям (здесь и здесь) так:
$$
h=\frac<|AX+BY+CZ+D|><\sqrt+B^<2>+C^<2>>>.\label
$$

Рис. 7.1. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до прямой.

Рис. 7.2. Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением \(Ax+By+C=0\) в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) — начальная точка прямой, a \(M(X, Y)\) — некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор \(\boldsymbol(-B, A)\). Мы знаем (ранее доказывали), что площадь параллелограмма равна \(S=|(X-x_<0>)A-(Y-y_<0>)(-B)|\). Тогда по формуле \(S=|AX+BY+C|\) и
$$
h=\frac<|AX+BY+C|><\sqrt+B^<2>>>.\label
$$

Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой \eqref, считая, что \(\boldsymbol\) — нормальный вектор прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Рис. 7.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вычисление углов.

Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол \(\theta\) между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Если векторы выбрать так, чтобы \(\cos \theta \geq 0\), и взять \(0 \leq \theta \leq \pi/2\), то искомый угол дополняет \(\theta\) до \(\pi/2\).

Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами.

Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями \(y=k_<1>x+b_<1>\) и \(y=k_<2>x+b_<2>\) декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через \(\varphi\) угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том же направлении, в котором производится кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму. Тогда \(\operatorname \varphi\) можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс. Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых, мы получаем
$$
\operatorname \varphi=\frac-k_<1>><1+k_<1>k_<2>>.\label
$$

Рис. 7.4. \(\varphi=\varphi_<2>-\varphi_<2>\)

Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, векторы с компонентами \(1, k_<1>\) и \(1, k_<2>\) — направляющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно \(1+k_<1>k_<2>\). Таким образом, верно следующее утверждение.

Для перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами \(k_<1>\) и \(k_<2>\) в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно выполнение равенства \(1+k_<1>k_<2>=0\).

Некоторые задачи на построение.

Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция точки.

Если \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)=0\) — уравнение плоскости и дана точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol\), то прямая с уравнением \(\boldsymbol=\boldsymbol+t\boldsymbol\) проходит через \(M\) и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцию \(M\) на плоскость. Из \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>+t\boldsymbol, \boldsymbol)\) находим \(t\) и подставляем в уравнение прямой. Мы получим радиус-вектор проекции
$$
\boldsymbol_<1>=\boldsymbol-\frac<(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)><|\boldsymbol|^<2>>\boldsymbol.\nonumber
$$
Таким образом, из радиус-вектоpa \(\boldsymbol\) вычитается проекция \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) на нормальный вектор плоскости.

Перпендикуляр из точки на прямую.

Уравнение проекции прямой на плоскость.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

Рис. 7.5. Перпендикуляр между скрещивающимися прямыми

Пучок прямых.

Пучком прямых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку — центр пучка. Пусть \(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>=0\) и \(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>=0\) — уравнения двух прямых, принадлежащих пучку. Тогда уравнение
$$
\alpha(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>)+\beta(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>)=0\label
$$
при условии \(\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0\) называется уравнением пучка прямых.

Основанием для этого служит следующее утверждение.

При любых \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0)\) уравнение \eqref определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде \eqref.

Докажем сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении \eqref не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде
$$
(\alpha A_<1>+\beta A_<2>)x+(\alpha B_<1>+\beta B_<2>)y+(\alpha C_<1>+\beta C_<2>)=0.\nonumber
$$
Допустим, что \(\alpha A_<1>+\beta A_<2>=0\) и \(\alpha B_<1>+\beta B_<2>=0\). Так как прямые пересекаются, \(A_<1>B_<2>-A_<2>B_ <1>\neq 0\) и из утверждения о существовании решения системы уравнений вытекает, что значения \(\alpha=0\), \(\beta=0\) единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение \eqref определяет прямую линию.

Обозначим через \(x_<0>\), \(y_<0>\) координаты центра пучка. По условию
$$
A_<1>x_<0>+B_<1>y_<0>+C_<1>=0,\ A_<2>x_<0>+B_<2>y_<0>+C_<2>=0,\nonumber
$$
а потому \(x_<0>\), \(y_<0>\) удовлетворяют уравнению \eqref, и прямая проходит через центр пучка.

Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что через любую точку, отличную от центра пучка \(M_<0>\), проходит прямая линия с уравнением вида \eqref. Легко проверить, так ли это. Рассмотрим точку \(M_<1>(x_<1>, y_<1>)\), отличную от \(M_<0>\), и обозначим
$$
u=A_<1>x_<1>+B_<1>y_<1>+C_<1>=0,\ v=A_<2>x_<1>+B_<2>y_<1>+C_<2>=0\nonumber
$$
Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа \(u\) и \(v\) одновременно не равны нулю, и мы вправе положить \(\alpha=-v\), \(\beta=-u\). При таких значениях \(\alpha\) и \(\beta\) координаты точки \(M_<1>\) удовлетворяют уравнению \eqref. Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через \(M_<1>\), и утверждение доказано.

Заметим, что каждая пара чисел \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0)\) определяет в пучке единственную прямую, но каждой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел.

Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде
$$
\alpha(x-x_<0>)+\beta(y-y_<0>)=0,\nonumber
$$
положив, что пучок определяется прямыми \(x-x_<0>=0\) и \(y-y_<0>=0\). Впрочем, и без того очевидно, что это — уравнение произвольной прямой, проходящей через \(M_<0>\).

Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так.

Если система линейных уравнений имеет решение., то некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, умноженных на какие-то числа.

Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из результатов главы о системах линейных уравнений. Другими геометрическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей.

Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую — ось пучка. Уравнение пучка плоскостей имеет вид
$$
\alpha(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_<1>)+\beta(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>z+D_<2>)=0,\nonumber
$$
где \(\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0\), а в скобках стоят левые части уравнений двух различных плоскостей пучка.

Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку — центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид
$$
\alpha(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_<1>)+\beta(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>z+D_<2>) +\\+ \gamma(A_<3>x+B_<3>y+C_<3>z+D_<3>)=0,\nonumber
$$
где \(\alpha^<2>+\beta^<2>+\gamma^ <2>\neq 0\), а в скобках стоят левые части уравнений плоскостей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой.

О геометрическом смысле порядка алгебраической линии.

Предположим, что на плоскости дана алгебраическая линия \(L\), имеющая в декартовой системе координат уравнение
$$
A_<1>x^>y^>+…+A_x^>y^>=0.\label
$$
Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравнениями
$$
x=x_<0>+a_<1>t,\ y=y_<0>+a_<2>t.\label
$$
Найдем точки пересечения \(L\) и прямой линии. Они будут известны, если мы найдем соответствующие им значения параметра \(t\). Это будут те значения, при которых \(x\) и \(y\), выраженные по формулам \eqref, удовлетворяют уравнению \eqref. Подставим \eqref в \eqref:
$$
A_<1>(x_<0>+a_<1>t)^>(y_<0>+a_<2>t)^>+…+A_(x_<0>+a_<1>t)^>(y_<0>+a_<2>t)^>=0.\label
$$
Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим многочлены относительно \(t\) степеней \(k_<1>+l_<1>, …, k_+l_\). Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальная из степеней слагаемых. Но максимальное из чисел \(k_<1>+l_<1>,…,k_+l_\) — это порядок линии \(L\). Поэтому степень уравнения \eqref не превосходит порядка линии.

Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Число точек пересечения алгебраической линии с прямой, которая на ней не лежит целиком, не превосходит порядка линии.

Существуют линии, которые ни с одной прямой не имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями \(x^<2>+y^<2>=0\) или \((x^<2>+y^<2>)^<2>-1=0\).

Архимедова спираль — линия с уравнением \(r=\alpha\varphi\) в полярной системе координат — пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не является алгебраической линией.

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.