Уравнение прямой на плоскости в аффинных координатах

Аффинные координаты

Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве

Пусть в пространстве фиксирована точка . Совокупность точки и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат :

– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) — это точка и ненулевой вектор на прямой (базис на прямой);

– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) — это точка и два неколпинеарных вектора , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);

– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) — это точка и три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).

Точка называется началом координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат . Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями .

Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.

Координаты векторов и точек в аффинной системе координат

Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).

Для любой точки в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки .

Координатами точки в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора в базисе , т.е. коэффициенты в разложении (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой , третья – аппликатой . На плоскости и на прямой координаты записывают в виде и согласно разложениям (рис.2.1,6), (рис.2.1,а). Координаты точки , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

Найдем координаты вектора с началом в точке и концом в точке . Рассмотрим треугольник (рис.2.2). Радиус-векторы и представляются в виде , . По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем , т.е. вектор имеет координаты . Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала . Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.

1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:

В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.

2. Если вектор с координатами отложить от точки , то конец вектора будет иметь координаты .

3. Координаты точки , которая делит отрезок в отношении , находятся по координатам его концов и :

В частности, координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка :

Координаты точки которая «делит» площадь треугольника в отношении 0,\,\beta>0,\,\gamma>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, находятся по координатам его вершин :

В частности, координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника :

Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины отрезка , или координаты точки пересечения медиан треугольника

Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды (см. рис.2.3): Найти координаты (в той же системе координат):

а) точки пересечения медиан треугольника ;

б) точки , которая делит отрезок в отношении .

Решение. Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, получаем:

47. Аффинная система координат на прямой, плоскости и в пространстве

В случае прямой базис состоит из одного ненулевого вектора V = (V) и система координат (О, V) изображена на рис. 4.1. В системе координат на прямой каждая точка A прямой имеет одну координату A(X), определяему разложением вектора По базису, = XV. Тогда A(0), E(1), где V = .

Систему координат на прямой можно задать еще следующими способами:

Двумя различными точками О и E данной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем вектор V = (см. рис. 4.2).

Точкой О, единичным отрезком ОE и положительным направлением данной прямой, которое отмечается стрелкой.

2Аффинная система координат на плоскости. В случае плоскости базис состоит из двух неколлинеарных векторов плоскости, V = (V1, V2), и система координат (О, V1, V2) изображена на рис. 4.3. В системе координат на плоскости каждая точка A плоскости имеет две координаты A(X, Y), определяемые разложением вектора По базису, = XV1+ YV2. Тогда A(0, 0), E1(1, 0), E2(0, 1), где V1 = , V2 = . Координаты точки называются соответственно Абсциссой и Ординатой.

Систему координат на плоскости можно задать еще следующими способами:

Тремя точками О, E1, E2 плоскости, не лежащими на одной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы V1 = , V2 = .

Двумя пересекающимися числовыми осями ОX, ОY данной плоскости с общим началом О. Ось ОX называется Осью абсцисс, ось ОY — Осью ординат.

Аффинная система координат (О, V1, V2) называется Правой (Левой), если поворот от вектора к вектору по кратчайшему направлению совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 4.3 и 4.4 представлены правые системы координат.

3. Аффинная система координат в пространстве. В случае пространства базис состоит из двух некомпланарных векторов пространства, V = (V1,V2, V3), и система координат (О, V1, V2, V3) изображена на рис. 4.5. В этой системе координат каждая точка A пространства имеет три координаты A(X,Y,Z), определяемые разложением вектора по базису, = XV1+ YV2 + ZV3. Тогда A(0, 0, 0), E1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0), E3(0, 0, 1), где V1 = , V2 = , V3 = . Координаты точки называются соответственно Абсциссой, ординатой и Аппликатой.

Истему координат в пространстве можно задать еще следующими способами:

Четверкой точек О, E1, E2, E3 пространства, не лежащими на одной плоскости. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы V1 = , V2 = , V3 = .

Тремя числовыми осями ОX, ОY, ОZ, не лежащими в одной плоскости с общим началом О. Ось ОX называется Осью абсцисс, ось ОY — Осью ординат, ось ОZ — Осью аппликат.

Аффинная система координат (О, V1, V2, V3) называется Правой (Левой), если тройка векторов V1, V2, V3 правая (левая) На рис. 4.5 и 4.6 представлены правые системы координат, а на рис. 4.7 левая система координат.

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости

В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Посмотрите на рисунок.

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .

Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .

Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.

Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .

Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .

Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .

Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.

Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Предположим, что λ = 0 .

Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».