Уравнение перпендикулярной прямой
Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /9x – 1 /3 (a = 4 /9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости
Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M0 и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
(1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:
(3) |
Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M0(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :
(4) |
Подставляя координаты точки M0(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения
. | (1) |
Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M0 и перпендинулярной прямой L.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (2) |
Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (3) |
Упростим уравнение (3):
mx+py+lz+D=0, | (4) |
Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1).
Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:
(7) |
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (8) |
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (8), получим:
(9) |
Упростим уравнение (9):
2x+5y+4z−9=0. | (10) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:
(11) |
Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:
(11′) |
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (12) |
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (13) |
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (13), получим:
Упростим уравнение (13):
−5x+3y+11z+77=0. | (14) |
Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).
http://matworld.ru/analytic-geometry/prjamaja-ploskost-online.php
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti3-online.php