Уравнение прямой перпендикулярной прямой и параллельной плоскости

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M₀(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

(4)

Подставляя координаты точки M₀(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .

Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .

Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y — 1 .

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .

Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .

Прямая, плоскость и их уравнения

Начальные сведения

Введено понятие прямой, показаны принятые обозначения, рассмотрены варианты взаимного расположения прямой и точки, двух прямых, перечислены способы задания прямой на плоскости.

Получите представление о прямой линии в пространстве, рассмотрите варианты взаимного расположения прямых и способы задания прямой в пространстве.

Дано понятие плоскости в трехмерном пространстве, представлены варианты ее взаимного расположения с точкой, прямой и другой плоскостью, показаны способы задания.

Уравнения прямой на плоскости

Что называют уравнением прямой и какие виды уравнения прямой на плоскости существуют? В этой статье Вы найдете ответы на эти вопросы.

Познакомьтесь с направляющим вектором прямой, узнайте как его координаты участвуют в записи уравнения прямой.

Узнайте что такое нормальный вектор прямой и как определяются его координаты по уравнению прямой на плоскости.

Всесторонне разобрано общее уравнение прямой, показаны неполные уравнения, приведены примеры и графические иллюстрации.

Научитесь работать с каноническими уравнениями прямой, разберитесь как в их записи участвуют координаты направляющего вектора прямой, рассмотрите решения характерных задач.

Откройте для себя уравнение прямой в отрезках, узнайте почему оно получило такое название и почему с помощью уравнения этого вида легко построить прямую с прямоугольной системе координат.

Рассмотрено уравнение прямой с угловым коэффициентом, введены определения угла наклона и углового коэффициента, разобраны решения характерных задач на составление уравнений прямой этого вида.

Познакомьтесь с параметрическими уравнениями прямой на плоскости, научитесь от уравнений прямой другого вида переходить к параметрическим уравнениями и обратно.

Узнайте как выводится нормальное уравнение прямой и как оно применяется для нахождения расстояния от точки до прямой.

Уравнения плоскости

Узнайте какими уравнениями описываются плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Запомните определение нормального вектора плоскости, посмотрите как его координаты участвуют в записи уравнений плоскости.

Познакомьтесь с полными и неполными общими уравнениями плоскости, рассмотрите примеры и решения характерных задач.

Показано как из общего уравнения плоскости получить уравнение плоскости в отрезках и как его использовать для построения плоскости.

Разобрано как нормальное (нормированное) уравнение плоскости получается из общего и как оно применяется для нахождения расстояния от точки до плоскости.

Уравнения прямой в пространстве

Показано с помощью каких уравнений можно задать прямую линию в пространстве в заданной прямоугольной системе координат.

Разобрано как прямая линия в прямоугольной системе координат в пространстве задается уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Познакомьтесь с параметрическими уравнениями прямой в пространстве, рассмотрите примеры их составления и способы перехода к уравнениям другого вида.

Подробно рассмотрены канонические уравнения прямой в пространстве, показана их связь с другими видами уравнений, приведены решения характерных примеров и задач.

Параллельность и перпендикулярность

Даны основные сведения о параллельных прямых, перечислены признаки и условия параллельности прямых в том числе через направляющие и нормальные векторы.

Приведены начальные сведения о перпендикулярных прямых, разобраны признаки и условия перпендикулярности прямых.

Получите основные сведения о параллельных прямой и плоскости, научитесь выяснять параллельны ли прямая и плоскость.

Примите к сведению условия и признаки перпендикулярности прямой и плоскости, ознакомьтесь с решением характерных примеров.

Познакомьтесь с определением параллельных плоскостей и с условиями параллельности, разберите решения характерных примеров и задач.

Приведены признаки и условия перпендикулярности плоскостей, позволяющие устанавливать параллельны ли плоскости, заданные своими уравнениями.

Составление уравнений прямой

Научитесь составлять уравнение прямой, когда известны координаты двух лежащих на ней точек, в этом Вам помогут прведенные решения примеров с пояснениями.

Узнайте как составляются уравнения прямой, когда известны уравнения параллельной ей прямой и координаты точки, через которую она проходит.

Разберитесь с составлением уравнений прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой, рассмотрите решения характерных примеров.

Познакомьтесь с принципом составления уравнений прямой, которая проходит через заданную точку перпендикулярно заданной плоскости.

Показана суть составления уравнений прямой для данных условий, приведены готовые решения примеров.

Составление уравнений плоскости

Узнайте как составляется уравнение плоскости, когда даны координаты трех ее точек, рассмотрите решения примеров.

На примерах показано как составить уравнение плоскости, когда известно уравнение лежащей на ней прямой и координаты точки.

Научитесь записывать уравнение плоскости, которая проходит через две заданные параллельные или пересекающиеся прямые.

Показано как составляется уравнение плоскости, если известны координаты одной ее точки и уравнение прямой, которой она перпендикулярна.

Разберитесь с составлением уравнения плоскости, когда известны координаты точки, через которую она проходит, и уравнение плоскости, которой она параллельна.

Показаны примеры составления уравнения плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям и проходит через заданную точку.

Нахождение углов методом координат

Получена формула для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми, показаны решения примеров.

Дано определение угла между скрещивающимися прямыми и разобрано как находить этот угол методом координат.

Узнайте как находить угол между прямой и плоскостью когда известны их уравнения, разберитесь в решениях характерных примеров.

Разберитесь с нахождением угла между пересекающимися плоскостями, запомните формулу и рассмотрите приведенные решения примеров.

Нахождение координат точек пересечения

Узнайте как находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве, разберите решения характерных задач.

На примерах показаны способы нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Нахождение расстояний методом координат

Разобраны различные способы нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой, в том числе с использованием нормального уравнения прямой, приведены решения примеров.

Научитесь находить расстояние от точки до плоскости методом координат, для этого удобно использовать нормальное уравнение плоскости.

Познакомьтесь со способами нахождения расстояния между параллельными прямыми в прямоугольной системе координат.

Узнайте как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми, разберите примеры нахождения расстояния методом координат.

Показано как находить расстояние между прямой и плоскостью, которые параллельны, для пояснения приведены решения примеров.

Разберитесь с нахождением расстояния между параллельными плоскостями, когда известны их уравнения.

Связки и пучки

Узнайте что такое пучок прямых, рассмотрите его уравнение и связанные с пучками прямых характерные примеры.

Познакомьтесь с пучком плоскостей и видом уравнения пучка плоскостей.

Дано определение связки плоскостей и ее уравнение, показаны решения примеров.

Проекция точки на прямую и плоскость

Узнайте что называют проекцией точки на прямую и как находятся координаты проекции.

Показано как находить координаты проекции точки на плоскость, разобраны решения примеров.