Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть дана некоторая точка М0 и вектор n. Проведем через точку М0 прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).
Пусть M — произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор \(\overrightarrow
Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M0 и M имеют координаты (x0 ; у0 ) и (x; у).
Тогда \(\overrightarrow
Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М0 (x0; у0) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).
Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).
Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:
— 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0
или, окончательно, x — 5у — 17 = 0.
Задача 2. Даны точки M1(2; -1) и M2(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору \(\overrightarrow
Нормальный вектор искомой прямой n = \(\overrightarrow
Следовательно, по формуле (2) получим уравнение
Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M1(-5; 2), M2(5; 6) и M3(1; -2) проведена медиана M1А1. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А1 перпендикулярно медиане M1A1 (рис. 85).
За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = \(\overrightarrow
Тогда нормальный вектор n = \(\overrightarrow
Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).
За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = \(\overrightarrow
Так как n = (2-(-3); 7 — (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим
или, окончательно, 5х + 8у — 57 = 0.
Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве
Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.
Уравнение прямой в пространстве: общие сведения
Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.
Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.
Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей
Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.
Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.
Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.
Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .
Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:
x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0
Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.
Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.
Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.
Параметрические уравнения прямой в пространстве
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.
Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:
x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1
Рассмотрим конкретный пример:
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .
Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .
Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой в пространстве
Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .
Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .
Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .
Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .
Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Высшая математика.
- Аналитическая геометрия.
- Прямая в пространстве, всевозможные уравнения, взаимное расположение прямых в пространстве, расстояние от точки до прямой в пространстве.
Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $\left\<\begin
2) $\frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $\frac
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
Расположение двух прямых в пространстве.
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline_1\parallel\overline_2\Leftrightarrow$ $\frac
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline_1\perp\overline_2\Leftrightarrow$ $
Угол между прямыми:
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac
,$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac<|[\overline
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$\frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline=q(2,-3,5).$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $\frac
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой
$\left\<\begin
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac<1><2>t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac<1><2>\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$\frac
Подставляем заданные точки:
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac<|[\overline
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2). $
Отсюда находим $\overline
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\<\begin
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
Таким образом, $M=(-14, -\frac<25><2>, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\<\begin
имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac<|[\overline
$\overline
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $\frac
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $\left\<\begin
2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\<\begin
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenija-prjamoj-vidy-uravnenij-prjamoj-v-prostr/
http://mathportal.net/index.php/analiticheskaya-geometriya/87-visshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya/140-pryamaya-v-prostranstve-vsevozmozhnye-uravneniya-vzaimnoe-raspolozhenie-pryamykh-v-prostranstve-rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoj-v-prostranstve