Уравнение прямой по нормальному вектору

Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Рассмотрим выведение нормального уравнения.

Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.

Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .

O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .

Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p

Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y

Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.

Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.

Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .

Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.

Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.

Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:

1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.

Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

Нормальный вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ — в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x \cdot \cos <\alpha>+ y \cdot \sin <\alpha>— p = 0$

где $\alpha$ — угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ — расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

Готовые работы на аналогичную тему

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y — y_0 = k \cdot (x — x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой — самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $\vec(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 \cdot (x — x_n) + n_2 \cdot (y — y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

то нормальный вектор описывается формулой:

При этом говорят, что координаты нормального вектора «снимаются» с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $\bar

(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $\bar

(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$\bar

\cdot \bar = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implies \bar

\perp \bar$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $\bar(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x — x_0) + B(y — y_0) = 0$

Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $\bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.

Для решения задействуем формулу $A \cdot (x — x_0) + B \cdot (y — y_0) = 0$

Подставив значения, получаем:

$3 \cdot (x — (-1)) — (-1) \cdot (y — (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) — (y + 3) = 0$ $3x + 3 — y — 3 = 0$ $3x — y = 0$

Проверить правильность общего уравнения прямой можно «сняв» из него координаты для нормального вектора:

$3x — y = 0 \implies A = 3; B = -1 \implies \bar(A; B) = \bar(3; -1),$

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x — y = 0$:

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

$\bar

(-B; A) \implies \bar

(1; 3)$

Ответ: $3x — y = 0; \bar

(1; 3).$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор! Любите его. И уважайте 🙂

Задача 67

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение: используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) На первом шаге «снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

– верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Из найденного уравнения «вытаскиваем» направляющий вектор прямой:

Ответ:

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 68

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Следующие параграфы посвящены менее распространённым, но тоже важным видам уравнений: